【摘 要】
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适当物理模型的引入和组合在物理学的许多不同领域中都取得了显著的研究成果。在本文中,我们主要考虑了狄拉克振子和Jaynes-Cummings（J-C）模型这两个物理模型。狄拉克振子是经典和量子物理学中应用最广泛的模型之一;J-C模型是量子光学中与狄拉克振子有密切关联的模型。这两个模型都是精确可解的量子模型,拥有着丰富的物理内涵,并且被广泛的运用在物理学的各个领域中,是量子力学、量子光学、激光物理等学
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适当物理模型的引入和组合在物理学的许多不同领域中都取得了显著的研究成果。在本文中,我们主要考虑了狄拉克振子和Jaynes-Cummings（J-C）模型这两个物理模型。狄拉克振子是经典和量子物理学中应用最广泛的模型之一;J-C模型是量子光学中与狄拉克振子有密切关联的模型。这两个模型都是精确可解的量子模型,拥有着丰富的物理内涵,并且被广泛的运用在物理学的各个领域中,是量子力学、量子光学、激光物理等学科中用来探究问题的最常用模型。同时,动力学对称性理论作为量子物理的经典理论,在群论与李代数的范围内揭示了量子系统的守恒律与相应的动力学对称性。在本文中,主要通过将自旋对称性的概念推广到非对易情形,研究了一维狄拉克振子和J-C模型的代数结构。本文主要采用的方法:通过对系统哈密顿量做幺正变换和对角化,理论上计算出狄拉克振子和J-C模型的能谱和代数结构。在理论计算中,前人利用二维狄拉克方程中的幺正算符对轨道角动量作幺正变换,发现变换后的轨道角动量与二维狄拉克哈密顿量满足对易关系,找到了系统的动力学对称性不会被自旋-轨道耦合破坏的关键原因。我们接着将二维狄拉克方程的这种幺正算符推广到非对易情形,即用坐标算符代替幺正算符中的一个动量。利用这种幺正算符,我们可以得到一维狄拉克振子的守恒粒子数算符和守恒自旋算符,同时可以构造出它们的升降算符。利用这些守恒量和升降算符,揭示了系统的SO（7）4（8）代数结构,广义上称为动力学对称性。另外,在一定程度上,狄拉克振子与J-C模型有一定的联系。所以,本文中对J-C模型的代数求解与狄拉克振子的代数求解有密不可分的关系。
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