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摘 要：按照项目学习的特征，根据已有的教学尝试，和上一期项目学习的研究，这一次针对中考的一类几何专题——测量物体的高度进行了探究。通过设计项目实施的任务单、记录表、评价和实践报告展开项目学习。通过项目学习使学生了解数学来源于生活，解决生活实际问题，达到预期的学习目标，提升了学习兴趣和能力。
关键词：项目学习 测量物体的高度 测量方案
基金项目 全国科学规划课题“基于课标的‘习得性’项目学习教学模式”的研究实践（FHB170581）
2011年版义务教育数学课程标准在第三学段“综合与实践”部分，给出了一种获得数学活动经验的路径：“实际情境——发现和提出问题——设计方案——实施方案——解决问题——形成报告——展示交流”。实践这条路径的方式之一就是项目学习。在课题组的带领下，经过几年的探索，这条路径越来越能与教学实际相结合，切实解决教学中的难点问题，提高学生对数学本质的理解。这一次我们小组以测量物体的高度为例，展示项目学习教学方式在这个过程中发挥的重要作用。
本研究意在提高学生几何直观和建模的数学核心素养。通过实际观察测量，建立适当的数学模型，与已学知识相联系，通过形象具体的几何图形，测量不同的建筑物高度。学以致用，真正掌握该知识点，为初中数学教学中核心素养的培养提供经验，拓展思路。
最近五年的中考数学试卷中，每年都会有一道题考查测高问题，而且最近两年考查的都是现实生活中物体的高度，比如2018年和2019年都是以实验操作的方式考查的。
例如：（2018·山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征。某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量。测量结果如下表：
（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）；
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）。
测高问题需要利用初中阶段很多方面的知识，考查的是知识的综合应用能力。在中考这样的大考中一定会出现考查综合应用能力的问题，而且会越来越多。这对传统的教学模式提出新的要求，只有顺应中考的要求，改变教学方法，提高学生数学核心素养，学生才能从容面对。
一、项目学习的设计与实施
这个项目，就从即将在太原市举行的二青会入手，给出需要完成的任务——“我是太原文明使者”，作为一名太原市的中学生，希望能够为外地的友人介绍我们美丽的太原。为了能够介绍的更加准确，小组同学一起考察了太原市的一些地标性建筑，并且用所学的知识测量出它的高度。项目学习的成果就是测量出来的建筑物的高度，以及在测量过程中完成的活动过程记录表、实践报告和根据测量活动依据课程标准编拟的试题。学生从一个真实的问题“测量物体的高度”开始，通过完整地做这件事，习得知识技能，发展能力，提升素养，体现了“做中学”。
1.根据学生的情况编写教材
初中学段在现在使用的北师大版教材中有四个章节的应用明确涉及测量物体高度的问题：七年级下册的《三角形》、八年级上册的《勾股定理》、九年级上册的《相似三角形》、九年级下册的《三角函數》。参与项目的学生是八年级学生，九年级的课程还没有学习，所以教材编写时要引导学生自学九年级的两章内容，一方面培养学生的自学能力，另一方面培养他们总结知识的能力。一道具体的测高问题用到的知识不仅仅在一个章节内，所以我们把他们学过的和没有学过的内容都以纲要的形式在第一部分给出了呈现，以简洁的表格方式引导学生完成自学部分。下面就是我们编写的教材的简要版。
中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于2019年8月在山西太原举行。太原市作为主赛区，将承担60%以上的赛事活动及二青会开闭幕式、火炬传递、青年文化活动和青运村的运行管理等工作。为把二青会办成全民参与、全国瞩目的青春盛会、文化盛会、体育盛会，充分展示文明、开放、富裕、美丽的太原形象，作为一名太原市的中学生，我们希望能够为来自世界各地的朋友介绍美丽的太原。为此，我们准备一起考察太原市的一些特色建筑，并测量、计算出它的高度。
任务二：确定测量目标
测量目标： 。
任务三：探索测量方法
与测量高度有关的知识包含：全等三角形（北师大版七年级下册第四章）、勾股定理（北师大版八年级上册第一章）、相似三角形（北师大版九年级上册第四章）、三角函数（北师大版九年级下册第一章）等。
（1）全等三角形（北师大版七年级下册第四章）：
任务五：实施测量
完成实践报告
任务六：总结学习
任务七：活动报告 2.项目学习的实施过程
每个学生对这个主题的兴趣是不同的，每个学生的恐惧点也是不同的。所以在实施过程中，要求他们必须先认真研读上述任务安排，领会活动目标，然后小组内部自己交流，在具体活动之前先要讨论得出一个活动计划，确定每个人的分工。在这个分工过程中即保留了他们的个性，更加强调他们之间的互助、合作和交流。作为老师，要帮助他们建立一种模式去完成任务。
活动的前期应该是小组内同学共同学习的过程，学习项目中涉及的测量高度的相关知识及方法（教师提供学习教材），形成初步的认识，之后再进入实践的第一环节——了解太原市特色建筑并选定测量目标，因为太原是一座文明古城，在了解太原市特色建筑的同时，既了解了有关的历史知识，又能增加学生的阅历，同时培养了热爱家乡的情怀。另外也顺应了中考的形式，在提出具体问题前都有大段的文字介绍相关背景，这样学生在解决中考实际问题时也不会觉得特别突兀而害怕。
实践的第二环节——小组分工，明确任务之后，小组成员进行分工，学习并拟定测高方案及用到的相关工具。
第三环节——实地测高。学生借助于所学的知识以及手头的一些工具，选定建筑物后进行实地测量，采用不同的方法，多次进行测量减少测量误差。
之后进入第四环节——总结学习，学生通过总结计算得出该建筑物的高度，并归纳对比各种方法的优缺点，以及本次活动的收获与感悟。小组内部的学生共同完成活动记录表，共同交流总结提升。学生在实践活动的过程中学习知识，理解其中的关方法，学会与同学合作并从中有所收获。
在此环节中，配套上述任务单，要求学生纪实性填写实践记录表。
3.项目学习的评价
仅仅做实践活动，是达不到预期学习的目标的，学生会忘我于愉快的活动过程中，为了让过程中学到的知识能内化提升，所以还设计了评价验收标准，提前告知学生，用评价引导项目学习，这也是项目学习的一个主要特色评价贯彻始终。
数学项目学习：测量物体的高度
评价标准
（1）测量工具
有测量工具为1分。
科学、实用为3分。
自制、科学、实用、美观为5分。
（2）测量过程统计表
只有测量结果为1分。
其中测量方法设计、测量过程性资料、测量结果统计缺一个为3分。
有测量方法设计、测量过程性资料、测量结果统计为5分。
（3）测量结果
采用一种方法多次测量且计算结果精确为1分。
采用两种不同方法多次测量且计算结果精确为3分。
采用三种以上不同方法多次测量且计算结果精确为5分。
（4）小组成员分工
小组成员有明确分工为1分。
分工具体内容叙述清楚为3分。
分工内容全面合理，工作内容方法叙述详尽合理为5分。
（5）活动报告
①每一个活动都有记录：视频和照片，要重点突出，按照活动流程将视频和照片编号。
②小组内每个成员分工明确，并且参与活动。
③活动过程记录表书写工整详细，并且思路清晰，可操作性强。
（6）活动结束之后需要提交的材料：
①纸质的过程记录表，活动总结报告；
②活动过程中的视频和照片；
③电子版的过程记录表和活动总结报告。
（7）提交方式：
每小组的组长负责整理好本组全部内容。
纸质报告交给课代表，电子版发到邮箱57318389@qq.com。
二、项目学习的验收
按照上述标准，对每个小组都交回的活动过程记录表进行评价，原计划是每个小组在班内展示，包括：讲解活动安排、活动过程和活动收益，用活动中学到的知识解决一道数学问题，自己编写一道数学测高问题来考考其他同学。同时，要求其他同学需要认真聆听展示小组的内容，并且用自己活动中掌握的知识解决展示小组给出的数学题，然后再由活动小组的同学去讲解。形成一个先由无知而主动学习，进而再利用学到的知识解决问题，最后还能灵活应用知识给其他同学进行讲解的一个知识学习过程。即：知识的学习（模仿）——知识的理解（变通）——知识的转化（升华）。但是在实际操作过程中，发现1703班（统招班）与1709班（实验班）的学生不同，他们在活动过程中的侧重点也不同，1703班的同学发现问题、解决问题的能力强，小组成员之间的合作能力特别强，但是自学能力相对较弱，所以他们更多的是用已经学过的知识解决测高问题，能够利用学过的简单知识，借助身边的工具和询问等方式把物体的高度测量出来，所以1703班的八个小组全部上台展示了自己小组的活动过程，而且讲解生动有趣。1709班的同学自学能力比较强，似乎仅仅对书本上的问题解决起来得心应手，而一旦到了实际生活中就感觉比较吃力了，不知道利用已经学会的知识解决实际问题，对于借助工具的能力也相对较弱，班级统一验收了三个小组都不太理想，于是调整策略把小组讲解验收改为题型总结班级集体验收。具体的操作方式是，把2018年全国各地市的中考测高问题全部学习一遍，小组内部每人负责讲解一道题，然后把这些题分类，每一类型选择一道题抄录下来。然后再根据小组活动模拟这些中考题编写一道题，作为结题的一部分。这种方式1709班的孩子比较喜欢，结果也不错。
下面附验收的部分案例：
小组分工：
学习后自己设计的题目：
收获：
三、项目学习的反思
项目学习的特点是“以终为始”，首先定出一个具体而明确的目标，学生就不会因思维太发散而无从下手。项目学习的可操作性强，评价贯穿全程。学生的每一步实践活动都有明确的评分标准，引导学生往更好的方向做。这一次的活动是完整的，从设计到实施，每一个步骤每一个环节都没有缺少，尽量引导学生独立完成。让他們感受了完整做事情的环节和过程。
教材编写有点太过详细了，应该让学生自己寻找初中阶段关于测高问题的知识都有哪些章节涉及，甚至对知识的整理提升也应该放给学生去做，不同形式的总结提炼更能体现学习的差异性。也更加锻炼学生的学习能力。
验收环节在最初设计时是按照理想状态进行的，没有考虑学生的实际学习能力和实际情况，只设计了单一的验收方式，所以在验收过程中遇到了很多的困难，甚至一度出现有点验收不下去的情况，幸亏得到薛红霞老师的指点，改变了验收方式，最终达到了令人满意的效果。所以今后在设计项目学习时，思想可以是一致的，但是对学生的指导和验收一定是有区别的。
一个项目学习下来，学生的收获应该分为显性的和隐性的两种。显性收获，是对知识点的理解，和基本技能的掌握。隐性的收获是学习能力的提高，和学习欲望的提升。希望这种探究问题的习惯和思维方式会慢慢渗透内化到学生的认知行为中，在日后其他项目学习中、生活实践中会自觉地应用。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2011年版[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]巴克教育研究所.项目学习教师指南：21世纪的中学教学法：第2版[M]. 任伟， 译. 北京：教育科学出版社，2008.
[3]薛红霞.PBL下数学项目化实验教材的编写与实践[J].教育理论与实践，2016（8）：42-44.
[4]贾凤梅，薛红霞，常青.开展数学项目学习，身临其境理解销售问题[J].中国数学教育，2018（21）：3-6.
关键词：项目学习 测量物体的高度 测量方案
基金项目 全国科学规划课题“基于课标的‘习得性’项目学习教学模式”的研究实践（FHB170581）
2011年版义务教育数学课程标准在第三学段“综合与实践”部分，给出了一种获得数学活动经验的路径：“实际情境——发现和提出问题——设计方案——实施方案——解决问题——形成报告——展示交流”。实践这条路径的方式之一就是项目学习。在课题组的带领下，经过几年的探索，这条路径越来越能与教学实际相结合，切实解决教学中的难点问题，提高学生对数学本质的理解。这一次我们小组以测量物体的高度为例，展示项目学习教学方式在这个过程中发挥的重要作用。
本研究意在提高学生几何直观和建模的数学核心素养。通过实际观察测量，建立适当的数学模型，与已学知识相联系，通过形象具体的几何图形，测量不同的建筑物高度。学以致用，真正掌握该知识点，为初中数学教学中核心素养的培养提供经验，拓展思路。
最近五年的中考数学试卷中，每年都会有一道题考查测高问题，而且最近两年考查的都是现实生活中物体的高度，比如2018年和2019年都是以实验操作的方式考查的。
例如：（2018·山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征。某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量。测量结果如下表：
（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）；
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）。
测高问题需要利用初中阶段很多方面的知识，考查的是知识的综合应用能力。在中考这样的大考中一定会出现考查综合应用能力的问题，而且会越来越多。这对传统的教学模式提出新的要求，只有顺应中考的要求，改变教学方法，提高学生数学核心素养，学生才能从容面对。
一、项目学习的设计与实施
这个项目，就从即将在太原市举行的二青会入手，给出需要完成的任务——“我是太原文明使者”，作为一名太原市的中学生，希望能够为外地的友人介绍我们美丽的太原。为了能够介绍的更加准确，小组同学一起考察了太原市的一些地标性建筑，并且用所学的知识测量出它的高度。项目学习的成果就是测量出来的建筑物的高度，以及在测量过程中完成的活动过程记录表、实践报告和根据测量活动依据课程标准编拟的试题。学生从一个真实的问题“测量物体的高度”开始，通过完整地做这件事，习得知识技能，发展能力，提升素养，体现了“做中学”。
1.根据学生的情况编写教材
初中学段在现在使用的北师大版教材中有四个章节的应用明确涉及测量物体高度的问题：七年级下册的《三角形》、八年级上册的《勾股定理》、九年级上册的《相似三角形》、九年级下册的《三角函數》。参与项目的学生是八年级学生，九年级的课程还没有学习，所以教材编写时要引导学生自学九年级的两章内容，一方面培养学生的自学能力，另一方面培养他们总结知识的能力。一道具体的测高问题用到的知识不仅仅在一个章节内，所以我们把他们学过的和没有学过的内容都以纲要的形式在第一部分给出了呈现，以简洁的表格方式引导学生完成自学部分。下面就是我们编写的教材的简要版。
中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于2019年8月在山西太原举行。太原市作为主赛区，将承担60%以上的赛事活动及二青会开闭幕式、火炬传递、青年文化活动和青运村的运行管理等工作。为把二青会办成全民参与、全国瞩目的青春盛会、文化盛会、体育盛会，充分展示文明、开放、富裕、美丽的太原形象，作为一名太原市的中学生，我们希望能够为来自世界各地的朋友介绍美丽的太原。为此，我们准备一起考察太原市的一些特色建筑，并测量、计算出它的高度。
任务二：确定测量目标
测量目标： 。
任务三：探索测量方法
与测量高度有关的知识包含：全等三角形（北师大版七年级下册第四章）、勾股定理（北师大版八年级上册第一章）、相似三角形（北师大版九年级上册第四章）、三角函数（北师大版九年级下册第一章）等。
（1）全等三角形（北师大版七年级下册第四章）：
任务五：实施测量
完成实践报告
任务六：总结学习
任务七：活动报告 2.项目学习的实施过程
每个学生对这个主题的兴趣是不同的，每个学生的恐惧点也是不同的。所以在实施过程中，要求他们必须先认真研读上述任务安排，领会活动目标，然后小组内部自己交流，在具体活动之前先要讨论得出一个活动计划，确定每个人的分工。在这个分工过程中即保留了他们的个性，更加强调他们之间的互助、合作和交流。作为老师，要帮助他们建立一种模式去完成任务。
活动的前期应该是小组内同学共同学习的过程，学习项目中涉及的测量高度的相关知识及方法（教师提供学习教材），形成初步的认识，之后再进入实践的第一环节——了解太原市特色建筑并选定测量目标，因为太原是一座文明古城，在了解太原市特色建筑的同时，既了解了有关的历史知识，又能增加学生的阅历，同时培养了热爱家乡的情怀。另外也顺应了中考的形式，在提出具体问题前都有大段的文字介绍相关背景，这样学生在解决中考实际问题时也不会觉得特别突兀而害怕。
实践的第二环节——小组分工，明确任务之后，小组成员进行分工，学习并拟定测高方案及用到的相关工具。
第三环节——实地测高。学生借助于所学的知识以及手头的一些工具，选定建筑物后进行实地测量，采用不同的方法，多次进行测量减少测量误差。
之后进入第四环节——总结学习，学生通过总结计算得出该建筑物的高度，并归纳对比各种方法的优缺点，以及本次活动的收获与感悟。小组内部的学生共同完成活动记录表，共同交流总结提升。学生在实践活动的过程中学习知识，理解其中的关方法，学会与同学合作并从中有所收获。
在此环节中，配套上述任务单，要求学生纪实性填写实践记录表。
3.项目学习的评价
仅仅做实践活动，是达不到预期学习的目标的，学生会忘我于愉快的活动过程中，为了让过程中学到的知识能内化提升，所以还设计了评价验收标准，提前告知学生，用评价引导项目学习，这也是项目学习的一个主要特色评价贯彻始终。
数学项目学习：测量物体的高度
评价标准
（1）测量工具
有测量工具为1分。
科学、实用为3分。
自制、科学、实用、美观为5分。
（2）测量过程统计表
只有测量结果为1分。
其中测量方法设计、测量过程性资料、测量结果统计缺一个为3分。
有测量方法设计、测量过程性资料、测量结果统计为5分。
（3）测量结果
采用一种方法多次测量且计算结果精确为1分。
采用两种不同方法多次测量且计算结果精确为3分。
采用三种以上不同方法多次测量且计算结果精确为5分。
（4）小组成员分工
小组成员有明确分工为1分。
分工具体内容叙述清楚为3分。
分工内容全面合理，工作内容方法叙述详尽合理为5分。
（5）活动报告
①每一个活动都有记录：视频和照片，要重点突出，按照活动流程将视频和照片编号。
②小组内每个成员分工明确，并且参与活动。
③活动过程记录表书写工整详细，并且思路清晰，可操作性强。
（6）活动结束之后需要提交的材料：
①纸质的过程记录表，活动总结报告；
②活动过程中的视频和照片；
③电子版的过程记录表和活动总结报告。
（7）提交方式：
每小组的组长负责整理好本组全部内容。
纸质报告交给课代表，电子版发到邮箱57318389@qq.com。
二、项目学习的验收
按照上述标准，对每个小组都交回的活动过程记录表进行评价，原计划是每个小组在班内展示，包括：讲解活动安排、活动过程和活动收益，用活动中学到的知识解决一道数学问题，自己编写一道数学测高问题来考考其他同学。同时，要求其他同学需要认真聆听展示小组的内容，并且用自己活动中掌握的知识解决展示小组给出的数学题，然后再由活动小组的同学去讲解。形成一个先由无知而主动学习，进而再利用学到的知识解决问题，最后还能灵活应用知识给其他同学进行讲解的一个知识学习过程。即：知识的学习（模仿）——知识的理解（变通）——知识的转化（升华）。但是在实际操作过程中，发现1703班（统招班）与1709班（实验班）的学生不同，他们在活动过程中的侧重点也不同，1703班的同学发现问题、解决问题的能力强，小组成员之间的合作能力特别强，但是自学能力相对较弱，所以他们更多的是用已经学过的知识解决测高问题，能够利用学过的简单知识，借助身边的工具和询问等方式把物体的高度测量出来，所以1703班的八个小组全部上台展示了自己小组的活动过程，而且讲解生动有趣。1709班的同学自学能力比较强，似乎仅仅对书本上的问题解决起来得心应手，而一旦到了实际生活中就感觉比较吃力了，不知道利用已经学会的知识解决实际问题，对于借助工具的能力也相对较弱，班级统一验收了三个小组都不太理想，于是调整策略把小组讲解验收改为题型总结班级集体验收。具体的操作方式是，把2018年全国各地市的中考测高问题全部学习一遍，小组内部每人负责讲解一道题，然后把这些题分类，每一类型选择一道题抄录下来。然后再根据小组活动模拟这些中考题编写一道题，作为结题的一部分。这种方式1709班的孩子比较喜欢，结果也不错。
下面附验收的部分案例：
小组分工：
学习后自己设计的题目：
收获：
三、项目学习的反思
项目学习的特点是“以终为始”，首先定出一个具体而明确的目标，学生就不会因思维太发散而无从下手。项目学习的可操作性强，评价贯穿全程。学生的每一步实践活动都有明确的评分标准，引导学生往更好的方向做。这一次的活动是完整的，从设计到实施，每一个步骤每一个环节都没有缺少，尽量引导学生独立完成。让他們感受了完整做事情的环节和过程。
教材编写有点太过详细了，应该让学生自己寻找初中阶段关于测高问题的知识都有哪些章节涉及，甚至对知识的整理提升也应该放给学生去做，不同形式的总结提炼更能体现学习的差异性。也更加锻炼学生的学习能力。
验收环节在最初设计时是按照理想状态进行的，没有考虑学生的实际学习能力和实际情况，只设计了单一的验收方式，所以在验收过程中遇到了很多的困难，甚至一度出现有点验收不下去的情况，幸亏得到薛红霞老师的指点，改变了验收方式，最终达到了令人满意的效果。所以今后在设计项目学习时，思想可以是一致的，但是对学生的指导和验收一定是有区别的。
一个项目学习下来，学生的收获应该分为显性的和隐性的两种。显性收获，是对知识点的理解，和基本技能的掌握。隐性的收获是学习能力的提高，和学习欲望的提升。希望这种探究问题的习惯和思维方式会慢慢渗透内化到学生的认知行为中，在日后其他项目学习中、生活实践中会自觉地应用。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2011年版[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]巴克教育研究所.项目学习教师指南：21世纪的中学教学法：第2版[M]. 任伟， 译. 北京：教育科学出版社，2008.
[3]薛红霞.PBL下数学项目化实验教材的编写与实践[J].教育理论与实践，2016（8）：42-44.
[4]贾凤梅，薛红霞，常青.开展数学项目学习，身临其境理解销售问题[J].中国数学教育，2018（21）：3-6.