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对于整数r，如下定义pr（n）: ∞∑n=0pr（n）qn=∞Πn=1(1-qn)r.研究pr(n)是有意义的.例如，当r=-1时，我们得到经典的拆分恒等式 ∞∑n=0p-1（n）qn=∞Πn1/1-qn.当r=1时，我们得到Euler恒等式 ∞∑n=0p1(n)qn=∞Πn=1（1-qn）=∞∑n=-∞（-1）nq(3n2+n)/2.当r=3时，我们得到Jacobi恒等式 ∞∑n=0p3(n)qn=∞Πn=1(1-qn)3=∞∑n=0（-1）n（2n+1）q(n2+n)/2. 在系列论文[18]-[21]中，Newman研究了函数pr(n)的性质，在n足够小的情况下计算了pr（n），并证明了一些关于pr(n)的恒等式.另一个自然的问题是，系数pr(n)的阶有多大. 在这方面，Deligne[3]证明出，当r是偶数时， pr（n）＜＜n(r-1)/2+(ε).特别地，当r=24时，可以得到Ramanujan的著名的猜想:若 ∞∑n=1p24(n-1)qn=q∞Πn=1(1-qn)24是权为12的的尖形式△(z)的Fourier展式，则 |p24(n-1)|≤d(n)n11/2. 当r是24的倍数时，即r=24k时，Rouse[22]计算出了系数pr（n）的更精确的上界.当r≥0是24的倍数时，记 △k（z）:=∞∑n=kp24k（n-k）qn，把△k(z)表示成Hecke尖形式的和△k(z)=k∑i=1cifi，从而他得到 |p24k(n-k)|≤Ckd(n)n(12k-1)/2,并且估计了Ck的阶. 本文是为了研究pr(n)的高次均值估计.特别地，也考虑了 ∑n≤xpi48（n-2）的情况(j=1，2，3，4，5，6).文章分为三个部分.第一部分系统地介绍了本课题的研究背景，给出了本文在这方面的研究结果: 定理1.1设f(z)=∞∑n=1pr(n)qn∈Sm是任意权为m的尖形式，记作f(z)=dimSm∑i=1cifi，其中fi(z)是Hecke尖形式，且λi(n)是其第n个正规化后的Fourier系数.设tr(n)=pr(n)/nk-1/2.那么当dimSm=2时，对于任意的ε＞0，我们有 ∑n≤tr(n)＜＜x1/3， ∑n≤xt2r（n）=cx+O（x3/5）， ∑n≤xt3r（n）＜＜x5/6+ε， ∑n≤xt4r(n)=cxlogx+cx+O(x9/10+ε), ∑n≤xt5r(n)＜＜x15/16+ε， ∑n≤xt6r(n)=xP(logx)+O（x31/32+ε）.其中P（x）是四次多项式. 定理1.2尖形式 △k(z)=∞∑n=kp24k（n-k）qn，特别的，当k=2时，我们有 ∑n≤xp48（n-2）＜＜x71/6， ∑n≤x248（n-2）=cx24+O(x23+3/5)， ∑n≤xp348（n-2）＜＜x106/3+ε， ∑n≤xp448（n-2）=cx47logx+cx47+O（x46+9/10+ε）， ∑n≤xp548（n-2）＜＜x935/16+ε， ∑n≤xp648（n-2）=x70P(logx)+O(x69+31/32+ε）.其中P(x)是四次多项式. 定理1.3设f(z)=∞∑n=1pr（n）qn∈Sm是任意权为m的尖形式，记作f(z)=dimSm∑i=1cifi,其中fi(z)是Hecke尖形式，且λi（n）是其第n个正规化后的Fourier系数.设tr(n)=pr(n)/nk-1/2.那么当dimSm=3时，对于任意的ε＞0，我们有 ∑n≤xtr(n)＜＜x1/3， ∑n≤xt2r（n）=cx+O（x3/5）， ∑n≤xt3r(n)＜＜x5/6+ε， ∑n≤xt4r（n）=cxlogx+cx+O(x9/10+ε）. 定理1.4设f(z)=∞∑n=1pr（n）qn∈Sm是任意权为m的尖形式，记作f(z)=dimSm∑i=1cifi其中fi(z)是Hecke尖形式，且λi（n）是其第n个正规化后的Fourier系数.设tr（n）=pr(n)/nk-1/2.对于任意的ε＞0，我们有 ∑n≤xt2r(n2)=cx+O（x8/9+ε）， ∑n≤xt2r（n3）=cx+O(x15/16+ε）， ∑n≤xt2r(n4)=cx+O(x24/25+ε）. 第二部分介绍了证明定理所需的预备知识，包括Rankin-SelbergL-函数以及j次对称幂L-函数等各种L-函数的定义.还包括L-函数的archimedean局部分解和函数方程等相关引理. 第三部分是定理的证明.主要用到的方法是构造L-函数，将此L-函数分解成ζ函数、其他L-函数及绝对收敛函数的乘积，然后使用Perron公式及Cauchy积分定理，结合第二部分中的相关引理，得到最终的结果.