【摘 要】
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估计理论主要是指通过经验或者测量数据对模型中的参数的值在某种误差准则下给出最优估计。在控制理论中的估计问题主要是指通过对系统的输出进行测量来实现对系统状态和参数的估计。在实际中控制系统常常受到外部干扰和噪声等因素的影响,系统的状态通常是随机的。对系统的观测一方面部分状态不可直接观测,另一方面也会受到观测噪声等的影响,具有随机误差。因此控制理论中的估计问题在数学上被抽象成对一个随机微分方程组在给定观
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估计理论主要是指通过经验或者测量数据对模型中的参数的值在某种误差准则下给出最优估计。在控制理论中的估计问题主要是指通过对系统的输出进行测量来实现对系统状态和参数的估计。在实际中控制系统常常受到外部干扰和噪声等因素的影响,系统的状态通常是随机的。对系统的观测一方面部分状态不可直接观测,另一方面也会受到观测噪声等的影响,具有随机误差。因此控制理论中的估计问题在数学上被抽象成对一个随机微分方程组在给定观测历史条件下的分布确定问题。根据需要估计的状态是在过去的、现在的或是将来的时刻分为平滑问题、滤波问题或是预测问题。根据系统是线性的或是非线性的,又分为线性滤波和非线性滤波。对一般的非线性滤波问题,未标准化的条件状态密度ρ（t,x）满足Duncan-Mortensen-Zakai（DMZ）方程,后者是一个随机偏微分方程,一般情况下难以求解。然而,有限维滤波只需要计算有限个充分统计量即可给出ρ（t,x）的显式计算公式,具有显著优势。因此自20世纪70年代末一直是本领域的一个研究热点。Brockett,Mitter等人受求解时变线性算子微分方程的Wei-Norman方法的启发,提出通过对滤波系统对应的DMZ方程中的算子生成的有限维李代数的分类,来构造相应滤波系统的有限维滤波器。在1983年的世界数学家大会上,Brockett提出了对非线性滤波的估计代数完全分类问题。20世纪80年代以来,发现和构造新的有限维滤波系统的基本方法是对有限维估计代数进行分类。Yau及其合作者在本世纪初完成了对有限维最大秩估计代数的完全分类,但目前对有限维非最大秩估计代数的分类研究还很少。本文主要研究状态空间维数n=3的有限维非最大秩估计代数的分类问题,通过欧拉算子、欠定偏微分方程等理论以及构造有限维估计代数中的无穷算子序列的方法,在本论文中证明了在n=3,秩r=2情形:（i）Wong Ω矩阵的线性结构;（ii）Mitter猜想成立,即估计代数中的函数都是至多一次的多项式;此外,构造了秩r分别为2,1时的有限维滤波系统例子,并通过Wei-Norman方法对秩为1时的滤波系统构造了普适的鲁棒有限维滤波器。李代数方法的优点是:（1）它是构造有限维递推滤波器的系统方法并且不需要对初始数据作任何假设;（2）应用李代数方法所需要的统计量是O（n）,计算量小;（3）根据李代数方法构造的滤波器在Chaleyat-Maurel-Michel意义下是普适的。
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