本论文主要研究的是给定亏格曲面上的非同构根地图，即所谓的带根地图计数问题(如不特别申明，文中凡提及地图皆指带根地图)．其作为一般地图计数的理论基础，该问题的研究具有重要的理论和实际意义．论文主要分成两大部分：平面地图计数和非平面地图计数．所采用的方法主要是一种解析方法(目前是带根地图计数的核心)，其中亦用到组合的技巧． 对于平面上非同构根地图的研究，关键在于对地图集合本身给予一适当的分解．这部分内容主要集中在前三章． 第一章首先对地图计数理论的研究背景作简要介绍．随后，给出地图以及一些与之相关的定义和性质．另外，对本论文主要采用的解析方法作了详细的阐述． 第二章主要研究了平面泛扇地图和圈界地图．利用两种不同的方法，给出了不同参数下一般平面泛扇地图和圈界地图的计数显式．同时，还提供了无环泛扇地图，边缘3-正则圈界地图以及受限圈界地图等几类平面地图的计数显式．众所周知，Halin地图在图的上嵌入理论和计数理论中都有着重要地位．这两类地图就是在Halin地图的基础上提出来的比之更一般的地图类．而且，一个泛扇地图的基准图即是一个Apex图[56]，其在拓扑图论中亦为一重要图类． 第三章主要研究的是外．无弦平面地图．它是由不可分离平面地图衍生而得到的一类地图．对于研究射影平面上3-正则地图[51]，以及曲面上其他地图类的计数问题都是非常有意义的．文献[24]中，给出了外．无弦近三正则平面地图的个数．在此，我们通过寻找外-无弦一般地图与不可分离平面地图之间的一种关系，得到了具有n条边的外一无弦一般平面地图的具体数目． 第二部分包括四、五、六三章，主要是在平面地图计数理论的基础上，对曲面(尤其是高亏格曲面)上地图的计数问题进行研究．解决这一问题的关键在于寻找合适的参数对其计数函数所满足方程求解． 第四章着重讨论了曲面上瓣丛．瓣丛的对偶即是单面地图(在亏格为g的曲面上亦为g-本质地图)．此两类地图均是地图类中最简单的，详细研究这两类地图可为其他地图类的研究奠定基础，尤其是在复杂的高亏格曲面上．本章中，我们对瓣丛做进一步研究，不但给出了多参数下瓣丛在任意亏格可定向曲面(不可定向曲面)上统一的计数函数方程，而且给出了此类地图在任意亏格曲面上个数的递推式．通过寻求合适的参数方程，我们得到了瓣丛(以根面次和边数为参数下)在可定向曲面(亏格0-3)及不可定向曲面(亏格1-5)上非同构地图的数目.同时作为推论，亦得到了瓣丛(单面地图或g-本质地图)在以边数为参数下相应的计数显式，且比已有结果更为简洁. 基于第四章的结果，第五章研究了一类与瓣丛拓扑等价的地图类：近2-正则地图.通过一种组合方法(不同于文献[24])，给出了多参数下平面近2-正则地图的计数显式.同时，得到了任意亏格曲面上该类地图与瓣丛之间的一种关系式. 第六章中，我们给出了泛扇地图在任意亏格不可定向曲面上统一的计数函数方程.而且，得到了射影平面及Klein瓶上此类地图在以根面次和边数为参数下计数函数的精确解. 第七章系统的介绍了地图计数领域中一些需要更进一步研究的问题，如精确计算高亏格曲面上非同构地图，运用概率方法对地图计数等等.