该文将推广Poisson-Nijenhuis流形(PN流形)和予辛-Nijenhuis流形(ΩN流形)的概念,建立流形上的Dirac-Nijenhuis结构(DN结构)的概念,讨论其性质,并把上述内容推广到李双代数胚上去.文中首先定义相容的Nijenhuis张量的概念和形变李双代数胚的概念.在此基础上,定义流形上的DN结构如下:设N1和N2是流形P上的相容的Nijenhuis张量,L是标准李双代数胚(TP,T*P)上的Dirac结构,也是由N=N1N2诱导的、(TP,T*P)的形变李双代数胚((TP)′,T*P)上的Dirac结构.L1=(N1,N2)(L)亦然.则称(L,N1,N2)为流形P上的Dirac-Nijenhuis结构,简称为DN结构.带有DN结构(L,N1,N2)的流形P称为Dirac-Nijenhuis流形,简称为DN流形.记为(P,L,N1,N2).利用Dirac结构的特征对和对偶特征对,我们将建立DN结构的两个充要条件.这是本文的重要结论之一.我们将给出了DN流形的几个例子,并讨论某些例子的性质.由此得出PN流形和ΩN流形均为DN流形之特例的结论.为研究DN流形的子流形,我们首先讨论了Dirac流形的子流形.其次,证明了:流形上的DN结构在一定条件下,可以在子流形上自然诱导出一个DN结构,且对Dirac结构的形变和Dirac结构在子流形上诱导出新的Dirac结构这两个手续可换.在讨论Dirac流形约化的基础上,我们证明了DN流形的约化定理.我们还将定义DN流形上的基本向量场,研究其主要性质.这是以辛流形上的辛向量场、Poisson流形上的Poisson向量场和PN流形上的基本向量场为背景的.上述三种向量场的共同特征是它们各自保持相应的几何结构.DN流形上的基本向量场做为上述三种向量场的类似物,它保持DN结构.但由于DN结构较为复杂,因而保持DN结构这一特点的表述也相应地比较复杂.做为例子,我们对DN流形的两个例子(Poisson情形的DN流形和予辛情形的DN流形),得出了其上的基本向量场的全体.在此基础上,我们得到如下重要结论:PN流形的基本向量场空间和PN流形做为DN流形,其上的基本向量场空间,二者是重合的.另外,我们还对DN流形上的基本向量场和子流形上的基本向量场之间的关系以及DN流形上的基本向量场与约化DN流形上的基本向量场之间的关系进行了讨论.在第三章的最后,我们将定义DN流形之间的DN映射,并给出了若干例子.DN映射的概念是辛映射、Poisson映射和Dirac映射的类似物,它是保持DN结构的C∞-映射.第四章是上一章工作的继续和发展.由于Dirac结构已被推广到了李双代数胚上,因而本文在流形上的DN结构的基础上,把该概念也推广到了李双代数胚上,并讨论了相应的性质.由于在一般李双代数胚(A,A*)中,A*的李代数胚结构为非平凡的,因而DN结构从流形发展到李双代数胚上时,具有一定的复杂性.我们得出了李双代数胚上的DN结构的充要条件.然而,由于本章讨论的基础是李双代数胚而非流形,因而已知条件弱于上一章.这导致本章的很多结论此上一章中的相应结论复杂.更重要的是,对于一个李双代数胚(A,A*)及A上的Nijenhuis张量N,用N形变A所得的形变李代数胚A与A*不一定能构成一个李双代数胚.因而在定义李双代数胚(A,A*)上的DN结构时,需假定(A′,A*)是李双代数胚.这是在讨论DN流形时不曾遇到的新问题,也是第四章与第三章的一个明显的不同点.因此,我们特别给出了(A′,A*)成为李双代数胚的两个充要条件.这两个充要条件是分别从A′和A*之间的相容条件d*[X,Y]=[d*X,Y]′+[X,d*Y]′(X、Y∈T(A))和d[α,β]*,[dα,β*]*+[α,β*(α、β∈T(A*))出发得到的.因而这两个充要条件在形式上是对偶的.但其证明的复杂性却相去甚远.原因是,A′为A的形变李代数胚,而A*却未经形变,二者地位不等.如同DN流形的情形一样,我们还给出了李双代数胚上的DN结构的一些例子.最后,我们定义了李双代数胚上的DN结构的基本截面的概念,说明了流形P上的DN结构(视为李双代数胚(TP,T*P)上的DN结构)的基本截面与DN流形P上的基本向量场的关系,给出了DN流形上的基本向量场的等价定义.另外,和DN流形的情况类似,我们仍能证明基本截面保持DN结构,且基本截面空间是一个李代数