随着多核系统,云计算,物联网等技术的发展,分布式计算已经成为一种主流的计算模式,其计算理论（即计算能力和复杂度）也成为一项长期的挑战.由于FLP定理,图灵计算理论不适合于这种计算模式.分布式计算依然成为现行主要的计算模式,从而分布式计算理论成为理论计算机科学的一个独立分支并得到长足发展,而拓扑学在其中起到了决定性的作用.拓扑学方法的引进,是分布式计算理论30余年来最振奋人心的成就之一,不仅极大推动了分布式理论的发展,而且也对拓扑学起了一定的促进作用,Maurice Herlihy因此而荣获理论计算机科学的最高奖—哥德尔奖.但是,时至今日,拓扑在分布式计算理论中的应用还仅仅局限于特定情形（主要是共享存储,停机失效模型中的可计算性问题）,对于更一般的模型和复杂度分析几乎还是空白,这正是本人博士研究选题的出发点.本文主要是用拓扑理论的方法来研究分布式异步系统的计算能力和复杂度.主要内容可以概括如下:1.本文构造了任意染色单纯复形的k-重染色的d-join,并证明决策任务输入复形的k-重染色的d-join等价于在d-solo模型中全息协议的协议复形（取适当的自然数k）,以此完全确立了d-solo模型中的异步可计算性定理:决策任务可解当且仅当存在一个满足任务约束且从输入复形的k-重染色的d-join到输出复形的单纯映射.由此,在d-solo模型中决策任务的可解性完全可由该任务输入复形的k-重染色的d-join和输出复形的拓扑空间的性质所决定.进一步地,通过对Input-less任务在d-solo模型中可解性的研究,给出了d-solo模型计算能力强弱关系的另一种证明,这种关系表现为d越大该模型计算能力越弱2.本文研究了“进化的”Rendezvous任务的等价分类,所谓“进化的”是指n维Ren-dezvous 任务基空间的约化同调群除第 n 维是交换群外其它都是零.我们证明两个进化的n维Rendezvous任务等价当且仅当它们的代数信号（即任务基空间的n维同调群及该群中任意一个元素所构成的序偶）之间存在一个双向的同态.进而,进化的n维Rendezvous任务的计算能力完全可以通过它的代数信号的特征来刻画.另外,本文还将一维退化的Rendezvous任务推广到任意维退化的Rendezvous任务,并且给出这类任务一个分类.3.本文还研究了 t-容错异步分布式系统的时间复杂度.我们引进了t-延误模型,同时构造了约化复形,并且证明该约化复形等价于在t-延误模型中任意t-容错协议的协议复形.进而确立了t-延误模型中异步复杂度定理:t-容错协议关于一个输入复形的时间复杂度等于该复形中被重分次数最多的单形的重分次数.由此,在t-容错的异步分布式系统中决策任务的复杂度可以由该任务输入复形中某个单形重分的程度来描绘.另外,利用这种拓扑特征给出了 Approximate agreement在t-容错的异步系统中可解的时间复杂度的紧界.