【摘 要】
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图的控制理论是图论中一个重要研究领域,在物理学,计算机科学,信息学,化学等很多学科有重要的应用.设图G=(V,E)且D(?)V,如果V-D中任一点都有D中的点与它相邻,则称D为G的控制集.图的最小控制集问题是NP-完备的,没有多项式时间算法去求解它.正是因为控制数的广泛应用且研究难度大,控制理论研究得到了极大的关注和快速的发展.根据实际应用,相应定义了不同的控制数.图的约束数是度量图控制脆弱性的参
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图的控制理论是图论中一个重要研究领域,在物理学,计算机科学,信息学,化学等很多学科有重要的应用.设图G=(V,E)且D(?)V,如果V-D中任一点都有D中的点与它相邻,则称D为G的控制集.图的最小控制集问题是NP-完备的,没有多项式时间算法去求解它.正是因为控制数的广泛应用且研究难度大,控制理论研究得到了极大的关注和快速的发展.根据实际应用,相应定义了不同的控制数.图的约束数是度量图控制脆弱性的参数,即边删除对控制数的影响,是度量图控制性能的参数.现实网络不是一成不变的,不但受到自然环境的影响,也容易遭受人为攻击,因此研究动态的网络模型是有意义的.本文主要研究的是图的罗马控制数对应的罗马约束数问题.罗马控制函数来源于Ian Stewart于1999年发表的论文[Defend the Roman Em-pire.Scientific American,281(1999),136-139].转化成图论的语言,设G=(V,E)是一个非空简单无向图.定义图G上的罗马控制函数f:V→ {0,1,2}使得对任给的顶点u且f(uu)= 0至少存在一个顶点v且f(v)= 2与它相邻.实值函数f:V→R?的权记力w(f)=∑u∈ f(u),简记为f(G)=w(f).图G的罗马控制数是指图G的最小罗马控制函数的权值,用γR(G)表示.非空图G的罗马约束数是指删除最少边的数目使得得到的图的罗马控制数相比原来的变大,记为bR(G).本文考虑的是其中一种简单不含圈的无向图,称为树,记作T,的罗马约束数问题.Rad和Volkmann在[Roman bondage in graphs,Discussiones Mathematicae Graph Theory,31(2011),763-773]一文中介绍了罗马约束数问题.他们证明了树的罗马约束数不大于3.文末他们提出了如下问题:刻画罗马约束数分别为1,2,3的树.在本篇论文中,我们给出了罗马约束数为1的树的刻画,讨论了罗马约束数为3的树.
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