【摘 要】
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李代数分为典型李代数An,Bn,Cn,Dn（n≥1）和例外型李代数E6,E7,E8,F4,G2,（其中E6,E7是E8的子系）.最高权表示理论在李代数研究的领域中极具代表性,在数学、物理等学科都有着广泛的应用.其中最重要的模块是Verma模,对Verma模的课题进行研究可以帮助我们对李代数有着更深刻清楚的认识.对李代数Verma模最高权奇异向量的研究中,Xu引入了偏微分方程组,研究了sl（n,C）
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李代数分为典型李代数An,Bn,Cn,Dn（n≥1）和例外型李代数E6,E7,E8,F4,G2,（其中E6,E7是E8的子系）.最高权表示理论在李代数研究的领域中极具代表性,在数学、物理等学科都有着广泛的应用.其中最重要的模块是Verma模,对Verma模的课题进行研究可以帮助我们对李代数有着更深刻清楚的认识.对李代数Verma模最高权奇异向量的研究中,Xu引入了偏微分方程组,研究了sl（n,C）上最高权Verma模的奇异向量.肖维导出了任意正根α的解Sα（1）的明确公式,利用此公式证明了Sα（1）是多项式的解当且仅当<λ+ρ,α>是非负整数（其中ρ为正根之和的一半）得到了本质上与Xu一致的sl（n,C）中奇异向量的表达式,并相继给出了Cn型李代数Verma模的奇异向量表达式.而对于例外型李代数E6,E7,E8,F4,G2来说基是有限的,所以在求例外型李代数的奇异向量会相对较简单.剩下的两个族Bn和Dn中,Bn的结构比An型和Cn型要更为复杂,且Bn的微分算子并不具备很好的交换性.所以本文中主要介绍Bn的奇异向量,给出Bn型微分算子的表示,利用直根和微分算子引入一个微分方程组研究Verma模中的奇异向量,给出B2型任意直根的Verma模奇异向量的表达式并利用B2型的微分算子给出相应的证明,还给出Bn型M（λ）中权为Se1+en·λ的奇异向量的表达式并利用Bn型微分算子的复杂性给出证明.本文主要的工作与贡献如下:第一,本文介绍了直根的概念,计算并给出典型李代数和例外型李代数的直根,举例说明了利用Bn型直根而非正根去计算M（λ）权的奇异向量的原因.第二,本文给出了Bn型中一组新的基.新基的选择有利于我们对Bn型做李代数乘法,并给出了 B2,B3型做李代数乘法表格,后续做李代数乘法中可直接进行查表.根据微分算子结构的复杂性以及其结构的交换性通过计算和观察发现Bn型中微分算子一般公式,并给出证明.第三,本文计算了B2型权为Se1·λ和Se1+e2·λ中满足<λ+ρ,e1-e2>=λ1,<λ+ρ,e2ˇ>=λ2,和<λ+ρ,βˇ>k（其中k=1,2）的奇异向量,根据k=1,2时B2型奇异向量的特点给出B2型奇异向量的规律,利用B2型微分算子给出证明.第四,根据B2型奇异向量的特点及大量的计算和观察给出Bn型权为Se1+en·λ奇异向量的表达式,并利用微分算子给出证明.通过计算和观察猜想出Bn型权为Se1·λ奇异向量的规律,方便后续我们工作的开展.第五,本文最后给出Dn型中权为Se1+en·λ的奇异向量.通过计算发现Dn型中权为Se1+e-1·λ的奇异向量不能是类似于M（λ）中权为Se1+en·λ中给出奇异向量的一般表达式.
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