在量子时代,传统的密码体制在量子计算机面前不再安全。为了应对量子计算机造成的威胁,设计抗量子的密码体制是人们追求的目标。目前,还没有量子算法能够解决格问题,因此基于格困难问题的压缩感知和密码学是后量子密码学领域的一个重要研究课题。格问题的可证安全性和良好的应用前景以及线性结构,使格密码成为量子时代信息安全的研究热点。由于基本的压缩感知和差错学习问题在结构上具有相似性,本文对基于格困难问题的公钥密码体制和压缩感知进行研究,主要研究了基于格困难问题的公钥加密体制和认证密钥交换协议,同时探讨了压缩感知。在研究过程中,取得了如下成果:(1)基于格上差错学习问题,构造了一个在BR模型下安全的认证密钥交换协议,在BR模型下给出了安全性证明。与其它的认证密钥交换协议相比,该认证密钥交换协议计算速度快,占用较少的计算资源,效率高,能抵抗量子攻击,实用性强。此外,基于格上的差错学习问题,提出了双边差错学习问题,证明了其困难性,并给出了判断性/计算性双边差错学习问题,及判断性/计算性双边差错学习问题假设。(2)基于格上的小整数解问题,提出了一个简单的认证密钥交换协议,分析了其安全性。另外,基于小整数解问题,利用Hash函数提出了两个认证密钥交换协议,并在CK模型与eCK模型下证明了其安全性。与其他认证密钥交换协议相比,所提出的协议计算量小,安全性高。(3)基于格上的小整数解问题,构造了一个在选择明文安全模型下安全的公钥加密体制,给出其CPA安全证明过程,同时,与其他的加密体制相比,该加密体制加解密速度快、效率高、能抵抗量子攻击、实用性强。(4)构造了一个具有噪声扰动的广义压缩感知模型,研究了其限制等距性质和相关性,用数值试验证实了所提出的新型压缩感知模型的正确性与可行性。该模型为经典的压缩感知模型提供了新思路,扩大了压缩感知的研究范围和领域。