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“核心素养”是个体在认知世界、解决复杂现实问题时所表现出的综合能力。它融合了个体所具有的情感、态度、价值观，在具备基础知识和基本能力的基础上，强调跨学科思维和多功能指向。有些国家，比如澳大利亚，就将“核心素养”称为“跨学科核心素养”，重视读写、计算、信息通讯技术、思维能力、创造性、自我管理、团队合作、跨文化理解、道德伦理、社会交往等。中国国内则立足现实，在分科教育教学的基础上讨论“核心素养”问题，重视学科“核心素养”的厘定和落实等问题。
一、数学“核心素养”的内涵及相关概念
学科“核心素养”是“核心素养”在特定学科或特定学习领域的具体表现，是学生学习一门学科之后所获得的知识、能力与方法，以及由此形成的学科观念与思维力的集合。与个体与生俱来的天赋不同，学科“核心素养”是后天教育的结果。个体通过良好的教育与自身的学习可以获得不同程度的学科“核心素养”。
在“核心素养”出现之前，人们关注的是学科素养。就数学而言，如马云鹏所说，“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位和能力，作出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。”通过数学学习，个体可以获得数学知识、技能与方法，养成数学观念，从数学角度观察事物，有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理，且能清晰准确地表达意识，即运用数学学科的技能来解决问题的内在涵养。人们在挑选商品时，就能够体现数学素养的高低。一种商品的价格是10元，重量50g，而另一种商品价格15元，重量80g。追求实惠的消费者往往会试图采取数学运算的方法进行单价比较，进而购买性价比更高的商品。同理，面对抽奖活动，具备数学素养的人会事先算一算抽中奖品的概率，再采取行动。
当然，数学不仅仅是解决具体问题的工具，数学“核心素养”除了数学判断能力，还包括数学思维等其它关键素养。数学“核心素养”讨论的就是这些关键性的数学素养。它是数学知识、数学能力、数学方法与数学观念等的集合，是数学教学中应当特别关注的基本素养。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《数学课程标准》）明确提出十个关键素养，即“数感”“符号意识”“空间观念”“几何直观”“数据分析观念”“运算能力”“推理能力”“模型思想”“应用意识”和“创新意识”。以上这些关键素养均与数学课程的学习目标和内容直接相关，有助于学生对数学课程本质的理解，需要在教与学当中给予重点关注。同时，数学关键素养对教师的课程设计、课程开发与指导以及开展教学评价有着十分重要的意义。
这些关键素养均指向一个或多个知识点或学习领域。“数感”“符号意识”“运算能力”和“推理能力”指向数学学习中的“数与代数”模块。学生对字母、符号、集合表示、函数意义等的认知能力与进行数学推理计算的能力都有赖于这些关键素养。“空间观念”和“几何直观”指向学生“图形与几何”的学习，如计算立体图形表面积、基本不等式的几何意义、三角函数的相互关系等。“数据分析观念”和“推理能力”指向学生数据的搜集、整理、统筹、呈现与预估等。“模型思想”“应用意识”和“创新意识”多用于数学建模等领域。
二、学生“核心素养”的培育困境及原因
人们对数学“核心素养”内涵的认知变化，历经了从具象到抽象、从理论到实践的过程。数学“核心素养”在早期曾被简单地等同于数学学科知识或技能，认为只要掌握了书本中的数学知识、运算技巧，获得解题技能，即习得了数学“核心素养”。直到后来教学三维目标的提出，才在一定程度上充实了数学“核心素养”的内涵，即要求不仅要注重学生数学知识与技能的习得，更要关注数学学习的过程与方法，情感、态度与价值观。于是对于数学学科的教学目标往往多了對学生注重数学知识学习的过程，掌握数学原理，了解相关数学史，并且将数学与生活实际相结合、用数学思维解决生活问题的要求。
但是必须承认，在新课改大背景下，声称要删繁减难并贴近生活的数学知识仍然没有紧贴生活实际。造成这种现状的原因有多种，在笔者看来，以下几个方面的因素最值得关注。
首先，数学是通过思维交织构造出来的学科，与切身体验存在差别。从学科角度来说，数学是研究“数量关系”“几何结构”“空间形式”等的科学。由于学科特性所致，数学本身就较为抽象，要求学习者具有较高的逻辑思维能力、数据整理与统计能力、空间想象能力、数量运算能力等。就学科属性而言，数学学科与生活的联系可谓占据劣势。例如数学不同于语言类学科，人们日常的交际依靠语言，一切生活、工作均仰仗于语言和交往。再者如同物理或化学类学科，与各类日常生活现象息息相关，书本中的实例也大都来源于生活，而这些现象、特质都能够让人亲身感受，属于看得见、摸得着的类型。但数学是存在于人头脑中的学科，它存在于人的逻辑思维、推理考量、空间想象当中，它无法给人切身的体会，它带给人的所有体验都是抽象的。举一个最简单的例子，摆在面前的一个苹果，人们所感受到的只有“苹果”，而“一个”只存在于人的潜意识当中。
其次，“删繁减难”并未全面落到实处。在基础教育阶段，真正意义上落实“删繁减难”的应当属初中阶段。随着中考要求的降低，原初中数学课程中的某些知识点如十字相乘法、立方和与差、切割线定理、相交弦定理等在新教材中已不复存在。但事实上，用高考指标审视现行初高中教材，不得不说初、高中的数学存在较为严重的脱节现象。虽然中考难度降低，但高中要求的知识储备往往高于中考所提要求。因此，高中数学并没有真正做到“删繁减难”，反而在理论基础上划下了一条鸿沟，使得高中数学在教学实中不可避免地进行大量理论“填补”。而这类知识缺少了初中较为浅显而贴近生活的知识铺垫，抽象度更高，学生对此类知识的认知也更困难。再者，高中阶段的众多知识点，如函数图像、平面向量、三角恒等变换、圆锥曲线与方程、复数与复平面等知识点，与学生生活实际的相交点甚少。同时由于高考题的复杂程度和综合性，这些知识点更多只为在应试中发挥选拔能力。 第三，数学教材与习题中的情境结合不贴切。为了响应三维目标的达成，新版数学教材也力求将数学的知识点和数学问题带入到生活情境当中。如某教材“函数的基本性质”一节，为讲述函数的单调性，设置了这样一个例题：“在现实生活中，有不少随时间增加而增加（或减少）的量，例如下图是根据1990年至2000年某市园林绿地面积的数据所做成的图像。”于是教材给出了1990年绿化面积为3570公顷，直至2000年绿化面积达12601公顷的散点图，并说明“由图可见，该市园林绿地面积随着年份的增加而增加。这是一种单调现象，在生活中常出现”。不可否认这确实是一种单调现象，这类单调现象在生活中也比比皆是。但这个例子对于生活于21世纪的高中生来说未免有些脱节。且不提学生对绿化面积的感兴趣程度，题目并未言明这是哪座城市，这个记录是否属实还有待查明。此题记录的信息对学生而言没有实际意义，只是一道强扣上“生活实际”帽子的例题而已。要想让学生真正感受到数学来源于生活，数学运用于生活，就要将生命温度和生活体悟融入数学当中，而不只是单纯进行某种生硬的搬套。
贴近生活现实，是数学“核心素养”培育的前提，也是最根本的方法。现行教材没有做到这一点，执教数学学科的教师拥有巨大的可操作空间。由此切入，结合生活实际培育学生数学关键素养，就能够不断发展学生数学“核心素养”。
三、培育学生数学“核心素养”的现实意义
数学“核心素养”主要培养目的是让学生抓住时机运用数学眼光和角度去体验生活、感知世界，从而把握世界、改造世界。数学“核心素养”的习得对于学生而言，具有十分重要的意义。
一方面，可以加强学生的数理感知能力，提升数学思维能力。从学生数学学习的角度来说，对数的敏锐程度一定程度上决定了学习数学的天赋与能量。学生的数学基础扎实，取决于数学知识点的掌握程度，而真正能够灵活运用基础数学知识进行多题型变化、实现举一反三，需具有较强的数理感知能力。数学题的“难”是无边际的，解难题没有既定思维，也没有人们所崇尚的“套路”。很多情况下，数学是人们在一次偶然的巧合通过敏锐的观察力和数学感知能力，历经思维碰撞而产生的。如著名的勾股定理，在公元前1000多年前就有史料记载“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”勾股定理到目前为止共有400多种证明方法，数学的巧妙恰恰表现于此。
另一方面，有助于学生用数学眼光体悟生活，善用数学智慧。教会学生发现生活中的数学，善用数学思维解决实际问题是培育学生数学“核心素养”最具价值的目的之一。数学不应只是活跃于书本上的知识，其对于现代社会发展发挥着举足轻重的作用。如何在没有测量工具和仪器的情况下估算一栋大楼的高度，如何在有限条件下进行经费预算，如何通过分析月账单选择最佳通话套餐，如何科学规划甲地到乙地的路线，如何通过排列组合估算中奖概率……以上种种都是潜藏于生活中的数学问题。而数学“核心素养”正是培养了学生善于发现的眼睛，教会他们细心观察生活，懂得提出问题并解决这些问题。虽然这些问题不一定有数学原型，但可以通过类比将實际问题抽象成数学模型，进而通过数学思维与方法得以解决。
此外，数学“核心素养”的习得，还有助于学生感悟与欣赏数学之美，激发数学学习兴趣。数学的美感是潜藏于数字符号背后的巧妙构思与精准判断，是发挥了想象力与创造力后激情碰撞的结果。只有理解了数学的内涵才会体味数学的博大精深与潜藏其后的文化价值，才能乐在其中。现行数学教材往往十分注重呈现各数学伟大发现的历史意义与数学家们背后的故事，在章节末端的阅读材料中通过简明的语言介绍数学家们的研究历程。遗憾的是，这些材料在实际教学中却极易被教师与学生忽视。只有当学生真正乐于用心钻研这些精妙的学问，体味了数学的乐趣与意义，才能用学科本身的魅力去感染学生，激发学生数学学习的兴趣和探究精神。
（作者单位：复旦大学高等教育研究所）
一、数学“核心素养”的内涵及相关概念
学科“核心素养”是“核心素养”在特定学科或特定学习领域的具体表现，是学生学习一门学科之后所获得的知识、能力与方法，以及由此形成的学科观念与思维力的集合。与个体与生俱来的天赋不同，学科“核心素养”是后天教育的结果。个体通过良好的教育与自身的学习可以获得不同程度的学科“核心素养”。
在“核心素养”出现之前，人们关注的是学科素养。就数学而言，如马云鹏所说，“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位和能力，作出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。”通过数学学习，个体可以获得数学知识、技能与方法，养成数学观念，从数学角度观察事物，有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理，且能清晰准确地表达意识，即运用数学学科的技能来解决问题的内在涵养。人们在挑选商品时，就能够体现数学素养的高低。一种商品的价格是10元，重量50g，而另一种商品价格15元，重量80g。追求实惠的消费者往往会试图采取数学运算的方法进行单价比较，进而购买性价比更高的商品。同理，面对抽奖活动，具备数学素养的人会事先算一算抽中奖品的概率，再采取行动。
当然，数学不仅仅是解决具体问题的工具，数学“核心素养”除了数学判断能力，还包括数学思维等其它关键素养。数学“核心素养”讨论的就是这些关键性的数学素养。它是数学知识、数学能力、数学方法与数学观念等的集合，是数学教学中应当特别关注的基本素养。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《数学课程标准》）明确提出十个关键素养，即“数感”“符号意识”“空间观念”“几何直观”“数据分析观念”“运算能力”“推理能力”“模型思想”“应用意识”和“创新意识”。以上这些关键素养均与数学课程的学习目标和内容直接相关，有助于学生对数学课程本质的理解，需要在教与学当中给予重点关注。同时，数学关键素养对教师的课程设计、课程开发与指导以及开展教学评价有着十分重要的意义。
这些关键素养均指向一个或多个知识点或学习领域。“数感”“符号意识”“运算能力”和“推理能力”指向数学学习中的“数与代数”模块。学生对字母、符号、集合表示、函数意义等的认知能力与进行数学推理计算的能力都有赖于这些关键素养。“空间观念”和“几何直观”指向学生“图形与几何”的学习，如计算立体图形表面积、基本不等式的几何意义、三角函数的相互关系等。“数据分析观念”和“推理能力”指向学生数据的搜集、整理、统筹、呈现与预估等。“模型思想”“应用意识”和“创新意识”多用于数学建模等领域。
二、学生“核心素养”的培育困境及原因
人们对数学“核心素养”内涵的认知变化，历经了从具象到抽象、从理论到实践的过程。数学“核心素养”在早期曾被简单地等同于数学学科知识或技能，认为只要掌握了书本中的数学知识、运算技巧，获得解题技能，即习得了数学“核心素养”。直到后来教学三维目标的提出，才在一定程度上充实了数学“核心素养”的内涵，即要求不仅要注重学生数学知识与技能的习得，更要关注数学学习的过程与方法，情感、态度与价值观。于是对于数学学科的教学目标往往多了對学生注重数学知识学习的过程，掌握数学原理，了解相关数学史，并且将数学与生活实际相结合、用数学思维解决生活问题的要求。
但是必须承认，在新课改大背景下，声称要删繁减难并贴近生活的数学知识仍然没有紧贴生活实际。造成这种现状的原因有多种，在笔者看来，以下几个方面的因素最值得关注。
首先，数学是通过思维交织构造出来的学科，与切身体验存在差别。从学科角度来说，数学是研究“数量关系”“几何结构”“空间形式”等的科学。由于学科特性所致，数学本身就较为抽象，要求学习者具有较高的逻辑思维能力、数据整理与统计能力、空间想象能力、数量运算能力等。就学科属性而言，数学学科与生活的联系可谓占据劣势。例如数学不同于语言类学科，人们日常的交际依靠语言，一切生活、工作均仰仗于语言和交往。再者如同物理或化学类学科，与各类日常生活现象息息相关，书本中的实例也大都来源于生活，而这些现象、特质都能够让人亲身感受，属于看得见、摸得着的类型。但数学是存在于人头脑中的学科，它存在于人的逻辑思维、推理考量、空间想象当中，它无法给人切身的体会，它带给人的所有体验都是抽象的。举一个最简单的例子，摆在面前的一个苹果，人们所感受到的只有“苹果”，而“一个”只存在于人的潜意识当中。
其次，“删繁减难”并未全面落到实处。在基础教育阶段，真正意义上落实“删繁减难”的应当属初中阶段。随着中考要求的降低，原初中数学课程中的某些知识点如十字相乘法、立方和与差、切割线定理、相交弦定理等在新教材中已不复存在。但事实上，用高考指标审视现行初高中教材，不得不说初、高中的数学存在较为严重的脱节现象。虽然中考难度降低，但高中要求的知识储备往往高于中考所提要求。因此，高中数学并没有真正做到“删繁减难”，反而在理论基础上划下了一条鸿沟，使得高中数学在教学实中不可避免地进行大量理论“填补”。而这类知识缺少了初中较为浅显而贴近生活的知识铺垫，抽象度更高，学生对此类知识的认知也更困难。再者，高中阶段的众多知识点，如函数图像、平面向量、三角恒等变换、圆锥曲线与方程、复数与复平面等知识点，与学生生活实际的相交点甚少。同时由于高考题的复杂程度和综合性，这些知识点更多只为在应试中发挥选拔能力。 第三，数学教材与习题中的情境结合不贴切。为了响应三维目标的达成，新版数学教材也力求将数学的知识点和数学问题带入到生活情境当中。如某教材“函数的基本性质”一节，为讲述函数的单调性，设置了这样一个例题：“在现实生活中，有不少随时间增加而增加（或减少）的量，例如下图是根据1990年至2000年某市园林绿地面积的数据所做成的图像。”于是教材给出了1990年绿化面积为3570公顷，直至2000年绿化面积达12601公顷的散点图，并说明“由图可见，该市园林绿地面积随着年份的增加而增加。这是一种单调现象，在生活中常出现”。不可否认这确实是一种单调现象，这类单调现象在生活中也比比皆是。但这个例子对于生活于21世纪的高中生来说未免有些脱节。且不提学生对绿化面积的感兴趣程度，题目并未言明这是哪座城市，这个记录是否属实还有待查明。此题记录的信息对学生而言没有实际意义，只是一道强扣上“生活实际”帽子的例题而已。要想让学生真正感受到数学来源于生活，数学运用于生活，就要将生命温度和生活体悟融入数学当中，而不只是单纯进行某种生硬的搬套。
贴近生活现实，是数学“核心素养”培育的前提，也是最根本的方法。现行教材没有做到这一点，执教数学学科的教师拥有巨大的可操作空间。由此切入，结合生活实际培育学生数学关键素养，就能够不断发展学生数学“核心素养”。
三、培育学生数学“核心素养”的现实意义
数学“核心素养”主要培养目的是让学生抓住时机运用数学眼光和角度去体验生活、感知世界，从而把握世界、改造世界。数学“核心素养”的习得对于学生而言，具有十分重要的意义。
一方面，可以加强学生的数理感知能力，提升数学思维能力。从学生数学学习的角度来说，对数的敏锐程度一定程度上决定了学习数学的天赋与能量。学生的数学基础扎实，取决于数学知识点的掌握程度，而真正能够灵活运用基础数学知识进行多题型变化、实现举一反三，需具有较强的数理感知能力。数学题的“难”是无边际的，解难题没有既定思维，也没有人们所崇尚的“套路”。很多情况下，数学是人们在一次偶然的巧合通过敏锐的观察力和数学感知能力，历经思维碰撞而产生的。如著名的勾股定理，在公元前1000多年前就有史料记载“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”勾股定理到目前为止共有400多种证明方法，数学的巧妙恰恰表现于此。
另一方面，有助于学生用数学眼光体悟生活，善用数学智慧。教会学生发现生活中的数学，善用数学思维解决实际问题是培育学生数学“核心素养”最具价值的目的之一。数学不应只是活跃于书本上的知识，其对于现代社会发展发挥着举足轻重的作用。如何在没有测量工具和仪器的情况下估算一栋大楼的高度，如何在有限条件下进行经费预算，如何通过分析月账单选择最佳通话套餐，如何科学规划甲地到乙地的路线，如何通过排列组合估算中奖概率……以上种种都是潜藏于生活中的数学问题。而数学“核心素养”正是培养了学生善于发现的眼睛，教会他们细心观察生活，懂得提出问题并解决这些问题。虽然这些问题不一定有数学原型，但可以通过类比将實际问题抽象成数学模型，进而通过数学思维与方法得以解决。
此外，数学“核心素养”的习得，还有助于学生感悟与欣赏数学之美，激发数学学习兴趣。数学的美感是潜藏于数字符号背后的巧妙构思与精准判断，是发挥了想象力与创造力后激情碰撞的结果。只有理解了数学的内涵才会体味数学的博大精深与潜藏其后的文化价值，才能乐在其中。现行数学教材往往十分注重呈现各数学伟大发现的历史意义与数学家们背后的故事，在章节末端的阅读材料中通过简明的语言介绍数学家们的研究历程。遗憾的是，这些材料在实际教学中却极易被教师与学生忽视。只有当学生真正乐于用心钻研这些精妙的学问，体味了数学的乐趣与意义，才能用学科本身的魅力去感染学生，激发学生数学学习的兴趣和探究精神。
（作者单位：复旦大学高等教育研究所）