【摘 要】
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数学家Ulam在1940年提出函数方程的稳定性问题,给出了在群同态情形下稳定性的定义,假设(G1,*)是一个群,(G2,(?),d)是一个具有d(·,·)的度量群,给定ε>0,是否存在δ(ε)>0,使
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数学家Ulam在1940年提出函数方程的稳定性问题,给出了在群同态情形下稳定性的定义,假设(G1,*)是一个群,(G2,(?),d)是一个具有d(·,·)的度量群,给定ε>0,是否存在δ(ε)>0,使得如果映射h:G1→G2,对于所有的x,y∈G1,满足不等式d(h(x*y),h(x)(?)h(y))<δ,则存在一个同态H:G1→G2,对所有的x∈G1满足d(h(x),H(x))<ε,若该问题的答案是肯定的,那么我们称方程H(x*y)=H(x)(?)H(y)是稳定的.函数方程的稳定性主要研究的是作为方程扰动的不等式替换函数方程时,相关不等式的解在什么情况下可以断言接近函数方程的解.函数方程的稳定性在数理统计、随机分析、代数、几何、心理学、社会学等方面都有着广泛的应用,成为解决相关问题有力的数学工具.近些年,数学家们一直在寻找不同度量空间以及不同种类的函数方程,对其一般解和稳定性进行研究.在本文中,我们主要在β-范空间、矩阵β-范空间、多-Banach空间、非阿基米德(n,β)范空间、非阿基米德域,以及C*-代数中研究了几种函数方程的稳定性,并讨论了二十次函数方程的一般解.本学位论文的组织如下:在第一章中,我们研究了十六次函数方程在β-范、矩阵β-范空间中的稳定性.在第二章中,我们对新构造的二十次函数方程进行了一般解的求解验证,并研究了其在多-Banach空间,非阿基米德(n,β)-范空间上的稳定性.在第三章中,我们给出了两个新的方程:倒十五次函数方程和倒十六次函数方程,并研究了其在非阿基米德域上的稳定性.在第四章中,我们给出了新的五次六次根式函数方程,并研究了其在C*代数上的Hyers-Ulam稳定性.
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