【摘 要】
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本文主要研究了三类线性微分算子的特征值优化问题.首先考虑了间断系数的Sturm-Liouville算子的极端特征值问题.其次讨论了关于位势函数的Schrodinger算子的第一特征值的极小化与极大化问题.最后研究了关于区域密度分布的双调和算子的极端特征值问题.第一章首先回顾了谱优化问题的研究背景,对谱优化和形状优化问题已有的理论结果和数值方法做了简单的回顾和概括,然后列出了本篇论文所要研究的具体数
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本文主要研究了三类线性微分算子的特征值优化问题.首先考虑了间断系数的Sturm-Liouville算子的极端特征值问题.其次讨论了关于位势函数的Schrodinger算子的第一特征值的极小化与极大化问题.最后研究了关于区域密度分布的双调和算子的极端特征值问题.第一章首先回顾了谱优化问题的研究背景,对谱优化和形状优化问题已有的理论结果和数值方法做了简单的回顾和概括,然后列出了本篇论文所要研究的具体数学模型.第二章对椭圆算子谱理论做出了简单的回顾,并简单介绍了计算稀疏矩阵特征值常用的计算方法.第三章讨论了带间断系数的Sturm-Liouville算子的极端特征值问题.通过Liouville变换,将原来的优化问题变成一个等价的较简单的优化问题.然后给出其有限元形式并进行收敛性分析.通过对此问题的深入分析,提出了单调下降算法求这个极端特征值问题,并证明这个方法具有全局收敛性.另外,还对带非线性位势项的Sturm-Liouville方程提出单调算法的推广形式.最后,用数值例子验证了算法的有效性.第四章讨论了平面区域上Schrodinger算子的第一特征值的极大化与极小化问题.对极小化问题,证明了极小化第一特征值λ1（V,u）的过程是寻找其关于位势函数V与特征函数“的不动点过程,根据这个性质,对极小化情形提出了单调下降算法.对极大化问题,提出了相应的单调算法.对这两类优化问题,给出了有限元形式,数值例子说明了算法的有效性.第五章讨论了Navier边界条件双调和算子的极端特征值问题.对此方程使用了Ciarlet-Raviart混合有限元对其进行数值离散,同样使用单调下降算法求此优化问题,数值例子说明了方法的可行性.最后,我们对本文进行了总结,并对以后的研究工作做了展望.
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