自从拓扑绝缘体在2007年被提出以来,拓扑材料受到了人们的极大关注。此后的十几年里,拓扑材料的理论分析、计算预言和实验进展都取得了丰硕的成果,拓扑材料的家族成员也日益发展壮大:比如拓扑晶态绝缘体（Topological crystalline insulators）,拓扑超导体（Topological superconduc-tors）,外尔半金属（Weyl semimetals）,狄拉克半金属（Dirac semimetals）,节点线半金属（Node-line semimetals）,节点链半金属（Node-chain semimetal-s）,霍普夫链半金属（Hopf-link semimetals）,节点面半金属（Nodal surface semimetals）等等。其中外尔半金属表现出了很多有意思的性质,比如表面费米弧、负磁阻效应、手征反常和手征磁效应等效应,而节点线半金属具有类似于鼓面的表面态,由非简单空间群保护的节点线半金属则表现出了螺旋的表面态。事实上,从理论计算上寻找各种各样的拓扑态以及通过考虑对称性的破缺、施加外场等手段来实现量子相变与量子调控在当前是一个很热门的课题。在对拓扑材料和第一性原理作了简单的回顾和总结后,本论文具体研究内容的第一部分重点讨论了著名的狄拉克半金属材料Na₃Bi在压力/应变下所诱导的量子拓扑相变。结构搜索和声子谱的计算表明静水压达到0.8 GPa会诱导Na₃Bi体系发生从P3c1到Fm（?）m的结构相变。我们结合第一性计算的方法与k · p模型详细讨论了常压相与高压相在各种应变下的拓扑相变。我们的研究表明对称性对拓扑态具有重要的作用。尤其地,最近几年以来非简单空间群及其保护的拓扑态更是将拓扑相的研究推向了一个新的高潮。本论文第二部分利用第一性计算及对称性分析的手段指出P（?）c1 YH₃是一个滑移面保护的节点线半金属,考虑了自旋轨道耦合以后会诱导出一个小能隙（≈ 3 meV）,使得该体系变成一个Z₂指标为（1,000）的拓扑绝缘体。这些拓扑态表现出了特殊的表面态,这有助于以后我们对YH₃基态相的识别。本论文第三部分提出AgF₂体系（空间群Pbca）由于自身的对称性表现出了丰富的能带交叉特性,例如:节点面,节点线,沙漏型狄拉克圆圈,我们注意到这些能带简并具有某种各面/向同性,而实际上这种各面/向同性来源于该体系对称性的轮换性。更有意思的是,我们首先在实际材料中报道了存在穿越布里渊区的节点链与浑天仪式的新型半金属态。本文的具体内容安排如下:第一章绪论首先重点回顾了拓扑相的发展历程,也即,从量子霍尔效应到拓扑绝缘体,再从拓扑绝缘体到拓扑半金属。重点介绍了外尔半金属的基本性质,包括外尔半金属的形成条件与稳定性、费米弧的表面态。然后介绍了最常见的拓扑半金属,节点线半金属。重点讨论了节点线半金属的稳定性以及相应的拓扑分类。第二章主要介绍了第一性计算的原理、空间群的表示理论以及由这二者所引申出来的k·p方法。第三章讨论了压力/应变在Na₃Bi体系所诱导的量子拓扑相变。Na₃Bi在高压下（0.8GPa）会发生从P（?）cl到到到Fm3m的结构相变。我们通过有效模型（Luttinger哈密顿）分析确认Fm（?）m的Na₃Bi的高压相为各向同性的有质量半金属。接着考虑对称性破缺导致的不可约表示的退耦对模型哈密顿量的影响,证实单轴向应变会诱导出狄拉克半金属态,利用k·p方法我们还做出了相应的量子拓扑相变的相图;沿着<100>与<111)方向的剪切应变会诱导Fm（?）m的Na₃Bi高压相发生拓扑绝缘体的相变。最后我们通过基于最大局域化瓦尼尔函数构建的紧束缚模型,计算了各种情况下的Fm（?）m的Na₃Bi高压相的表面态,结果与我们体带的能带与有效模型分析一致。第四章中基于第一性的计算以及相应的有效模型分析,我们提出了 P（?）cl YH₃在不考虑自旋轨道耦合的时候是一个受到滑移面对称性保护的节点线半金属。实际上,正是|Y⁺,d_xz>和|H1^-,s>轨道在r的能带反转构成了这些节点圆环。有三个这样的节点圆环并通过R₃z对称性而相互关联。而在考虑了自旋轨道耦合以后,将会出现一个很小的能隙（≈ 3 meV）,这将使得该体系变成一个拓扑绝缘体,相应的Z₂=（1,000）。我们发现该体系的表面态非常特别,这些对称性保护的拓扑的特殊的表面态也许会有助于我们在实验上利用ARPES（角分辨光电子能谱）识别YH₃的基态相。第五章我们提出AgF₂体系（空间群Pbca）由于自身的对称性表现出了丰富的能带交叉特性。我们发现该体系非常特别,它所表现出来的节点面,节点线,沙漏型狄拉克圆圈具有各面同性,而这些各面同性实际上来源于该体系对称性的轮换性。更有意思的是,我们首先在实际材料中报道了存在穿越布里渊区的节点链与浑天仪式的新型半金属态。根据体-边对应关系,我们计算了相应的表面性质来证实我们的分析结果。我们的结果打开了通往一个未知拓扑相的大门,也提供了研究它们的新奇物理性质的平台。第六章做了简单的总结和对拓扑半金属领域的一点展望。