弹性作为函数的相对导数,它表示因变量对自变量的相对变化率;根据其定义,建立弹性外边界条件下二阶线性齐次常微分方程的边值问题,由二阶线性齐次常微分方程第三类边值问题的相关理论,提炼出求解二阶线性齐次常微分方程弹性边值问题的相似构造法,并归纳总结出其具体步骤;然后将其应用于几类典型的特殊方程的弹性边值问题中,如:Bessel方程、变形Bessel方程、扩展变形Bessel方程、Thomson方程和S-L型方程,得到这几类特殊方程弹性边值问题解的相似结构,并分析了弹性系数和定解方程中各参数对解的影响,为特殊方程在工程和科学问题中的应用奠定了坚实的理论基础。作为弹性边值问题在工程中的实际应用,重点研讨了石油开发工程的试井分析中,利用压差对边界的弹性,引入弹性外边界条件,把以前的定压、封闭、无穷大三种理想化的外边界条件当作其特殊情况。然后在弹性外边界条件下,建立了考虑井筒储集和表皮效应的均质油藏渗流模型、考虑井筒储集并引入有效井径的均质油藏渗流模型,通过无因次变量和Laplace变换将模型转换为Laplace空间下的二阶线性齐次常微分方程的弹性边值问题,再利用相似构造法求出Laplace空间下两个模型的解,最后利用Laplace数值反演技术,绘制特征曲线并分析弹性系数以及地层中各物性参数对无因次井底压力的影响,有力地说明了石油工程中弹性外边界条件的运用,扩大了数据分析的解释范围并提高了分析的精度,具有深刻的应用价值。