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摘 要：为了更好地进行高等代数的教学，我们讨论了高等代数的教学模式、教学方法等内容，提出了一些行之有效的措施，对进一步搞好高等代数教学有着积极的意义。
关键词：高等代数;教学模式;教学方法;数学专业;教学改革
中图分类号：G642.1 文献标识码：A
一、现状与背景
数学专业有“老三基”“新三基”之说。“老三基”是指高等代数、数学分析和空间解析几何。作为三大基础课程之一的高等代数课程是数学专业学生最重要的前趋课程，它在数学的各分支中有广泛的应用，比如在概率与数理统计和矩阵论等后继学科中就会不时有高等代数的知识闪现。不仅如此，高等代数的知识还广泛地应用到自然科学和社会科学的方方面面。高等代数课程由于其自身的高度抽象性、逻辑性等特点，对学生的抽象思维能力与逻辑能力的提高和学生数学素养的养成有非常重要的作用。正是因为如此，各高校相关专业对高等代数的教学极其重视，但是在实际教学过程中也暴露出一些问题：教学方式比较单一、教学内容基本按照国内流行的几本经典教材进行开设，没根据不同专业特点进行优化、过多地强调理论知识，对相关知识的应用讲解匮乏等。现在我们进行高等代数教学创新，如果不能告诉学生怎样学以致用，那么创新是没有达到目的的，收效将会非常小。我们应该从教学内容到教学方式、教学方法都进行改革与创新并付诸实践，才有希望得到我们所期望的效果。
从众多高校的实际情况看，北京大学代数与几何教研组主编和张禾瑞教授等主编的高等代数教材是国内比较经典的两本教材。除此之外，还有以这两本教材为蓝本适度添加了一些最新代数学知识的教材和一些知名高校自己主编的教材。由于北京大学代数与几何教研组主编的高等代数教材被采用的广泛性，本文中，我们以北京大学代数与几何教研组主编的高等代数教材进行讨论。
二、高等代数教学内容与教学模式存在的一些问题
北京大学代数与几何教研组主编的高等代数教材目前已经更新到第五版，是一本非常好且特别适合高等师范院校的高等代数教材。不过，由于代数学本身的发展以及高校教育体系的改革，这本教材的内容和安排至少需要各个学校根据自身情况做出相应的调整才能更好地发挥它的作用。我们下面从教学内容与教学模式上来探讨一下存在的一些问题：
（1）教学内容太多。首先，现在的高校在教学时间上做了很大的调整，以前在大四时仍旧安排有大量专业课，现在基本把专业课压缩到前三年。这主要是由于现在的大学生就业压力大，第四年的时候学生教学实习延长，面试各类工作岗位和准备复习考研而不得不这样安排。那么问题就出现了，教学时间的缩短，作为占用课时较多的高等代数自然会被压缩课时。这对本身时间就比较紧张的高等代数教学带来了更大的压力。以我校为例，数学与应用数学专业高等代数教学的总课时现在约为216学时（45分钟/课时），原课程内容安排和现课时数已经非常不相适应。现在的处理方法比较单一，就是选择一些章节不讲。其实教材内有一些内容也应该做一些调整，有些内容可以删除。
（2）教学内容的选择和讲授的逻辑关系需要由任课教师理顺。虽然经过多次再版，但是该教材内容几乎没什么改变，内容安排的顺序有待调整。从内容上看，基本是比较经典但显老旧的代数知识，对现代代数学的新成果没有涉及，甚至就是这些内容本身，众多师生提出的一些新方法、新思路也没有什么体现。在顺序的安排上，学生一进校即是非常抽象的多项式理论，有部分学生感到很不适应，可否考虑安排在线性方程组讲完？在讲行列式计算时，很突兀地插入矩阵的定义的内容和所在小节题目欠缺违和感且有损行列式计算讲解的连续性。可否放在第四章一并讲解？……诸如此类的问题也让我们有必要对教材内容的安排进行重新研究，探究一些新内容、新方法。
（3）教学内容的实用性体现较少，特别是与中学教学联系不紧密。学习高等代数后让学生不知它有什么实用性，因此学习起来动力不足。其实，我们可以添加一些与中学数学有关的知识让学生对高等代数的作用有正确的认识。比如将多项式可能的有理根的时候，我们可以把学生在中学时学习的有理数域上多项式的因式分解联系起来，化繁为简。学生一看，原来高等代数的知识还真有作用，是不是会增添学习的兴趣？不要让学生陷于定义、定理、证明的抽象理论之中。
（4）从教学模式教学方法上看，高校一般采取的高等代数的教学模式是传统（板书）的方式为主，学生听课做笔记，教师在黑板上推演，学生谈不上创新地接受知识，老师也没有创新性的讲解。教学方法呆板、陈旧，现有的教学手段如电教设备基本没发挥多大作用，课堂互动性不足。近年来流行的一些行之有效的教学方法我们也应该积极地引入高等代数的教学中，这样才能有效提高学生分析问题解决问题的能力，让高等代数的学习起到应有的作用。
三、高等代数教学内容与教学模式的一些思考
结合多年任教高等代数的感受，通过我们的研究，对教学内容有以下思路：
（一）应该根据专业特点灵活掌握教学内容
我们首先应该研究高等代数课程在各专业中的定位，明确课程教学目的，从而在面对不同专业学生时做到因人施教。为深入推进高等代数课程教学内容创新的研究，我院对数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业的高等代数课程采用侧重不同的教学内容。对数学与应用数学专业，由于学生基础好，且对数学专业具有浓厚兴趣，因此我们除精讲、细讲教材内容外，还适当地补充一些能力所及的内容。很多同学为此受益匪浅，激发出对数学浓厚的兴趣。信息与计算科学和统计学专业学生只需要掌握高等代数的基本思想、基本内容和基本技能，使之服務于信息与计算科学和统计学。我们在教学内容上与培养数学师范生有一定的区别。依据课程大纲，我们在教学中大胆、灵活地对内容进行优化，针对这两个专业并不需要每个定理、每个推论都证明，只需保证知识的系统性和达到培养目的。通过近些年的实践，不同专业的学生都反应良好，且得到了较好的发展。还有，教材内容的安排顺序可按照教师及学生实际情况合理进行优化调整，不能照本宣科。对于有的内容，比如第十章，除非专业特别需求，我们可以不讲授，学生自学。对于第八章λ矩阵，我们完全可以放在选修课里讲解，以适用为标准。烦琐的证明，如果其方法没有普遍意义也不妨删除不讲。 （二）教学内容可以精细化讲解
我们团队成员间积极开展教学互助，创新与协作意识得到加强。为充分发挥团队成员的集体力量和个人特长，共同对学生进行教学，我们团队成员及代数组教师间积极开展教学互助。由于我们代数组教师大都承担过高等代数的教学，每个人各有自己的心得体会，各有独到的方法。具体操作中，我们两到三人为一组具体负责高等代数的某一部分内容。这样操作以后，我们发现老师们对相关教学内容的把握更加精准到位，且彼此交流积极开展教学互助，相得益彰，取得了一批创新性的教学成果。
（三）高等代数教学模式和方法应该与时俱进
随着科学水平的提高，各种电教设备不断投入教学一线，各种教研成果不断呈现。我们应该在传统的教学模式上引入慕课、微格及线上教学等新颖的教学模式。教学手段上利用投影仪等设备演示一些纯文字和较抽象的内容，使其直观，提高效果和效率，也增加了师生互动性。例如，我们采用电教投影手段讲解线性相关线性无关性就可能取得传统板书教学起不到的效果。充分调动同学们的积极性，还可以采用学习小组先预习讨论，再上课听讲，然后再学习小组复习讨论的方法进行学习。其实，分层教学和小班教学也不妨采用，特别适合于考研和有志于数学研究的同学。其实，我们还可以在小范围内借鉴研究生上课的方法，可以让学生自己先预习准备，让学生个人或小组推选的代表来讲课，然后学生评点，最后老师总结。当然，这种方法耗时较多。在我院的具体操作实践中，我们分别采用了这些方法进行探索，取得了积极的效果，不过还需要进一步完善。总之，教学方法和教学模式适合自己学生的就是好方法、好模式。
（四）高等代数教学应该重视题库的建设
高等代数是一门抽象的代数学课程，相关的知识点需要进行一定数量的习题练习加以巩固。根据我们研究，一般来说成绩好的同学都在课外作业之后还做了参考书上的大量习题。这就提出了一个问题，做哪里的习题，怎么做？其实，这个可以通过高等代数题库来解决。我们把高等代数相关章节的习题系统化、规范化，学生只需进入题库做相应的习题即可。这样的好处是高效便捷，所以进行高等代数教学改革创新和实践题库建设必不可少。
（五）高等代数教学创新、实践和科学研究应该相辅相成
科研和教学是高校教师的两个重要任务，教学自不必说，科研是提高高校教师自身素质的内在要求。要想培养出优秀学生，教师自身必须能力强、科研水平高。另外，由于课程本身的抽象，许多概念学生不知道如何去应用。为了探索教学和实践的结合，提高学生的应用知识的能力，需要在引入一些重要概念如矩阵、线性方程、向量空间等时给学生讲解其在实践上的应用来帮助学生理解概念的应用背景。从而尽可能地把高等代数理论与实践相结合，提高教学质量。
四、结语
我们在此探讨高等代数的教学模式和教学内容的创新，其目的就是想用现代文化、科技发展的新成果充实和更新高等代数课程教学内容，应用现代教育技术和手段改革传统高等代数课程教学模式、教学方法。在新形势下，整合教学资源，进一步提高高等代数课程教学质量，最终的目标就是为国家培养合格的、优秀的人才。
参考文献：
[1]张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2020.
[2]北京大学数学系.高等代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2020.
[3]陳重穆，姜国贵.关于高师《高等代数》教材改革的若干意见[J].西南师范学院学报（自然科学版），1984，（2）：6569.
项目：重庆师范大学高等教育教学改革研究项目（项目编号：201828）
作者简介：李庆（1971— ），男，汉族，四川宜宾人，博士，副教授，研究方向：代数学。
关键词：高等代数;教学模式;教学方法;数学专业;教学改革
中图分类号：G642.1 文献标识码：A
一、现状与背景
数学专业有“老三基”“新三基”之说。“老三基”是指高等代数、数学分析和空间解析几何。作为三大基础课程之一的高等代数课程是数学专业学生最重要的前趋课程，它在数学的各分支中有广泛的应用，比如在概率与数理统计和矩阵论等后继学科中就会不时有高等代数的知识闪现。不仅如此，高等代数的知识还广泛地应用到自然科学和社会科学的方方面面。高等代数课程由于其自身的高度抽象性、逻辑性等特点，对学生的抽象思维能力与逻辑能力的提高和学生数学素养的养成有非常重要的作用。正是因为如此，各高校相关专业对高等代数的教学极其重视，但是在实际教学过程中也暴露出一些问题：教学方式比较单一、教学内容基本按照国内流行的几本经典教材进行开设，没根据不同专业特点进行优化、过多地强调理论知识，对相关知识的应用讲解匮乏等。现在我们进行高等代数教学创新，如果不能告诉学生怎样学以致用，那么创新是没有达到目的的，收效将会非常小。我们应该从教学内容到教学方式、教学方法都进行改革与创新并付诸实践，才有希望得到我们所期望的效果。
从众多高校的实际情况看，北京大学代数与几何教研组主编和张禾瑞教授等主编的高等代数教材是国内比较经典的两本教材。除此之外，还有以这两本教材为蓝本适度添加了一些最新代数学知识的教材和一些知名高校自己主编的教材。由于北京大学代数与几何教研组主编的高等代数教材被采用的广泛性，本文中，我们以北京大学代数与几何教研组主编的高等代数教材进行讨论。
二、高等代数教学内容与教学模式存在的一些问题
北京大学代数与几何教研组主编的高等代数教材目前已经更新到第五版，是一本非常好且特别适合高等师范院校的高等代数教材。不过，由于代数学本身的发展以及高校教育体系的改革，这本教材的内容和安排至少需要各个学校根据自身情况做出相应的调整才能更好地发挥它的作用。我们下面从教学内容与教学模式上来探讨一下存在的一些问题：
（1）教学内容太多。首先，现在的高校在教学时间上做了很大的调整，以前在大四时仍旧安排有大量专业课，现在基本把专业课压缩到前三年。这主要是由于现在的大学生就业压力大，第四年的时候学生教学实习延长，面试各类工作岗位和准备复习考研而不得不这样安排。那么问题就出现了，教学时间的缩短，作为占用课时较多的高等代数自然会被压缩课时。这对本身时间就比较紧张的高等代数教学带来了更大的压力。以我校为例，数学与应用数学专业高等代数教学的总课时现在约为216学时（45分钟/课时），原课程内容安排和现课时数已经非常不相适应。现在的处理方法比较单一，就是选择一些章节不讲。其实教材内有一些内容也应该做一些调整，有些内容可以删除。
（2）教学内容的选择和讲授的逻辑关系需要由任课教师理顺。虽然经过多次再版，但是该教材内容几乎没什么改变，内容安排的顺序有待调整。从内容上看，基本是比较经典但显老旧的代数知识，对现代代数学的新成果没有涉及，甚至就是这些内容本身，众多师生提出的一些新方法、新思路也没有什么体现。在顺序的安排上，学生一进校即是非常抽象的多项式理论，有部分学生感到很不适应，可否考虑安排在线性方程组讲完？在讲行列式计算时，很突兀地插入矩阵的定义的内容和所在小节题目欠缺违和感且有损行列式计算讲解的连续性。可否放在第四章一并讲解？……诸如此类的问题也让我们有必要对教材内容的安排进行重新研究，探究一些新内容、新方法。
（3）教学内容的实用性体现较少，特别是与中学教学联系不紧密。学习高等代数后让学生不知它有什么实用性，因此学习起来动力不足。其实，我们可以添加一些与中学数学有关的知识让学生对高等代数的作用有正确的认识。比如将多项式可能的有理根的时候，我们可以把学生在中学时学习的有理数域上多项式的因式分解联系起来，化繁为简。学生一看，原来高等代数的知识还真有作用，是不是会增添学习的兴趣？不要让学生陷于定义、定理、证明的抽象理论之中。
（4）从教学模式教学方法上看，高校一般采取的高等代数的教学模式是传统（板书）的方式为主，学生听课做笔记，教师在黑板上推演，学生谈不上创新地接受知识，老师也没有创新性的讲解。教学方法呆板、陈旧，现有的教学手段如电教设备基本没发挥多大作用，课堂互动性不足。近年来流行的一些行之有效的教学方法我们也应该积极地引入高等代数的教学中，这样才能有效提高学生分析问题解决问题的能力，让高等代数的学习起到应有的作用。
三、高等代数教学内容与教学模式的一些思考
结合多年任教高等代数的感受，通过我们的研究，对教学内容有以下思路：
（一）应该根据专业特点灵活掌握教学内容
我们首先应该研究高等代数课程在各专业中的定位，明确课程教学目的，从而在面对不同专业学生时做到因人施教。为深入推进高等代数课程教学内容创新的研究，我院对数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业的高等代数课程采用侧重不同的教学内容。对数学与应用数学专业，由于学生基础好，且对数学专业具有浓厚兴趣，因此我们除精讲、细讲教材内容外，还适当地补充一些能力所及的内容。很多同学为此受益匪浅，激发出对数学浓厚的兴趣。信息与计算科学和统计学专业学生只需要掌握高等代数的基本思想、基本内容和基本技能，使之服務于信息与计算科学和统计学。我们在教学内容上与培养数学师范生有一定的区别。依据课程大纲，我们在教学中大胆、灵活地对内容进行优化，针对这两个专业并不需要每个定理、每个推论都证明，只需保证知识的系统性和达到培养目的。通过近些年的实践，不同专业的学生都反应良好，且得到了较好的发展。还有，教材内容的安排顺序可按照教师及学生实际情况合理进行优化调整，不能照本宣科。对于有的内容，比如第十章，除非专业特别需求，我们可以不讲授，学生自学。对于第八章λ矩阵，我们完全可以放在选修课里讲解，以适用为标准。烦琐的证明，如果其方法没有普遍意义也不妨删除不讲。 （二）教学内容可以精细化讲解
我们团队成员间积极开展教学互助，创新与协作意识得到加强。为充分发挥团队成员的集体力量和个人特长，共同对学生进行教学，我们团队成员及代数组教师间积极开展教学互助。由于我们代数组教师大都承担过高等代数的教学，每个人各有自己的心得体会，各有独到的方法。具体操作中，我们两到三人为一组具体负责高等代数的某一部分内容。这样操作以后，我们发现老师们对相关教学内容的把握更加精准到位，且彼此交流积极开展教学互助，相得益彰，取得了一批创新性的教学成果。
（三）高等代数教学模式和方法应该与时俱进
随着科学水平的提高，各种电教设备不断投入教学一线，各种教研成果不断呈现。我们应该在传统的教学模式上引入慕课、微格及线上教学等新颖的教学模式。教学手段上利用投影仪等设备演示一些纯文字和较抽象的内容，使其直观，提高效果和效率，也增加了师生互动性。例如，我们采用电教投影手段讲解线性相关线性无关性就可能取得传统板书教学起不到的效果。充分调动同学们的积极性，还可以采用学习小组先预习讨论，再上课听讲，然后再学习小组复习讨论的方法进行学习。其实，分层教学和小班教学也不妨采用，特别适合于考研和有志于数学研究的同学。其实，我们还可以在小范围内借鉴研究生上课的方法，可以让学生自己先预习准备，让学生个人或小组推选的代表来讲课，然后学生评点，最后老师总结。当然，这种方法耗时较多。在我院的具体操作实践中，我们分别采用了这些方法进行探索，取得了积极的效果，不过还需要进一步完善。总之，教学方法和教学模式适合自己学生的就是好方法、好模式。
（四）高等代数教学应该重视题库的建设
高等代数是一门抽象的代数学课程，相关的知识点需要进行一定数量的习题练习加以巩固。根据我们研究，一般来说成绩好的同学都在课外作业之后还做了参考书上的大量习题。这就提出了一个问题，做哪里的习题，怎么做？其实，这个可以通过高等代数题库来解决。我们把高等代数相关章节的习题系统化、规范化，学生只需进入题库做相应的习题即可。这样的好处是高效便捷，所以进行高等代数教学改革创新和实践题库建设必不可少。
（五）高等代数教学创新、实践和科学研究应该相辅相成
科研和教学是高校教师的两个重要任务，教学自不必说，科研是提高高校教师自身素质的内在要求。要想培养出优秀学生，教师自身必须能力强、科研水平高。另外，由于课程本身的抽象，许多概念学生不知道如何去应用。为了探索教学和实践的结合，提高学生的应用知识的能力，需要在引入一些重要概念如矩阵、线性方程、向量空间等时给学生讲解其在实践上的应用来帮助学生理解概念的应用背景。从而尽可能地把高等代数理论与实践相结合，提高教学质量。
四、结语
我们在此探讨高等代数的教学模式和教学内容的创新，其目的就是想用现代文化、科技发展的新成果充实和更新高等代数课程教学内容，应用现代教育技术和手段改革传统高等代数课程教学模式、教学方法。在新形势下，整合教学资源，进一步提高高等代数课程教学质量，最终的目标就是为国家培养合格的、优秀的人才。
参考文献：
[1]张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2020.
[2]北京大学数学系.高等代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2020.
[3]陳重穆，姜国贵.关于高师《高等代数》教材改革的若干意见[J].西南师范学院学报（自然科学版），1984，（2）：6569.
项目：重庆师范大学高等教育教学改革研究项目（项目编号：201828）
作者简介：李庆（1971— ），男，汉族，四川宜宾人，博士，副教授，研究方向：代数学。