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莫斯纳幻方
根据前文所述，我国南宋著名数学家杨辉是世界上第一个对幻方进行详尽数学研究并取得丰硕成果的学者。在杨辉所著的《续古摘奇算法》两卷中，除了呈现3阶幻方的研究成果之外，还构造出4阶至10阶幻方。书中，杨辉称4阶幻方为“花十六图”或“四四图”，并给出了两个实例（阴、阳两图）及阴图（图1）的具体构造法，令人叹为观止。
后人经过研究发现，杨辉构作的4阶幻方中，数字分布的对称性和均匀性不仅表现在数字之和，甚至还体现在数字的平方和以及立方和方面。
1947年，德国学者阿尔弗雷德·莫斯纳在《数学评论》上发表文章《一个神奇幻方》。在这篇文章中，他给出了一个4阶幻方（图2），宣称这个幻方存在独特奇妙的性质：
首先，第1行和第4行上的数字的平方和相等，即122 132 12 82= 92 162 42 52 =378。类似的，第2行和第3行上数字的平方和也相等，即62 32 152 102= 142 72 22 112=370。因此，幻方上半部和下半部8个数字的平方和相等，即：378 370=748。
其次，第1列和第4列上数字的平方和也相等，即 122 62 72 92=82 102 112 52=310。类似的，第2列和第3列上数字的平方和也相等，即 132 32 22 162=12 152 142 42=438。因此，幻方左半部和右半部8个数字的平方和也相等，而且也等于748。
第三，两条对角线上的8个数字以及非对角线上的8个数字的平方和也都等于748。与此同时，两条对角线上的8个数字以及非对角线上的8个数字的立方和都等于9248。
最后，两条对角线上的数字的平方和以及立方和分别相等;而且，对角线上4个数字的立方和4624竟然还是一个平方数。这个特性是杨辉幻方所不具备的。
对“莫斯纳幻方”稍加分析，就可发现，它其实是杨辉4阶幻方之阴图（图1）的一个变形：把杨辉4阶幻方从左侧开始算的第2列变为图2右侧第1列，图1左侧第1列变为图2右侧第3列……再把第1行和第4行、第2行和第3行互换。因此，许多专业人士都认为，“莫斯纳幻方”源自杨辉4阶幻方。尽管这一说法尚无定论，但应该承认，经过变换以后的“莫斯纳幻方”确有过人之处。
素数幻方
所谓素数幻方，是指幻方中出现的数全都是素数。因为元素必须是素数的限定，所以这种幻方显然无法满足从1～n2个连续自然数的要求。这种非连续数幻方是由著名科普大师杜德尼在1900年首先提出的。可以想见，素数幻方的苛刻要求致使其构造起来非常困难。当然，这并不意味着构造素数幻方无迹可循。杜德尼自己就给出一个3阶素数幻方（图3），幻和为111。其后，又有人构造出4阶素数幻方（图4），幻和为102。
必须指出，在20世纪初，1还被当作素数，所以这两个幻方中都包含1。自从明确1不是素数以后，人们又重新构造了3阶和4阶的素数幻方（图5、6），幻和分别为177和120。颇有意趣的是，不管是否把1当成素数，能构成3阶素数幻方的幻方常数总是大于4阶的。
除此之外，幻方研究者还成功构造出一些特别的素数幻方（图7、8）。在图7的这个3阶素数幻方中，最小的素数是59，最大的素数是659，其他素数的末位数字都是9，仿佛珍品标签一般饶有趣味。图8中的素数末位数字不仅和图7一样，而且9个元素还构成等差数列，公差为210，这就更难能可贵了。
不难看出，这些幻方中的素数并不连续，所以人们又开始琢磨能否用9个连续素数构成3阶幻方。难度可想而知，世界数学科普大师马丁·加德纳还曾为此悬赏100美元，奖给首位成功者。这笔奖金最终被一位名叫哈里·尼尔逊的计算机专家获得。他利用美国加利福尼亚大学的一台克雷超级计算机，通过程序设计攻克了这个难题，而且一次性提供了22个答案。
图9就是其中和常数最小的一个3阶素数幻方。在这个幻方中的9个连续素数，每个都已经超过14.8亿。更叫人瞠目的是，日本著名幻方研究家寺村周太郎经过长期不懈努力，于1979年11月7日终于构造成一个高达10阶的素数幻方，其中的元素竟然全是连续素数，中间也没有跳过一个。如此难得的机巧，简直可以用玄之又玄和匪夷所思来形容。也难怪此幻方一经问世就震动业界，被公认为是幻方研究中的一个重要里程碑。
玉挂幻方
1986年，在上海浦东陆家嘴附近发现的古墓中，出土了一块玉挂。玉挂的反面刻着16 个古代阿拉伯数字。经过专家破译还原，人们惊讶地发现，这竟然是一个4阶幻方（图10）。
看起来，这个玉挂中的数字秘密——构成4阶幻方已然揭晓;但数学家研究发现，其中充满玄机的神奇特性远不止于此。只要稍加计算验证，就能领会“玉挂幻方”超凡脱俗和奇妙独特的个性： 在这个幻方中，每行、每列及对角线上4个数字之和都等于34。更为特别的是，即便包括“折断”后连成的对角线，每条对角线上的4个数字之和仍是34。比如：14 12 5 3=34，13 16 4 1=34;5 9 12 8=34，11 13 4 6=34等。显然，只有在这种情况下，对角线才真正同行、同列平起平坐，取得了完全平等的地位。因此，具有这种性质的幻方被称为“完全幻方”。任何一个3阶幻方都不具备这个特性，这是由于完全幻方最起码要4阶。
在这个幻方中，取出任何一个2×2的小正方形，其中的4个数字之和竟然也都等于34。要达成此点殊为不易，从而更显卓尔不群。
在这个幻方中，任何一个3×3小正方形，其四角数字之和也都等于常数34。如此一而再、再而三的非凡特性，简直叫人拍案叫绝。
如若将此幻方看成象棋棋盘进行飞“象”，那么，不管“象”从哪一点出发飞到哪一点，这两个点所对应的数字（同左下或同右下）之和都等于17。这就更如天外飞仙，妙不可言了。
无独有偶，伦敦的南凯星顿大英博物馆里，也收藏了一件在印度传教的弗洛斯特牧师的特殊遗物——一块精美的玉挂。据称，他难得闲暇中的唯一消遣就是研究幻方。
这块玉挂上的咒语和图案尽管晦涩难懂，但经过破译，确认了其为由1～64组成的幻和为260的8阶幻方（图11）。但当初，人们并没有完全领会其中的精妙，其中最为玄妙和神奇的特性，竟然与国际象棋中马、象的走法有关。为直观说明，把幻方扩倍延展并截取如下（图12）：
（1）国际象棋中马的走法是“一直一拐”，类似于中国象棋中的“马走日字”;而且同样，上下左右不受限制。也正因为此，马可以从任一起点出发，沿着一种固定跳法走下去，最终必定跳回出发点。当然，这也需要把单个棋盘不断扩倍延展。
令人惊奇的是，玉挂幻方竟然也有类似“马步还原”的特性。即在玉挂幻方中任取一数作为起点，按马步前进，经过8步必然回到起点数，经过的8个数字之和与幻和相等。
（2）国际象棋中的象走直线，长短不受限制。若在玉挂幻方中任取一数为起点，按象步前进，仍只需8步就必然回到起点数，经过的8个数字之和同样与幻和相等。
反幻方
有位美国著名科普作家写到：“有些外星人正在做一道数学题：在4×4的正方形里填上1～16个自然数，不准重复，也不准雷同或遗漏。要求每行、每列、每条对角线上的4个数字之和都不相等，而且这些和必须是连续的自然数。假使你在它们之前先做出来了，你就可以获得100万美元的奖励。”姑且不论这位作家的文字是真实可信还是哗众取宠，其中提及的反幻方问题倒是实实在在，值得细细琢磨。
所谓反幻方，是指把n2个连续自然数填入n×n的小方格中，使其中每行、每列及对角线上的数字之和都不相等。这与幻方的基本要求刚好相反，所以它被人们称为“反幻方”。
需要说明的是，最简单的反幻方是3阶。因为把1～4填入2×2小正方形中，无论怎样排列，行、列或对角线总会出现1 4=2 3，始终不能符合反幻方的要求，所以2阶反幻方根本不存在。
稍加试验可知，符合条件的3阶反幻方屡见不鲜。有人曾做过统计，即使旋转后重叠的8种幻方算作同一个，3阶反幻方也有3120个。这表明，构造出3阶反幻方并非难事。于是，研究者又给它们增添了更为苛刻的要求，其中比较有趣的附加条件是：填入3×3正方形中的自然数1～9必须按顺序首尾相连，成为螺旋形状。美国数学科普大师马丁·加德纳经过研究发现，符合条件的反幻方只有两个（图13、14）。鉴于“物以稀为贵”，这样按序连接“一条龙”的螺旋反幻方又被称为“完美反幻方”。
需要指出的是，迄今为止的研究表明，反幻方的制作还没有简单的系统方法。因此，更高阶反幻方的构造仍具备相当难度。明白了这一点，现在回到前文的那则4阶反幻方问题，其难度显而易见，但也并非完全无解，至少作者给出了一个正确答案（图15）。稍加计算不难发现：各行、各列以及对角线上的和数分别为30、31、38、37、35、36、32、33、34、29， 刚好是从29到38的10个连续自然数。正所谓，不走寻常路，也得细琢磨。
六角幻方
随着幻方研究的深入，突破幻方常规要求的奇异幻方也开始出现，甚至打破了一般幻方在n×n方格中构成的限制，但仍保留了幻方最为本质也最为经典的要求，即相应连线上的各数之和必须相等。比如下面这个花费了52年光阴才与世人见面的“六角幻方”。
它的发明人是一位名叫克里福德·亚当斯的英国铁路职工。亚当斯是一个铁杆的幻方迷，从1910年就开始琢磨构造六角幻方（图16），即把1～19填入六角形数阵中，使水平、右斜、左斜的各5根连线上的数字之和都相等。
当亚当斯开始动手尝试时才发现，完成构造并非自己想象得那么容易。于是，他认真刻苦地潜心研究，甚至随身带了19块纸板剪成的小六角形，把所有空余时间都用在数字纸板的摆弄上。这一摆就摆到了1957年。40年的努力依然一无所获，但无尽的失败和漫长的挫折并没有使他退却。退休后的亚当斯仍顽强坚持、勤奋钻研。之后，过度的劳累迫使亚当斯住进了医院，即便躺在病床上，他也没有停止琢磨摆弄。
根据前文所述，我国南宋著名数学家杨辉是世界上第一个对幻方进行详尽数学研究并取得丰硕成果的学者。在杨辉所著的《续古摘奇算法》两卷中，除了呈现3阶幻方的研究成果之外，还构造出4阶至10阶幻方。书中，杨辉称4阶幻方为“花十六图”或“四四图”，并给出了两个实例（阴、阳两图）及阴图（图1）的具体构造法，令人叹为观止。
后人经过研究发现，杨辉构作的4阶幻方中，数字分布的对称性和均匀性不仅表现在数字之和，甚至还体现在数字的平方和以及立方和方面。
1947年，德国学者阿尔弗雷德·莫斯纳在《数学评论》上发表文章《一个神奇幻方》。在这篇文章中，他给出了一个4阶幻方（图2），宣称这个幻方存在独特奇妙的性质：
首先，第1行和第4行上的数字的平方和相等，即122 132 12 82= 92 162 42 52 =378。类似的，第2行和第3行上数字的平方和也相等，即62 32 152 102= 142 72 22 112=370。因此，幻方上半部和下半部8个数字的平方和相等，即：378 370=748。
其次，第1列和第4列上数字的平方和也相等，即 122 62 72 92=82 102 112 52=310。类似的，第2列和第3列上数字的平方和也相等，即 132 32 22 162=12 152 142 42=438。因此，幻方左半部和右半部8个数字的平方和也相等，而且也等于748。
第三，两条对角线上的8个数字以及非对角线上的8个数字的平方和也都等于748。与此同时，两条对角线上的8个数字以及非对角线上的8个数字的立方和都等于9248。
最后，两条对角线上的数字的平方和以及立方和分别相等;而且，对角线上4个数字的立方和4624竟然还是一个平方数。这个特性是杨辉幻方所不具备的。
对“莫斯纳幻方”稍加分析，就可发现，它其实是杨辉4阶幻方之阴图（图1）的一个变形：把杨辉4阶幻方从左侧开始算的第2列变为图2右侧第1列，图1左侧第1列变为图2右侧第3列……再把第1行和第4行、第2行和第3行互换。因此，许多专业人士都认为，“莫斯纳幻方”源自杨辉4阶幻方。尽管这一说法尚无定论，但应该承认，经过变换以后的“莫斯纳幻方”确有过人之处。
素数幻方
所谓素数幻方，是指幻方中出现的数全都是素数。因为元素必须是素数的限定，所以这种幻方显然无法满足从1～n2个连续自然数的要求。这种非连续数幻方是由著名科普大师杜德尼在1900年首先提出的。可以想见，素数幻方的苛刻要求致使其构造起来非常困难。当然，这并不意味着构造素数幻方无迹可循。杜德尼自己就给出一个3阶素数幻方（图3），幻和为111。其后，又有人构造出4阶素数幻方（图4），幻和为102。
必须指出，在20世纪初，1还被当作素数，所以这两个幻方中都包含1。自从明确1不是素数以后，人们又重新构造了3阶和4阶的素数幻方（图5、6），幻和分别为177和120。颇有意趣的是，不管是否把1当成素数，能构成3阶素数幻方的幻方常数总是大于4阶的。
除此之外，幻方研究者还成功构造出一些特别的素数幻方（图7、8）。在图7的这个3阶素数幻方中，最小的素数是59，最大的素数是659，其他素数的末位数字都是9，仿佛珍品标签一般饶有趣味。图8中的素数末位数字不仅和图7一样，而且9个元素还构成等差数列，公差为210，这就更难能可贵了。
不难看出，这些幻方中的素数并不连续，所以人们又开始琢磨能否用9个连续素数构成3阶幻方。难度可想而知，世界数学科普大师马丁·加德纳还曾为此悬赏100美元，奖给首位成功者。这笔奖金最终被一位名叫哈里·尼尔逊的计算机专家获得。他利用美国加利福尼亚大学的一台克雷超级计算机，通过程序设计攻克了这个难题，而且一次性提供了22个答案。
图9就是其中和常数最小的一个3阶素数幻方。在这个幻方中的9个连续素数，每个都已经超过14.8亿。更叫人瞠目的是，日本著名幻方研究家寺村周太郎经过长期不懈努力，于1979年11月7日终于构造成一个高达10阶的素数幻方，其中的元素竟然全是连续素数，中间也没有跳过一个。如此难得的机巧，简直可以用玄之又玄和匪夷所思来形容。也难怪此幻方一经问世就震动业界，被公认为是幻方研究中的一个重要里程碑。
玉挂幻方
1986年，在上海浦东陆家嘴附近发现的古墓中，出土了一块玉挂。玉挂的反面刻着16 个古代阿拉伯数字。经过专家破译还原，人们惊讶地发现，这竟然是一个4阶幻方（图10）。
看起来，这个玉挂中的数字秘密——构成4阶幻方已然揭晓;但数学家研究发现，其中充满玄机的神奇特性远不止于此。只要稍加计算验证，就能领会“玉挂幻方”超凡脱俗和奇妙独特的个性： 在这个幻方中，每行、每列及对角线上4个数字之和都等于34。更为特别的是，即便包括“折断”后连成的对角线，每条对角线上的4个数字之和仍是34。比如：14 12 5 3=34，13 16 4 1=34;5 9 12 8=34，11 13 4 6=34等。显然，只有在这种情况下，对角线才真正同行、同列平起平坐，取得了完全平等的地位。因此，具有这种性质的幻方被称为“完全幻方”。任何一个3阶幻方都不具备这个特性，这是由于完全幻方最起码要4阶。
在这个幻方中，取出任何一个2×2的小正方形，其中的4个数字之和竟然也都等于34。要达成此点殊为不易，从而更显卓尔不群。
在这个幻方中，任何一个3×3小正方形，其四角数字之和也都等于常数34。如此一而再、再而三的非凡特性，简直叫人拍案叫绝。
如若将此幻方看成象棋棋盘进行飞“象”，那么，不管“象”从哪一点出发飞到哪一点，这两个点所对应的数字（同左下或同右下）之和都等于17。这就更如天外飞仙，妙不可言了。
无独有偶，伦敦的南凯星顿大英博物馆里，也收藏了一件在印度传教的弗洛斯特牧师的特殊遗物——一块精美的玉挂。据称，他难得闲暇中的唯一消遣就是研究幻方。
这块玉挂上的咒语和图案尽管晦涩难懂，但经过破译，确认了其为由1～64组成的幻和为260的8阶幻方（图11）。但当初，人们并没有完全领会其中的精妙，其中最为玄妙和神奇的特性，竟然与国际象棋中马、象的走法有关。为直观说明，把幻方扩倍延展并截取如下（图12）：
（1）国际象棋中马的走法是“一直一拐”，类似于中国象棋中的“马走日字”;而且同样，上下左右不受限制。也正因为此，马可以从任一起点出发，沿着一种固定跳法走下去，最终必定跳回出发点。当然，这也需要把单个棋盘不断扩倍延展。
令人惊奇的是，玉挂幻方竟然也有类似“马步还原”的特性。即在玉挂幻方中任取一数作为起点，按马步前进，经过8步必然回到起点数，经过的8个数字之和与幻和相等。
（2）国际象棋中的象走直线，长短不受限制。若在玉挂幻方中任取一数为起点，按象步前进，仍只需8步就必然回到起点数，经过的8个数字之和同样与幻和相等。
反幻方
有位美国著名科普作家写到：“有些外星人正在做一道数学题：在4×4的正方形里填上1～16个自然数，不准重复，也不准雷同或遗漏。要求每行、每列、每条对角线上的4个数字之和都不相等，而且这些和必须是连续的自然数。假使你在它们之前先做出来了，你就可以获得100万美元的奖励。”姑且不论这位作家的文字是真实可信还是哗众取宠，其中提及的反幻方问题倒是实实在在，值得细细琢磨。
所谓反幻方，是指把n2个连续自然数填入n×n的小方格中，使其中每行、每列及对角线上的数字之和都不相等。这与幻方的基本要求刚好相反，所以它被人们称为“反幻方”。
需要说明的是，最简单的反幻方是3阶。因为把1～4填入2×2小正方形中，无论怎样排列，行、列或对角线总会出现1 4=2 3，始终不能符合反幻方的要求，所以2阶反幻方根本不存在。
稍加试验可知，符合条件的3阶反幻方屡见不鲜。有人曾做过统计，即使旋转后重叠的8种幻方算作同一个，3阶反幻方也有3120个。这表明，构造出3阶反幻方并非难事。于是，研究者又给它们增添了更为苛刻的要求，其中比较有趣的附加条件是：填入3×3正方形中的自然数1～9必须按顺序首尾相连，成为螺旋形状。美国数学科普大师马丁·加德纳经过研究发现，符合条件的反幻方只有两个（图13、14）。鉴于“物以稀为贵”，这样按序连接“一条龙”的螺旋反幻方又被称为“完美反幻方”。
需要指出的是，迄今为止的研究表明，反幻方的制作还没有简单的系统方法。因此，更高阶反幻方的构造仍具备相当难度。明白了这一点，现在回到前文的那则4阶反幻方问题，其难度显而易见，但也并非完全无解，至少作者给出了一个正确答案（图15）。稍加计算不难发现：各行、各列以及对角线上的和数分别为30、31、38、37、35、36、32、33、34、29， 刚好是从29到38的10个连续自然数。正所谓，不走寻常路，也得细琢磨。
六角幻方
随着幻方研究的深入，突破幻方常规要求的奇异幻方也开始出现，甚至打破了一般幻方在n×n方格中构成的限制，但仍保留了幻方最为本质也最为经典的要求，即相应连线上的各数之和必须相等。比如下面这个花费了52年光阴才与世人见面的“六角幻方”。
它的发明人是一位名叫克里福德·亚当斯的英国铁路职工。亚当斯是一个铁杆的幻方迷，从1910年就开始琢磨构造六角幻方（图16），即把1～19填入六角形数阵中，使水平、右斜、左斜的各5根连线上的数字之和都相等。
当亚当斯开始动手尝试时才发现，完成构造并非自己想象得那么容易。于是，他认真刻苦地潜心研究，甚至随身带了19块纸板剪成的小六角形，把所有空余时间都用在数字纸板的摆弄上。这一摆就摆到了1957年。40年的努力依然一无所获，但无尽的失败和漫长的挫折并没有使他退却。退休后的亚当斯仍顽强坚持、勤奋钻研。之后，过度的劳累迫使亚当斯住进了医院，即便躺在病床上，他也没有停止琢磨摆弄。