环论是代数学的重要分支,也是代数几何和代数数论的基础.随着数学其它分支的发展,很多新的概念和方法被引入到环论中,极大丰富了环论的研究内容.导子隶属于算子代数领域,是微分的代数形式的推广.1957年,Posner利用环上导子的性质研究了环的结构,提出了著名的Posner定理.自此,环上导子这一跨方向的研究内容成为代数学热门的研究课题.其后,诸多学者利用各种方法从不同角度对Posner定理进行了推广.其中,一种主要的推广形式为改变在环的特殊子集上导子满足的特定条件（或恒等式）,而经常考虑的特殊子集有环的理想、Lie理想和Jordan理想等.随着导子理论的发展,涌现出许多如广义（θ,θ）-导子和反导子等推广及衍生的导子,将素环上导子的性质推广到这些广义及衍生的导子上是非常有意义的.2006年,Oukh tite和Salhi提出了比素环更具一般性的概念:σ-素环.很多学者将素环上的结果推广到σ-素环上,得到了一系列有价值的成果.本文利用代换、线性化等代数方法,借鉴前人的研究成果,研究了素环的非零理想和Lie理想上广义（θ,θ）-导子的性质,以及σ-素环的非零σ-Lie理想和σ-Jordan理想上反导子的性质.主要在三个方面加以创新:将素环和σ-素环上导子的性质推广到广义（θ,θ）-导子和反导子上;改变导子在环（或环的特殊子集）上所满足的条件,着重讨论在环的特殊子集上成为同态或反同态导子的性质,并以此来刻画环的结构;将素环上导子的性质推广到σ-素环上,并改变使导子所满足的特定条件成立的环的特殊子集,将Lie理想推广为σ-Lie理想,将Jordan理想推广为σ-Jordan理想.本文共分为四章:第一章阐述了文章的研究背景和意义、国内外研究现状、文章涉及到的基本概念和恒等式,以及本文的主要工作和创新点;第二章研究了广义（θ,θ）-导子在素环的非零理想和非零平方封闭Lie理想上的性质;第三章研究了反导子在σ-素环的非零σ-Lie理想和非零σ-Jordan理想上的性质;第四章对本文进行了总结.