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解椭圆问题时，要注意挖掘里面的隐含因素，否则就会出错．
例1如图，已知椭圆方程为[x24+y23=1] [(－2＜x＜1)]，过点[P(－1，0)]作直线[l]交椭圆于[A、B]，问使[|AB|=3]的直线[l]是否存在？若存在，求出方程；若不存在，说明理由．
错解设直线[l]的方程为[y=k(x＋1)]，代入椭圆方程消去[y]，整理得
[(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12=0．]
其两根[x1、x2]即为[A、B]的横坐标，
且[x1+x2]=[-8k23+4k2]，[x1x2=][4k2-123+4k2]．
由弦长公式，得
3 =[(1 + k2)[(x1 + x2)2 - 4x1x2]，
即3 =[(1+k2)[64k4(3+4k2)2-4⋅4k2-123+4k2]]，
整理，得[3＋4k2= 4＋4k2即3=4]，矛盾，
故使[|AB|=3]的直线[l]是不存在．
错因显然，直线[x=－1]这条直线也满足本题所要求的条件，因而上述解法遗漏了一个解，怎么遗漏的呢？只有在直线斜率存在的前提下才能用点斜式来表示直线方程，因此，用直线的点斜式方程来解题，错解中设直线的斜率为[k]，就已承认直线斜率存在，这样就忽略了两个问题：其一是，当直线的斜率不存在时，不能用点斜式；其二是，当关于[k]的方程无解时，有两种可能：①这样的直线不存在；②这样的直线存在，但无斜率，即直线的倾斜角是[90°]．就是说，直线[x=－1]尽管斜率不存在，但也能满足题设条件，因而上述解法是片面的．
事实上，若[x=－1]代入椭圆方程，求得[A](－1，[32])，[B](－1，－[32])，正好是[|AB|=3]，因此使[|AB|=3]的直线[l]存在，方程为[x=－1]．
例2过点[B(0,－b)]作椭圆[x2a2+y2b2=1] [(a＞b＞0)]的弦，求这些弦长的最大值．
错解设[(x，y)]为椭圆上任意一点，则
[|BM|2=x2＋(y＋b)2，①]
由[x2a2+y2b2=1]，得[x2=a2b2(b2-y2)]并代入①得：
[|BM|2=a2b2(b2-y2)+(y+b)2]
[=(1－a2b2)y2+2by+a2+b2]， ②
∵[a＞b＞0]，∴1－[a2b2]＜0，
∴[|BM|2]的最大值为[4(1-a2b2)(a2+b2)-4b24(1-a2b2)]=[a4c2]，
故[|BM|]的最大值为[a2c]，即[a2a2-b2]．
错因本题错因是忽视了函数的取值应在函数定义域内才能取得这一隐含条件，即没有注意到题设中隐含着[y∈[－b，b]]，因而造成错解．
正解设[(x，y)]为椭圆上任意一点，
则[|BM|2=x2+(y+b)2]，
由[x2a2+y2b2=1]，得[x2=a2b2(b2-y2)]并代入①得
[|BM|2]=[a2b2(b2-y2)][＋(y＋b)2]
[=(1-a2b2)][(y－a3a2-b2)2]＋[a4a2-b2].
∵[a＞b＞0]，∴1－[a2b2]＜0，∴[|BM|2]有最大值，
又[y∈[-b,b]]，
（1）若[a3a2-b2≤b]，[a≥2b]，则当[y=a3a2-b2]时，[|BM|2]有最大值[a4c2]，此时[|BM|]的最大值[a2c]=[a2a2-b2].
（2）若[a3a2-b2>b]，即[a＜2b]，则当[y=b]时，[|BM|]有最大值[4b2]，此时[|BM|]的最大值为[2b]．
例3已知[△ABC]中，[∠A、∠B、∠C]所对的边分别为[a、b、c]，[a＞c＞b]且[a、c、b]成等差数列，[|AB|=2]，求顶点[C]的轨迹方程．
错解以直线[AB]为[x]轴，线段[AB]的中点为原点，建立直角坐标系，如下图．
则[A(－1，0)，B(1，0)]，
设[C]点坐标为[(x，y)]，
因[a、c、b]成等差数列，则[a＋b=2c]，
即[|BC|＋|AC| = 2|AB|]，
得[(x-1)2+y2]＋[(x+1)2+y2]= 4，
整理得[x24+y23=1]，
即顶点[C]的轨迹为椭圆．
错因上述解答中忽视了条件[a＞c＞b]，从而导致了变量[x]的取值范围的扩大，使轨迹方程的解的个数增加．另一失误是当点[C]在[x]轴上时，三点[A、B、C]不能构成三角形，解答时应挖掘出点[C]在[x]轴上的情况．
正解一由错解得[x24+y23=1].
由于[a＞b]，
即[(x-1)2+y2]＞[(x+1)2+y2]，
则[x＜0]，
而点[C]不能在[x]轴上，故[x≠2]，
因此顶点[C]的轨迹为椭圆[x24+y23=1][(－2＜x＜0).]
正解二由错解得[|BC|＋|AC|=2|AB|]，
而[|AB|=2]，故[|BC|＋|AC|=4＞2]，
由椭圆定义可知，点[C]的轨迹是以[A、B]为焦点的椭圆，其长轴为2，焦距为2，短轴为[222-1]=[23].
则椭圆方程为[x24+y23=1]．
又[a＞b]，所以点[C]在[y]轴左侧，此时必有[x＜0]，
而[C]点在[x]轴上时不能构成三角形，故[x≠2]，
因此点[C]的轨迹为椭圆[x24+y23=1][(－2＜x＜0).]
例1如图，已知椭圆方程为[x24+y23=1] [(－2＜x＜1)]，过点[P(－1，0)]作直线[l]交椭圆于[A、B]，问使[|AB|=3]的直线[l]是否存在？若存在，求出方程；若不存在，说明理由．
错解设直线[l]的方程为[y=k(x＋1)]，代入椭圆方程消去[y]，整理得
[(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12=0．]
其两根[x1、x2]即为[A、B]的横坐标，
且[x1+x2]=[-8k23+4k2]，[x1x2=][4k2-123+4k2]．
由弦长公式，得
3 =[(1 + k2)[(x1 + x2)2 - 4x1x2]，
即3 =[(1+k2)[64k4(3+4k2)2-4⋅4k2-123+4k2]]，
整理，得[3＋4k2= 4＋4k2即3=4]，矛盾，
故使[|AB|=3]的直线[l]是不存在．
错因显然，直线[x=－1]这条直线也满足本题所要求的条件，因而上述解法遗漏了一个解，怎么遗漏的呢？只有在直线斜率存在的前提下才能用点斜式来表示直线方程，因此，用直线的点斜式方程来解题，错解中设直线的斜率为[k]，就已承认直线斜率存在，这样就忽略了两个问题：其一是，当直线的斜率不存在时，不能用点斜式；其二是，当关于[k]的方程无解时，有两种可能：①这样的直线不存在；②这样的直线存在，但无斜率，即直线的倾斜角是[90°]．就是说，直线[x=－1]尽管斜率不存在，但也能满足题设条件，因而上述解法是片面的．
事实上，若[x=－1]代入椭圆方程，求得[A](－1，[32])，[B](－1，－[32])，正好是[|AB|=3]，因此使[|AB|=3]的直线[l]存在，方程为[x=－1]．
例2过点[B(0,－b)]作椭圆[x2a2+y2b2=1] [(a＞b＞0)]的弦，求这些弦长的最大值．
错解设[(x，y)]为椭圆上任意一点，则
[|BM|2=x2＋(y＋b)2，①]
由[x2a2+y2b2=1]，得[x2=a2b2(b2-y2)]并代入①得：
[|BM|2=a2b2(b2-y2)+(y+b)2]
[=(1－a2b2)y2+2by+a2+b2]， ②
∵[a＞b＞0]，∴1－[a2b2]＜0，
∴[|BM|2]的最大值为[4(1-a2b2)(a2+b2)-4b24(1-a2b2)]=[a4c2]，
故[|BM|]的最大值为[a2c]，即[a2a2-b2]．
错因本题错因是忽视了函数的取值应在函数定义域内才能取得这一隐含条件，即没有注意到题设中隐含着[y∈[－b，b]]，因而造成错解．
正解设[(x，y)]为椭圆上任意一点，
则[|BM|2=x2+(y+b)2]，
由[x2a2+y2b2=1]，得[x2=a2b2(b2-y2)]并代入①得
[|BM|2]=[a2b2(b2-y2)][＋(y＋b)2]
[=(1-a2b2)][(y－a3a2-b2)2]＋[a4a2-b2].
∵[a＞b＞0]，∴1－[a2b2]＜0，∴[|BM|2]有最大值，
又[y∈[-b,b]]，
（1）若[a3a2-b2≤b]，[a≥2b]，则当[y=a3a2-b2]时，[|BM|2]有最大值[a4c2]，此时[|BM|]的最大值[a2c]=[a2a2-b2].
（2）若[a3a2-b2>b]，即[a＜2b]，则当[y=b]时，[|BM|]有最大值[4b2]，此时[|BM|]的最大值为[2b]．
例3已知[△ABC]中，[∠A、∠B、∠C]所对的边分别为[a、b、c]，[a＞c＞b]且[a、c、b]成等差数列，[|AB|=2]，求顶点[C]的轨迹方程．
错解以直线[AB]为[x]轴，线段[AB]的中点为原点，建立直角坐标系，如下图．
则[A(－1，0)，B(1，0)]，
设[C]点坐标为[(x，y)]，
因[a、c、b]成等差数列，则[a＋b=2c]，
即[|BC|＋|AC| = 2|AB|]，
得[(x-1)2+y2]＋[(x+1)2+y2]= 4，
整理得[x24+y23=1]，
即顶点[C]的轨迹为椭圆．
错因上述解答中忽视了条件[a＞c＞b]，从而导致了变量[x]的取值范围的扩大，使轨迹方程的解的个数增加．另一失误是当点[C]在[x]轴上时，三点[A、B、C]不能构成三角形，解答时应挖掘出点[C]在[x]轴上的情况．
正解一由错解得[x24+y23=1].
由于[a＞b]，
即[(x-1)2+y2]＞[(x+1)2+y2]，
则[x＜0]，
而点[C]不能在[x]轴上，故[x≠2]，
因此顶点[C]的轨迹为椭圆[x24+y23=1][(－2＜x＜0).]
正解二由错解得[|BC|＋|AC|=2|AB|]，
而[|AB|=2]，故[|BC|＋|AC|=4＞2]，
由椭圆定义可知，点[C]的轨迹是以[A、B]为焦点的椭圆，其长轴为2，焦距为2，短轴为[222-1]=[23].
则椭圆方程为[x24+y23=1]．
又[a＞b]，所以点[C]在[y]轴左侧，此时必有[x＜0]，
而[C]点在[x]轴上时不能构成三角形，故[x≠2]，
因此点[C]的轨迹为椭圆[x24+y23=1][(－2＜x＜0).]