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摘 要：基于小波变换的图像去噪早已成了目前图像去噪的主要方式之一。本文对基于小波的图像去噪开展了系统的的研究，首先概述了小波去噪的现状，接着简述了几种经典的小波变换去噪方法;对于小波变换阈值去噪方法的原理进行了详细的讨论。最后进行分析比较，列出优缺点及适用条件，并提出一种改进的去噪函数，给实验结果。
关键词：小波变换;图像去噪;阈值函数
一、引言
现如今人类传递信息的主要载体是语音和图片。其中图像信息以其信息量大，传输速度快，功用距离远等一系列特点被选为人类传递信息的关键型载体。但是图像在传输过程中常常会受到各种噪声的干扰使图像降质，这对之后图像的处理将产生不利影响。噪声种类有很多，如：电噪声、机械噪声、信道噪声和其他噪声。为了抑制噪声，改善图片的质量，便于更高层次的处理，必须对图像进行去噪预处理。
二、小波图像去噪现状
小波具备良好的时频特性和多分辨率特性，已在自然科学、应用科学、社会科学等领域得到了广泛的应用。小波去噪就是一个信号滤波的问题，而且尽管小波去噪可以近似地看成是低通滤波，但由于去噪后，还能成功的保留图像特征，故在这一方面，它又优于传统的低通滤波器。
三、基于小波变换的图像去噪原理及方法
（一）基于小波变换的小波系数相关性去噪法
根据信号与噪声的小波变换在不同尺度下的特点，可以通过将相邻尺度的小波系数直接相乘以此增强信号，抑制噪声。Xu等人提出了利用小波变换相关性区分信号与噪声来进行去噪的方法，简称SSNF（Spatially Selective Noise Filtration）方法。
定义 称 Cor（j，n）=w2jf（n）·W2j+1f（n）为尺度 上n点处的相关系数。记上式为
（式1）
其中 。
定义 称 为
规范化相关函数，其中
（式2）
分别表示对应与尺度 的小波系数与相关系数的能量。显然，在尺度 下，小波系数与规范化相关系数具有相同的能量，这为它们之间提供了可比性。
（二）基于小波变换的模极大值去噪法
信号与噪声的模极大值在小波变换下会呈现不同的变化趋势，小波变换模极大值去噪方法，实质上是利用小波变换模极大值所携带的信息，具体就是利用信号的小波系数的模极大值的位置和幅值来完成对信号的表征和分析。利用信号与噪声的局部奇异性不同，其模极大值的传据特性也不同，这些特性对信号中的随机噪声进行去噪处理。
（三）基于小波变换的阈值去噪法
小波阈值法去噪主要适用于信号中混有白噪声的情况，其优点是噪声几乎完全得到抑制，并且反映原始信号的特征尖峰点得到更好的保留。用软阈值法去噪可以使去噪信号是原始信号的近似最优估计，并且估计信号至少和原始信号同样光滑而且不会产生附加动荡。
（1）软阈值去噪法。即
（式3）
（2）硬阈值去噪法。即
（式4）
式中W表示小波系数的数值，sgn（？）是符号函数，当它的数值大于零时，符号为正，反之则符号位负。
三、 改进的基于小波变换的阈值去噪算法
基于小波变换的软阈值和硬阈值函数虽然在实际中取得了广泛的应用，但是其本身存在着缺点。对于着两种函数，硬阈值函数在阈值点处不连续，对软阈值函数来说，原蜥属和分解得到的小波系数总存在着一定的偏差，这将影响重构的精度。同时这两种函数不能体现出分解后系數的能量分布，从而限制了它的应用范围。因此，寻找一种新的阈值函数，使他既能实现阈值函数的功能，又具有高阶导数，同时又能体现出分解后系数的能量分布。
通过对小波系数阈值化的分析，我们提出一种新的阈值函数：
（式5）
上式中，m≥0 ，λ 为阈值。此函数不仅在小波域中具有与软阈值函数相同的连续性，而且在 有高阶导函数。当m=0时，该式可以看作是软阈值函数，当 时可以看作是硬阈值函数。此函数可以通过调整参数，可以克服硬阈值函数不连续和软阈值函数有偏差的缺点，同时具有能量自适应性。
分析函数：
（式6）
所以新的阈值函数是以 为渐进线的，它克服了软阈值 函数估计值与原始值之间恒有偏差的缺点。这种新的阈值函数能最大限度地保留大的小波系数，所以可以更好的保留边缘点等细节信息。并且这种新的阈值函数还包含了能量信息，是一种能量自适应去噪方法。
四、实例及结果
为了体现新阈值函数在去噪效果上的优越性和有效性，采用本文中新提出的阈值函数进行去噪实验。在本实验中，选用type作为实验图像，选用小波基sym4小波，对含噪图像进行小波分解，分解层数为3，m=0.03。实验中采用Donoho统一阈值：
（a）原始图像 （b）含噪图像
（c）去噪图像
五、结束语
小波变换作为一种时城分析工具，在信号分析和处理中得到了很好的应用。平面图像可以视为二维信号，因此，小波变换很自然地被运用到图像处理领域。本文的工作是研究基于小波变换的图像去噪方法。总结完全文，主要作了以下几个方面的工作：
1）.对小波变换进行了系统的学习、研究与总结，在此基础上广泛地了解其在各个领域的应用，尤其是在图像处理领域中，为深入进行小波变换的研究打下理论基础。
2）.为了找到研究中发现的问题获得更好的去噪效果，提出了新的阈值函数，它可克服硬阈值函数不连续和软阙值有偏差的缺点，还可以表达出分解后的小波系数的能量分布。
图像的去噪问题一直以来都是一个比较难解决的问题，很难做到去除噪声和保留图像信息并存，对于它们的探索还在探索中，以下是目前还需进一步探讨的问题：
1）.如何用小波变换结合原图像的特点去噪，使得在去除噪声的同时尽可能地不损失原图像的信息，同时减少计算量。
2）.彩色图像去噪的研究。随着小波去噪方法的不断发展，对彩色图像去噪的研究
是一个很有研究潜力的领域，它在图像去噪领域将会有更广阔的前景。
参考文献：
[1] 彭玉华，小波变换与工程应用[M]，北京，科学出版社，2003
[2] 陈武凡 ，小波分析及其在图像处理中的应用[M]，北京，科学出版社，2002
[3] 张德丰，MATLAB小波分析[M]，机械工业出版社，2009
[4] 董长虹，MATLAB图像处理与应用[M]，国防工业出版社，2008
[5] 查宇飞，毕笃彦，基于小波变换的自适应多阈值图像去噪[J]，中国图像图形学报，2005.10（5）
[6] 崔华，宋国乡，基于小波阈值去噪方法的一种改进方法[J]，现代电子技术，2005，28（1）
[7] 杨兴明等，基于小波多分辨率分析和新的阈值自适应的信号去噪[J]，合肥工业大学学报，2007，30（12）
[8] 李旭超，朱善安，基于小波變换模极大值和Neyman Pearson准则阈值的图像去噪[J]，中国图像图形学报，2005，10（8）
基金项目：本文系扬州大学2019年大学生科创基金项目，项目编号：X20190393
关键词：小波变换;图像去噪;阈值函数
一、引言
现如今人类传递信息的主要载体是语音和图片。其中图像信息以其信息量大，传输速度快，功用距离远等一系列特点被选为人类传递信息的关键型载体。但是图像在传输过程中常常会受到各种噪声的干扰使图像降质，这对之后图像的处理将产生不利影响。噪声种类有很多，如：电噪声、机械噪声、信道噪声和其他噪声。为了抑制噪声，改善图片的质量，便于更高层次的处理，必须对图像进行去噪预处理。
二、小波图像去噪现状
小波具备良好的时频特性和多分辨率特性，已在自然科学、应用科学、社会科学等领域得到了广泛的应用。小波去噪就是一个信号滤波的问题，而且尽管小波去噪可以近似地看成是低通滤波，但由于去噪后，还能成功的保留图像特征，故在这一方面，它又优于传统的低通滤波器。
三、基于小波变换的图像去噪原理及方法
（一）基于小波变换的小波系数相关性去噪法
根据信号与噪声的小波变换在不同尺度下的特点，可以通过将相邻尺度的小波系数直接相乘以此增强信号，抑制噪声。Xu等人提出了利用小波变换相关性区分信号与噪声来进行去噪的方法，简称SSNF（Spatially Selective Noise Filtration）方法。
定义 称 Cor（j，n）=w2jf（n）·W2j+1f（n）为尺度 上n点处的相关系数。记上式为
（式1）
其中 。
定义 称 为
规范化相关函数，其中
（式2）
分别表示对应与尺度 的小波系数与相关系数的能量。显然，在尺度 下，小波系数与规范化相关系数具有相同的能量，这为它们之间提供了可比性。
（二）基于小波变换的模极大值去噪法
信号与噪声的模极大值在小波变换下会呈现不同的变化趋势，小波变换模极大值去噪方法，实质上是利用小波变换模极大值所携带的信息，具体就是利用信号的小波系数的模极大值的位置和幅值来完成对信号的表征和分析。利用信号与噪声的局部奇异性不同，其模极大值的传据特性也不同，这些特性对信号中的随机噪声进行去噪处理。
（三）基于小波变换的阈值去噪法
小波阈值法去噪主要适用于信号中混有白噪声的情况，其优点是噪声几乎完全得到抑制，并且反映原始信号的特征尖峰点得到更好的保留。用软阈值法去噪可以使去噪信号是原始信号的近似最优估计，并且估计信号至少和原始信号同样光滑而且不会产生附加动荡。
（1）软阈值去噪法。即
（式3）
（2）硬阈值去噪法。即
（式4）
式中W表示小波系数的数值，sgn（？）是符号函数，当它的数值大于零时，符号为正，反之则符号位负。
三、 改进的基于小波变换的阈值去噪算法
基于小波变换的软阈值和硬阈值函数虽然在实际中取得了广泛的应用，但是其本身存在着缺点。对于着两种函数，硬阈值函数在阈值点处不连续，对软阈值函数来说，原蜥属和分解得到的小波系数总存在着一定的偏差，这将影响重构的精度。同时这两种函数不能体现出分解后系數的能量分布，从而限制了它的应用范围。因此，寻找一种新的阈值函数，使他既能实现阈值函数的功能，又具有高阶导数，同时又能体现出分解后系数的能量分布。
通过对小波系数阈值化的分析，我们提出一种新的阈值函数：
（式5）
上式中，m≥0 ，λ 为阈值。此函数不仅在小波域中具有与软阈值函数相同的连续性，而且在 有高阶导函数。当m=0时，该式可以看作是软阈值函数，当 时可以看作是硬阈值函数。此函数可以通过调整参数，可以克服硬阈值函数不连续和软阈值函数有偏差的缺点，同时具有能量自适应性。
分析函数：
（式6）
所以新的阈值函数是以 为渐进线的，它克服了软阈值 函数估计值与原始值之间恒有偏差的缺点。这种新的阈值函数能最大限度地保留大的小波系数，所以可以更好的保留边缘点等细节信息。并且这种新的阈值函数还包含了能量信息，是一种能量自适应去噪方法。
四、实例及结果
为了体现新阈值函数在去噪效果上的优越性和有效性，采用本文中新提出的阈值函数进行去噪实验。在本实验中，选用type作为实验图像，选用小波基sym4小波，对含噪图像进行小波分解，分解层数为3，m=0.03。实验中采用Donoho统一阈值：
（a）原始图像 （b）含噪图像
（c）去噪图像
五、结束语
小波变换作为一种时城分析工具，在信号分析和处理中得到了很好的应用。平面图像可以视为二维信号，因此，小波变换很自然地被运用到图像处理领域。本文的工作是研究基于小波变换的图像去噪方法。总结完全文，主要作了以下几个方面的工作：
1）.对小波变换进行了系统的学习、研究与总结，在此基础上广泛地了解其在各个领域的应用，尤其是在图像处理领域中，为深入进行小波变换的研究打下理论基础。
2）.为了找到研究中发现的问题获得更好的去噪效果，提出了新的阈值函数，它可克服硬阈值函数不连续和软阙值有偏差的缺点，还可以表达出分解后的小波系数的能量分布。
图像的去噪问题一直以来都是一个比较难解决的问题，很难做到去除噪声和保留图像信息并存，对于它们的探索还在探索中，以下是目前还需进一步探讨的问题：
1）.如何用小波变换结合原图像的特点去噪，使得在去除噪声的同时尽可能地不损失原图像的信息，同时减少计算量。
2）.彩色图像去噪的研究。随着小波去噪方法的不断发展，对彩色图像去噪的研究
是一个很有研究潜力的领域，它在图像去噪领域将会有更广阔的前景。
参考文献：
[1] 彭玉华，小波变换与工程应用[M]，北京，科学出版社，2003
[2] 陈武凡 ，小波分析及其在图像处理中的应用[M]，北京，科学出版社，2002
[3] 张德丰，MATLAB小波分析[M]，机械工业出版社，2009
[4] 董长虹，MATLAB图像处理与应用[M]，国防工业出版社，2008
[5] 查宇飞，毕笃彦，基于小波变换的自适应多阈值图像去噪[J]，中国图像图形学报，2005.10（5）
[6] 崔华，宋国乡，基于小波阈值去噪方法的一种改进方法[J]，现代电子技术，2005，28（1）
[7] 杨兴明等，基于小波多分辨率分析和新的阈值自适应的信号去噪[J]，合肥工业大学学报，2007，30（12）
[8] 李旭超，朱善安，基于小波變换模极大值和Neyman Pearson准则阈值的图像去噪[J]，中国图像图形学报，2005，10（8）
基金项目：本文系扬州大学2019年大学生科创基金项目，项目编号：X20190393