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【摘要】本文用z变换法、解差分方程法、矩阵法等三种方法求出了Fibonaci数列的通项公式，并利用其通项公式证明了Fibonaci数列的重要性质.
【关键词】Fibonaci数列；z变换；差分方程
一、引 言
Fibonaci数列,Fn:1,1,2,3,5,8,11，…，其递推公式为Fn+2=Fn+1+Fn(n≥1),F1=F2=1，但如果能够给出其通项公式，将有利于我们研究其性质.以下我将给出z变换法、解差分方程法、矩阵法等三种方法来求其通项公式.
二、求解公式
方法1 z变换法.
设F1(k+1)=F2(k)，F2(k+1)=F1(k)+F2(k).(1)
其中F1(0)=F2(0)=1.
可用迭代法求得序列F1(k)，F2(k)：
F1(1)=F2(0)=1,F2(1)=F1(0)+F2(0)=2,
F1(2)=F2(1)=2,F2(2)=F1(1)+F2(1)=3,
F1(3)=F2(2)=3,F2(3)=F1(2)+F2(2)=5,
……
F1(k)：1,1,2,3,5，…；F2(k)：1，2，3，5，8，…均为Fibonaci数列.
对（1）进行z变换有：
zF1(z)-zF1(0)=F2(z),zF2(z)-zF2(0)=F1(z)+F2(z)，
整理有:z2F2(z)-z2F2(0)=zF1(z)+zF2(z)=zF1(0)+F2(z)+zF2(z)，
F2(z)=z+z2z2-z+1
=z+z2z-1+52z-1-52
=3+525•zz-1+52+-3+525•zz-1-52 .
由z变换的反变换有:
F2(k)=3+525•1+52k+-3+525•1-52k
=15•1+52k+2+-15•1-52k+2(k=0,1,2,…)，
F1(k)=15•1+52k+1+-15•1-52k+1(k=0,1,2,…)
为Fibonaci数列的通项公式.
方法2 用差分方程方法求解.
Fn+2=Fn+1+Fn，(n≥1,F1=F2=1)，
即Fn+2-Fn+1-Fn=0.
其特征方程为:
λ2-λ-1=0，λ1,2=1±52，
Fn=c1•1+52n+c2•1-52n.
因为F1=F2=1有：
1=c1•1+52+c2•1-52，
1=c1•1+522+c2•1-522，
c1=15，c2=-15.
Fn=15•1+52n-15•1-52n为Fibonaci数列的通项公式.
方法3 用矩阵推导其通项公式.
un=FnFn-1，n≥2，A=1110，u2=11.
un=Aun-1=A2un-2=…=An-1u2A为对称阵,存在正交阵P,使A对角化.由代数知识可知，A的特征值为：λ1,2=1±52.
求出其对应的特征向量并单位化进而构造出矩阵P.
P=1+510+251-510-25210+25210-25，
A=P1+52001-52P-1，
An-2=PDn-2P-1，D=diag1+52,1-52，
PT=P-1，
un=An-2u2=PDn-2P-1u2
=1+510+251-510-25210+25210-25•
1+52n-2001-52n-2•
1+510+25210+251-510-25210-25
11
=15•1+52n-15•1-52n
15•1+52n-1-15•1-52n-1=FnFn-1，
Fn=15•1+52n-15•1-52n.
三、公式的应用
性质1 Fn•Fn-1-F2n=(-1)n.
性质2 Fn+1+Fn-1+5Fn=2•1+52n，
Fn+1+Fn-1-5Fn=2•1-52n.
性质3 Fn+d•Fn-d-F2n=(-1)n-d+1F2d.
性质4 Fn+1•Fn+2-FnFn+3=(-1)n.
只证明性质1：
Fn•Fn-1-F2n
=151+52n+1-1-52n+1• 1+52n-1-1-52n-1- 151+52n-1-52n2
=15［-3(-1)n-1+2(-1)n］=(-1)n.
四、小 结
本文利用z变换法、解差分方程法、矩阵法等三种方法求出了Fibonaci数列的通项公式，使得研究Fibonaci数列的性质更加方便简捷.
本文受到陕西科技大学2011年教学改革项目支持（11JG62）.
【参考文献】
［1］孙庆海，戴志国.Fibonaci数列的几个性质.数学通报，1997（4）：38-40.
［2］同济大学数学教研室编.线性代数（第三版）.北京：高等教育出版社.
【关键词】Fibonaci数列；z变换；差分方程
一、引 言
Fibonaci数列,Fn:1,1,2,3,5,8,11，…，其递推公式为Fn+2=Fn+1+Fn(n≥1),F1=F2=1，但如果能够给出其通项公式，将有利于我们研究其性质.以下我将给出z变换法、解差分方程法、矩阵法等三种方法来求其通项公式.
二、求解公式
方法1 z变换法.
设F1(k+1)=F2(k)，F2(k+1)=F1(k)+F2(k).(1)
其中F1(0)=F2(0)=1.
可用迭代法求得序列F1(k)，F2(k)：
F1(1)=F2(0)=1,F2(1)=F1(0)+F2(0)=2,
F1(2)=F2(1)=2,F2(2)=F1(1)+F2(1)=3,
F1(3)=F2(2)=3,F2(3)=F1(2)+F2(2)=5,
……
F1(k)：1,1,2,3,5，…；F2(k)：1，2，3，5，8，…均为Fibonaci数列.
对（1）进行z变换有：
zF1(z)-zF1(0)=F2(z),zF2(z)-zF2(0)=F1(z)+F2(z)，
整理有:z2F2(z)-z2F2(0)=zF1(z)+zF2(z)=zF1(0)+F2(z)+zF2(z)，
F2(z)=z+z2z2-z+1
=z+z2z-1+52z-1-52
=3+525•zz-1+52+-3+525•zz-1-52 .
由z变换的反变换有:
F2(k)=3+525•1+52k+-3+525•1-52k
=15•1+52k+2+-15•1-52k+2(k=0,1,2,…)，
F1(k)=15•1+52k+1+-15•1-52k+1(k=0,1,2,…)
为Fibonaci数列的通项公式.
方法2 用差分方程方法求解.
Fn+2=Fn+1+Fn，(n≥1,F1=F2=1)，
即Fn+2-Fn+1-Fn=0.
其特征方程为:
λ2-λ-1=0，λ1,2=1±52，
Fn=c1•1+52n+c2•1-52n.
因为F1=F2=1有：
1=c1•1+52+c2•1-52，
1=c1•1+522+c2•1-522，
c1=15，c2=-15.
Fn=15•1+52n-15•1-52n为Fibonaci数列的通项公式.
方法3 用矩阵推导其通项公式.
un=FnFn-1，n≥2，A=1110，u2=11.
un=Aun-1=A2un-2=…=An-1u2A为对称阵,存在正交阵P,使A对角化.由代数知识可知，A的特征值为：λ1,2=1±52.
求出其对应的特征向量并单位化进而构造出矩阵P.
P=1+510+251-510-25210+25210-25，
A=P1+52001-52P-1，
An-2=PDn-2P-1，D=diag1+52,1-52，
PT=P-1，
un=An-2u2=PDn-2P-1u2
=1+510+251-510-25210+25210-25•
1+52n-2001-52n-2•
1+510+25210+251-510-25210-25
11
=15•1+52n-15•1-52n
15•1+52n-1-15•1-52n-1=FnFn-1，
Fn=15•1+52n-15•1-52n.
三、公式的应用
性质1 Fn•Fn-1-F2n=(-1)n.
性质2 Fn+1+Fn-1+5Fn=2•1+52n，
Fn+1+Fn-1-5Fn=2•1-52n.
性质3 Fn+d•Fn-d-F2n=(-1)n-d+1F2d.
性质4 Fn+1•Fn+2-FnFn+3=(-1)n.
只证明性质1：
Fn•Fn-1-F2n
=151+52n+1-1-52n+1• 1+52n-1-1-52n-1- 151+52n-1-52n2
=15［-3(-1)n-1+2(-1)n］=(-1)n.
四、小 结
本文利用z变换法、解差分方程法、矩阵法等三种方法求出了Fibonaci数列的通项公式，使得研究Fibonaci数列的性质更加方便简捷.
本文受到陕西科技大学2011年教学改革项目支持（11JG62）.
【参考文献】
［1］孙庆海，戴志国.Fibonaci数列的几个性质.数学通报，1997（4）：38-40.
［2］同济大学数学教研室编.线性代数（第三版）.北京：高等教育出版社.