随着科学技术的发展,非线性数学具有强大的生命力.有理插值与逼近方法作为非线性数学的主要分支之一,已在实际应用中显示出巨大优势和开发潜力.连分式插值函数与Padé逼近是两个重要的有理函数,它们比多项式复杂,但用它近似表示函数时,却比多项式灵活,更能反映函数的一些特性,因此,它们已被应用于数值逼近、函数近似表示、计算机辅助几何设计(CAGD)、图像处理等.本文基于有理插值与逼近的方法,开展了数值计算和图像修复等方面的研究,不仅丰富了数值计算与数字图像的处理方法,而且也推动有理逼近理论和应用的发展.　　 本文主要工作可归纳如下:　　 1.基于Thiele连分式插值方法,构造了两个新的迭代格式,分别对它们进行了收敛性分析,证明了它们至少四阶收敛.并将此两种迭代格式应用于非线性方程求根计算,且与其它迭代格式进行了比较,数值结果表明新的高阶收敛的迭代格式是可行的.　　 2.基于Thiele连分式插值重建了经典的Halley方法、Chebyshev方法等迭代格式,分别讨论了它们的收敛性,证明了在方程有单根情况下它们至少三阶收敛,而在重根情况仅仅为线性收敛,并给出数值实例与比较.　　 3.通过引入两个参数函数,进一步给出了一类迭代公式,利用此类公式可以得到很多迭代函数.并对此类迭代格式进行了详细的收敛性分析,证明了该公式收敛阶数至少是2.如果选择合适的参数函数,还可以得到三阶、四阶等迭代格式,同时用定理给出了选择合适参数得到高阶迭代格式的办法.通过大量的数值比较,说明该类迭代格式在应用时可以灵活选择参数使得计算过程可以完成,而固定的某单一迭代格式就显得不足.　　 4.基于Padé有理逼近重建了Halley迭代格式,并借助于差商可以近似表示导数的办法,给出了Halley迭代格式的一类变体,证明了此类变体至少是三阶收敛的.最后给出了数值实例并与其它格式进行了比较.　　 5.在图像处理方面,主要就数字图像修复方面做了一些工作.一方面,基于连分式插值函数,讨论了连分式用于图像修复.在文献([Hu03])中,混合连分式插值重建图像时遇到有理函数存在性、奇异点问题并给出了新的Thiele型有理插值算法。我们采用该算法,将二元混合连分式插值应用到图像修复过程,实验结果表明了该方法是可行的.另一方面,在文献([Cri04])的基础上,结合偏微分的方法改进了A.Criminisi算法,该改进的方法引入曲率驱动扩散的算法模型(CDD)来计算合理的信心度和数据条件.首先,在数据条件的计算方法中,克服了单一的依靠等照度线信息来计算数据条件的弊端,使得样本填充次序更为合理化:其次,在信心度的更新中考虑了从等照度线的几何方面来计算累计的误差.本方法改进了样本图像修补的有效性并增强了图像线性结构扩散性.因此,用本方法进行图像修补时,能有效地避免其他算法普遍存在的“垃圾物”的生成问题.实验结果表明,与其他类似方法相比,新的样本修补模型能够得到更为令人满意的视觉效果,并且在算法的时间复杂度上有较大的改善.