图谱理论作为图论的一个重要研究方向,主要是通过图的各类矩阵(邻接矩阵、距离矩阵、距离拉普拉斯矩阵、距离无符号拉普拉斯矩阵等)、特征根及其特征向量来研究图的拓扑结构和代数性质,广泛应用于计算机、复杂系统、化学、物理等学科中。令图G是一个顶点集为V(G),边集为E(G)的简单连通图,距离矩阵记为D(G)=(dvivj)n×n,其中dvivj表示顶点vi和vj之间的距离,即最短路径的长度。顶点vi的传递度记作Tr(vi)=∑vj∈V(G)dG(vi,vj),表示顶点vi到G中其他顶点距离之和,传递度对角矩阵记作Tr(G)。距离拉普拉斯矩阵和距离无符号拉普拉斯矩阵分别记作L(G)=Tr(G)-D(G)和Q(G)=Tr(G)+D(G)。图G的矩阵的特征根及其对应重数所构成的集合称之为图G的谱,分别记D(G)、L(G)和Q(G)的谱为D-谱、L—谱和Q一谱。广义距离矩阵记作Dα(G)=αTr(G)+(1-α)D(G),0≤α≤1,由此可以通过一个参数α将距离矩阵、距离拉普拉斯矩阵和距离无符号拉普拉斯矩阵联系在一起,大大减少了图谱计算的工作量。Dα(G)的特征值及其对应重数的集合称作广义距离谱,记作Dα-谱,Dα(G)的最大特征值ρ(G)称为图G的广义距离谱半径。本文主要计算了几类合成图的D-谱、L-谱、Q-谱和Dα-谱,计算了部分合成图的距离(无符号)拉普拉斯谱能量,并且构造了一类距离(无符号)拉普拉斯整谱图。此外,基于不同的图论参数,给出了图G的广义距离谱半径的一些新的上下界,并刻画了极值图。最后,得到了图G的线图L(G)的广义距离谱半径的下界。作为应用,提出了基于距离的局部维数中心性指标,研究了距离矩阵在复杂网络鲁棒性中的应用。本文的主要成果有:1.计算了簇图G{Km}、双图D2G、正则图的联图G1▽G2、G1▽(G2∪ G3)的L-谱和Q-谱;计算了剖分边边联图G1⊕G2、剖分点点联图G1◇G2和剖分点边联图G1█G2的D-谱、L-谱和Q-谱。作为推论,得到了完全二部图Km,n的L-谱和Q-谱;作为应用,计算了传递正则图的双图的距离(无符号)拉普拉斯谱能量。2.计算了Indu-Bala乘积图G1▼G2、字典式积图G⊙H、立方晶格图和C4纳米图Tk,m,C4的Dα-谱;作为推论,得到了G1▼G2的L-谱和Q-谱;作为应用,得到了一类距离(无符号)拉普拉斯整谱图Kn▼Kn+1,并且计算了Kn▼Kn+1的距离(无符号)拉普拉斯谱能量。此外,基于不同的图参数,得到了图G的广义距离谱半径的一些新的上下界,并刻画了极值图。最后,给出了图G的线图L(G)的广义距离谱半径的下界。3.作为距离矩阵在复杂网络中的应用,提出了一个基于距离r的局部维数中心性指标(LD),对比了DC、BC、CC、KS和LD五种中心性指标对WS小世界网络、BA无标度网络和蛋白质网络的攻击效果,结果显示,LD指标对网络的攻击效果优于其他指标,并分析了这三个网络的鲁棒性强弱。