【摘 要】
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在本论文中,我们主要在多个方面给出Hardy不等式的推广并给出其部分应用.在第一章中,我们从Hardy不等式的最基本推广形式出发,重新研究了Boyd的一个结论,拓宽了不等式成立的范围,给出取等条件,并发现了其对偶不等式.在第二章中,我们对J.Bergh关于单调情形的离散与积分Hardy不等式进行了改进与推广,形成这一类Hardy不等式较为完善的体系.在第三章中,我们引入核函数,用统一的观点来看待部
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在本论文中,我们主要在多个方面给出Hardy不等式的推广并给出其部分应用.在第一章中,我们从Hardy不等式的最基本推广形式出发,重新研究了Boyd的一个结论,拓宽了不等式成立的范围,给出取等条件,并发现了其对偶不等式.在第二章中,我们对J.Bergh关于单调情形的离散与积分Hardy不等式进行了改进与推广,形成这一类Hardy不等式较为完善的体系.在第三章中,我们引入核函数,用统一的观点来看待部分负指数Hardy不等式,并发现新的负指数Hardy不等式,本章还解决了一个杨必成教授提出的离散型负指数Hardy不等式最佳常数问题.在第四章中,我们重新核查两个Carleman不等式的推广形式,针对其精确形式以及最佳常数问题进行了细致讨论,得到了正确且比较完整的结论.在第五章中,我们系统解决了一类混合范数Hardy不等式问题,我们确定了正确的最佳常数以及取等条件.我们通过极值理论确定最优解满足的微分方程,通过求解某非线性微分方程的部分解猜测到最佳常数和最优解,通过精心构造的辅助函数证明了连续情形下的不等式,并将其推广到了更广泛的可测函数类.在第六章中,我们将一元Hardy不等式最基本的推广形式推广到了多元情形,并将有关Hardy不等式用于判断定常NS方程广义解的存在唯一性.
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