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在对标量和四元素值L2-函数的实Paley-Wiener定理(以下简称QFT)的研究总结后，本文推广并证明了R2函数上四元素值Schwartz函数和LP-函数的四元素傅里叶变换的实Paley-Wiener定理。 首先，在经典傅里叶变换下，基于反演定理的基本方法，我们系统地研究了Rd上Schwartz函数，Lp-函数和分布下傅里叶变换的实Paley-Wiener定理。作为一个应用，我们展示了如何通过不涉及域移位的方法实现经典的Paley-Wiener定理的证明。我们首先针对Schwartz函数来展开研究其实Paley-Wiener定理。 其次，我们对QFT在四元素领域方面进行了相关研究，并且给出了QFT在实际应用中的一系列相关性质。不同形式的QFT会使我们推导出不同的Plancherel定理和Parseval定理，这些定理在后面的定理证明中发挥了重要的作用。与经典傅里叶变换的实Paley-Wiener定理相比，四元素傅里叶变换在f∈L2(R2;H)上的实Paley-Wiener可以更直观地表示为：通过在R2上偏导数的范式来描述四元素傅里叶变换具有紧致集。 最后，经典的Paley-Wiener定理描述了L2空间上函数的傅里叶变换。这个函数是L2空间上指数型的整函数，并且其支集支在一个有限的对称区间上。经典的Paley-Wiener定理在各种变换中得到了广泛的应用。最近，通过Bang的实Paley-Wiener定理和Fu的文章的学习，我们想到把L2(R2;H)上的Paley-Wiener定理扩展到Lp(R2;H)空间上。这里首先遇到了一个问题，当p≠2时，没有关于QFT的Plancherel定理。这里我们用de Jeu文章中Lp(Rd;R)空间中Paley-Wiener定理的方法，即利用关于Lp核逐点逼近思想。另外四元素H的非交换性，我们就不能直接把经典傅里叶变换上的卷积运算推广到四元素域。为了克服这个困难，我们利用调和分析中恒等逼近思想。通过对之前L2空间中四元素傅里叶变换实Paley-Wiener定理的研究，我们证明了实Paley-Wiener定理对于四元素在Lp空间上也是成立的。