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中图分类号:G633.63文献标识码:A 文章编号:1008-925X(2011)09-0174-02
在立体几何中,法向量是将空间几何问题转换成代数问题的一种有效手段,往往可以起到化难为易的效果,而且使整个解题过程转化为程序化的向量运算,简捷方便,能减轻空间想象之苦。下面就平面法向量在立体几何中的作用做一个初步探索。
1法向量的定义
如果n⊥α,那么向量n叫做平面α的法向量.
(图1)
2 求平面的法向量的方法
2.1 观察题目中是否有平面的法向量;
2.2 设出法向量n=(x,y,z),在平面内任取两个不共线的向量α,β
由:α•n=0
β•n可求出满足方程组的一个解,从而求出平面的一个法向量.
3 法向量的应用
3.1 证明线面平行、面面平行
线面平行:转换为线所在的向量与面的法向量的数量积为0
面面平行:转换为两个面的法向量平行
例1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,E、F、G分别为棱AB、BC、BB1的中点求证:(1)BO∥平面A1C1D;(2)平面EFG∥平面A1C1D1
分析:建立空间直角坐标系(如图),计算OB,平面A1C1D的法向量n1
平面EFG的法向量n2
证明OB1⊥n1,n1//n2
证明:建系如图D-xyz,设边长为2,则O(1,1,0)、B1(2,2,2)、A1(2,0,2)、C1(0,2,2)
D(0,0,0)、E(2,1,0)、F(1,2,0)、G(2,2,1),设平面A1C1D的法向量n=(x1,y1,z1), 平面EFG的法向量n2=(x2,y2,z2)
(1)、OB=(1,1,2),A1C1=(-2,2,0),DA1=(2,0,2),
由A1C1•n1=0
DA1•n1=0,故有-2x1+2y1=0
2x1+2z1=0,令x1=1,则y1=1,z1=-1.∴n1=(1,1,-1)
∴OB1•n1=0,∴B1O∥平面A1C1D
(2)EF=(-1,1,0),EG=(0,1,1),由
EF•n2=0
EG•n2=0,故有
-x2+y2=0
x2+z2=0,令x2=1,则y2=1,z2=-1.∴n1=(1,1,-1)
显然n1//n2,∴平面EFG∥平面A1C1D
3.2证明线面垂直、面面垂直。
面面垂直:法向量为载体,转化为求两个平面法向量的数量积等于0
线面垂直:以法向量为载体,转化为求平面法向量与直线所在的向量平行
例2.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为22,侧棱长为4,E,F分别为棱AB、BC的中点.
求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1
解:以D为原点,DA,DC,DD1分别
为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(22,22,0),E(22,2,0),F(2,22,0)D1(0,0,4)B1(22,22,4)EF=(-2,2,0)EB1=(0,2,4),DD1=(0,0,4),DB=(22,22,0)
设平面EF的法向量为n=(x,y,z),
则-2x+2y=0;n⊥EB1即2y+4z=0.所以令n=(4,4,-2)
设平面BDD1B的法向量为n1=(x1,y1,z1),n1⊥DD1,即4z1=0;n1⊥DB,即22x+22y=0.所以可令n1=(2,-2,0).∵n•n2=(4,4,-2)(4,4,-2)=0
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
3.3 求异面直线的距离。
先设法求出同时与异面直线垂直的法向量n,然后在两异面直线上分别任取点A,B,则
(图6)
例3. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求直线DA1的AC距离.
解析: 建立坐标系B1-xyz,如图7所示,则点
A(1,0,1),C(0,1,1),A1(1,0,0),D(1,1,1),則A1A=(0,0,1),AC=(-1,1,0),A1D=(0,1,1),设
n=(x,y,z)为与AC与A1D同时垂直的向量,即-x+y=0
y+z=0,故n=(1,1,-1)为其中一个法向量,
所以直线DA1的AC距离为33.
评述:利用法向量解立体几何题,可以克服平面的垂线难作、角难找、图难画等难点,但要评估综合几何法与向量法在解决立几综合问题时的优劣,根据题目特点灵活使用.而恰当的建系是使用法向量解决立几问题的前提. 利用法向量求线面角、二面角应特别注意角度之间的转化.
在立体几何中,法向量是将空间几何问题转换成代数问题的一种有效手段,往往可以起到化难为易的效果,而且使整个解题过程转化为程序化的向量运算,简捷方便,能减轻空间想象之苦。下面就平面法向量在立体几何中的作用做一个初步探索。
1法向量的定义
如果n⊥α,那么向量n叫做平面α的法向量.
(图1)
2 求平面的法向量的方法
2.1 观察题目中是否有平面的法向量;
2.2 设出法向量n=(x,y,z),在平面内任取两个不共线的向量α,β
由:α•n=0
β•n可求出满足方程组的一个解,从而求出平面的一个法向量.
3 法向量的应用
3.1 证明线面平行、面面平行
线面平行:转换为线所在的向量与面的法向量的数量积为0
面面平行:转换为两个面的法向量平行
例1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,E、F、G分别为棱AB、BC、BB1的中点求证:(1)BO∥平面A1C1D;(2)平面EFG∥平面A1C1D1
分析:建立空间直角坐标系(如图),计算OB,平面A1C1D的法向量n1
平面EFG的法向量n2
证明OB1⊥n1,n1//n2
证明:建系如图D-xyz,设边长为2,则O(1,1,0)、B1(2,2,2)、A1(2,0,2)、C1(0,2,2)
D(0,0,0)、E(2,1,0)、F(1,2,0)、G(2,2,1),设平面A1C1D的法向量n=(x1,y1,z1), 平面EFG的法向量n2=(x2,y2,z2)
(1)、OB=(1,1,2),A1C1=(-2,2,0),DA1=(2,0,2),
由A1C1•n1=0
DA1•n1=0,故有-2x1+2y1=0
2x1+2z1=0,令x1=1,则y1=1,z1=-1.∴n1=(1,1,-1)
∴OB1•n1=0,∴B1O∥平面A1C1D
(2)EF=(-1,1,0),EG=(0,1,1),由
EF•n2=0
EG•n2=0,故有
-x2+y2=0
x2+z2=0,令x2=1,则y2=1,z2=-1.∴n1=(1,1,-1)
显然n1//n2,∴平面EFG∥平面A1C1D
3.2证明线面垂直、面面垂直。
面面垂直:法向量为载体,转化为求两个平面法向量的数量积等于0
线面垂直:以法向量为载体,转化为求平面法向量与直线所在的向量平行
例2.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为22,侧棱长为4,E,F分别为棱AB、BC的中点.
求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1
解:以D为原点,DA,DC,DD1分别
为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(22,22,0),E(22,2,0),F(2,22,0)D1(0,0,4)B1(22,22,4)EF=(-2,2,0)EB1=(0,2,4),DD1=(0,0,4),DB=(22,22,0)
设平面EF的法向量为n=(x,y,z),
则-2x+2y=0;n⊥EB1即2y+4z=0.所以令n=(4,4,-2)
设平面BDD1B的法向量为n1=(x1,y1,z1),n1⊥DD1,即4z1=0;n1⊥DB,即22x+22y=0.所以可令n1=(2,-2,0).∵n•n2=(4,4,-2)(4,4,-2)=0
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
3.3 求异面直线的距离。
先设法求出同时与异面直线垂直的法向量n,然后在两异面直线上分别任取点A,B,则
(图6)
例3. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求直线DA1的AC距离.
解析: 建立坐标系B1-xyz,如图7所示,则点
A(1,0,1),C(0,1,1),A1(1,0,0),D(1,1,1),則A1A=(0,0,1),AC=(-1,1,0),A1D=(0,1,1),设
n=(x,y,z)为与AC与A1D同时垂直的向量,即-x+y=0
y+z=0,故n=(1,1,-1)为其中一个法向量,
所以直线DA1的AC距离为33.
评述:利用法向量解立体几何题,可以克服平面的垂线难作、角难找、图难画等难点,但要评估综合几何法与向量法在解决立几综合问题时的优劣,根据题目特点灵活使用.而恰当的建系是使用法向量解决立几问题的前提. 利用法向量求线面角、二面角应特别注意角度之间的转化.