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在解决轴对称图形的问题时，有些同学由于概念模糊、读题不仔细、缺乏分类讨论思想、解题方法单一等原因导致错误或不会解题，下面就同学们在解题中常见的错误进行分类辨析，希望能给同学们的学习提供帮助.
一、 概念模糊、答题随意
例1 （1） 等边三角形的对称轴是_______.
【解析】很多同学的错解是：三条高线或三条角平分线或三条中线.产生这种错误的根源是对“对称轴是一条直线”这个概念模糊不清.
【正确答案】三条高线所在的直线或三条角平分线所在的直线或三条中线所在的直线.
（2） 一个三角形一边上的中线和高重合，则这个三角形是_______.
【解析】部分同学的错解是等腰三角形或等边三角形.产生这种错误的根源是忽视了等边三角形是特殊的等腰三角形，两个概念之间的包含关系.
【正确答案】等腰三角形.
二、 读题不仔细，缺乏分类讨论思想导致漏解
例2 （1） 如图1，画出到△ABC三边距离相等的点，共有几个？
（2） 如图2，直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？
【解析】两题很相似，都是画角平分线的交点，如果同学不注意细节，没有关注到第（1）题中三角形的边是线段，而第（2）题中讲的是直线，那么将会把两题都答出一样的答案：1个.
【正确答案】（1） 1个（点在三角形内部）；（2） 4个（图中四个区域中各1个点）.
例3 （1） 等腰三角形的一个角为50°，则其余两角的度数为_______.
（2） 等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为4 cm，则另两边长为_______.
【解析】等腰三角形较一般三角形特殊之处就是角有顶角和底角之分，边有腰和底之分，这就决定了在解决如上问题时要看清题目是否明确指出角的身份和边的身份，若没有明确指出，则必须分类讨论.
【正确答案】（1） 当这个50°角是顶角时，其余两个是底角，度数为=65；
当这个50°角是底角时，另两个角中一个也是底角，度数为50，另一个是顶角，度数为180-2×50=80.
所以答案为：65°、65°或80°、50°.
（2） 当其中4 cm长的边为腰时，则底边长为10-2×4=2；
当其中4 cm长的边为底时，则腰长为=3.
所以答案为：4 cm、2 cm或3 cm、3 cm.
例4 （1） 等腰三角形的两边长分别是5 cm和9 cm，则它的周长为_______.
（2） 等腰三角形的两边长分别是4 cm和9 cm，则它的周长为________.
【解析】通过分类讨论可得（1）的答案是5 5 9=19或9 9 5=23；（2）的答案是4 4 9=17或9 9 4=22.想一想这样的解答正确吗？题目没有明确边的身份，所以进行分类讨论是对的，但是第（2）题中的第一种分类，这个三角形三边长分别是4、4、9，根据三角形两边之和大于第三边，是不能组成三角形的，所以要舍去.
【正确答案】（1） 当5 cm是腰长时，三角形三边长分别为5 cm、5 cm和9 cm，能组成三角形，周长为5 5 9=19；
当9 cm是腰长时，三角形三边长分别为9 cm、9 cm和5 cm，能组成三角形，周长为9 9 5=23.
所以答案为：19 cm或23 cm.
（2） 当4 cm是腰长时，三角形三边长分别为4 cm、4 cm和9 cm，不能组成三角形，这种情况舍去；
当9 cm是腰长时，三角形三边长分别为9 cm、9 cm和4 cm，能组成三角形，周长为9 9 4=22；
所以答案为：22 cm.
三、 解题思路单一，不善应用方程和整体思想方法
例5 （1） 如图3，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，且BD=BE，∠A=100°，则∠DEC=_______.
（2） 如图4，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=30°，∠EDC=_______.
【解析】如第（1）题是同学们掌握得很好的常规题，由等边对等角、三角形内角和为180°、平角定义，一步步转化，从而得出正确的结论；而用这种方法想要解决第（2）题，就会发现仅从条件出发一个角的度数都没办法求出，此时，思路受阻，如果同学们大脑中只有这种单一的直接的解题方法的话，这类问题就无从下手.引入方程思想和整体思想，本题才能顺利解决.
【正确答案】
（1） ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.
∵∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°.
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBE=20°.
∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE=80°.
∵∠BED ∠DEC=180°，
∴∠DEC=100°.
（2） 由等边对等角得∠B=∠C=α， ∠ADE=∠AED=β，所求∠EDC即可转化为β-α，已知的∠BAD=30°，转化为∠BAC-∠DAE=30°，即180-2α-（180-2β）=30°，通过计算可以求出整体β-α=15°，则∠EDC=15°.
透过错题可以发现自己的问题，分析错题产生的原因，让你更清晰地了解你的问题所在，订正整理错题，让你不仅解决问题，更重要的是可以完善你的知识结构，让你的学习事半功倍.
练一练：
1. 下列说法中：（1） 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；（2） 等腰三角形的两腰上的中线长相等；（3） 等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；（4） 等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40.其中不正确的是________（填序号） .
2. 如图5，在△ABC中，AB=AC=BD，其中D为边BC上的点，求∠1和∠2的大小关系.
答案：1. （1）（3）（4）
2. 提示：设∠B=α，则∠2=90-，∠1=90-，消去α可得：3∠2-∠1=180°
（作者单位：江苏省常熟市第一中学）
一、 概念模糊、答题随意
例1 （1） 等边三角形的对称轴是_______.
【解析】很多同学的错解是：三条高线或三条角平分线或三条中线.产生这种错误的根源是对“对称轴是一条直线”这个概念模糊不清.
【正确答案】三条高线所在的直线或三条角平分线所在的直线或三条中线所在的直线.
（2） 一个三角形一边上的中线和高重合，则这个三角形是_______.
【解析】部分同学的错解是等腰三角形或等边三角形.产生这种错误的根源是忽视了等边三角形是特殊的等腰三角形，两个概念之间的包含关系.
【正确答案】等腰三角形.
二、 读题不仔细，缺乏分类讨论思想导致漏解
例2 （1） 如图1，画出到△ABC三边距离相等的点，共有几个？
（2） 如图2，直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？
【解析】两题很相似，都是画角平分线的交点，如果同学不注意细节，没有关注到第（1）题中三角形的边是线段，而第（2）题中讲的是直线，那么将会把两题都答出一样的答案：1个.
【正确答案】（1） 1个（点在三角形内部）；（2） 4个（图中四个区域中各1个点）.
例3 （1） 等腰三角形的一个角为50°，则其余两角的度数为_______.
（2） 等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为4 cm，则另两边长为_______.
【解析】等腰三角形较一般三角形特殊之处就是角有顶角和底角之分，边有腰和底之分，这就决定了在解决如上问题时要看清题目是否明确指出角的身份和边的身份，若没有明确指出，则必须分类讨论.
【正确答案】（1） 当这个50°角是顶角时，其余两个是底角，度数为=65；
当这个50°角是底角时，另两个角中一个也是底角，度数为50，另一个是顶角，度数为180-2×50=80.
所以答案为：65°、65°或80°、50°.
（2） 当其中4 cm长的边为腰时，则底边长为10-2×4=2；
当其中4 cm长的边为底时，则腰长为=3.
所以答案为：4 cm、2 cm或3 cm、3 cm.
例4 （1） 等腰三角形的两边长分别是5 cm和9 cm，则它的周长为_______.
（2） 等腰三角形的两边长分别是4 cm和9 cm，则它的周长为________.
【解析】通过分类讨论可得（1）的答案是5 5 9=19或9 9 5=23；（2）的答案是4 4 9=17或9 9 4=22.想一想这样的解答正确吗？题目没有明确边的身份，所以进行分类讨论是对的，但是第（2）题中的第一种分类，这个三角形三边长分别是4、4、9，根据三角形两边之和大于第三边，是不能组成三角形的，所以要舍去.
【正确答案】（1） 当5 cm是腰长时，三角形三边长分别为5 cm、5 cm和9 cm，能组成三角形，周长为5 5 9=19；
当9 cm是腰长时，三角形三边长分别为9 cm、9 cm和5 cm，能组成三角形，周长为9 9 5=23.
所以答案为：19 cm或23 cm.
（2） 当4 cm是腰长时，三角形三边长分别为4 cm、4 cm和9 cm，不能组成三角形，这种情况舍去；
当9 cm是腰长时，三角形三边长分别为9 cm、9 cm和4 cm，能组成三角形，周长为9 9 4=22；
所以答案为：22 cm.
三、 解题思路单一，不善应用方程和整体思想方法
例5 （1） 如图3，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，且BD=BE，∠A=100°，则∠DEC=_______.
（2） 如图4，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=30°，∠EDC=_______.
【解析】如第（1）题是同学们掌握得很好的常规题，由等边对等角、三角形内角和为180°、平角定义，一步步转化，从而得出正确的结论；而用这种方法想要解决第（2）题，就会发现仅从条件出发一个角的度数都没办法求出，此时，思路受阻，如果同学们大脑中只有这种单一的直接的解题方法的话，这类问题就无从下手.引入方程思想和整体思想，本题才能顺利解决.
【正确答案】
（1） ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.
∵∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°.
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBE=20°.
∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE=80°.
∵∠BED ∠DEC=180°，
∴∠DEC=100°.
（2） 由等边对等角得∠B=∠C=α， ∠ADE=∠AED=β，所求∠EDC即可转化为β-α，已知的∠BAD=30°，转化为∠BAC-∠DAE=30°，即180-2α-（180-2β）=30°，通过计算可以求出整体β-α=15°，则∠EDC=15°.
透过错题可以发现自己的问题，分析错题产生的原因，让你更清晰地了解你的问题所在，订正整理错题，让你不仅解决问题，更重要的是可以完善你的知识结构，让你的学习事半功倍.
练一练：
1. 下列说法中：（1） 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；（2） 等腰三角形的两腰上的中线长相等；（3） 等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；（4） 等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40.其中不正确的是________（填序号） .
2. 如图5，在△ABC中，AB=AC=BD，其中D为边BC上的点，求∠1和∠2的大小关系.
答案：1. （1）（3）（4）
2. 提示：设∠B=α，则∠2=90-，∠1=90-，消去α可得：3∠2-∠1=180°
（作者单位：江苏省常熟市第一中学）