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摘要：本文作者结合自己在一线教学的经验，讨论了启发式教学在条件概率、事件的独立性概念讲解上的体现，给出了具体的实施方案。
关键词：启发式教学；条件概率；随机事件间的独立性
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）33-0161-02
一、引言
我国古代大教育家孔子曾论述：“不愤不启，不悱不发”，意指对教师来讲，应该通过自己的外因作用，调动起学生的内因的积极性。启发式教学，就是根据教学目的、内容、学生的知识水平和知识规律，运用各种教学手段，采用启发诱导办法传授知识、培养能力，使学生积极主动地学习，以促进身心发展。
对于我们三本经管类院校的学生，其数学基础相对薄弱，如何在学习数学时提高他们的学习积极性是至关重要的。而学习积极性在很大程度上和教师的主导作用有直接关系，因此在全课教学中进行启发式教学，提高学生学习积极性，从而全方位地提高学生的能力。启发式教学对于教师的要求就是引导转化，把知识转化为学生的具体知识，再进一步把学生的具体知识转化为能力。教师的主导作用就表现在这两个转化上，引导是转化的关键。下面我以《概率论与数理统计》中的条件概率、随机事件相互独立的概念的讲解为例，为大家介绍一下我平时在课堂中是如何运用启发式教学法的。
二、教学目标
在教师的引导下，学生们通过自己的演绎推理出条件概率的定义式，进而看透其本质，会应用它解决实际问题。随机事件间的独立，这里的“独立”和我们平时说的“独立”有何区别？通过教师的引导让学生把随机事件A、B间的独立性与概率等式P（AB）=P（A）P（B）等价起来，进而得出引入独立性数学定义的必要性。
三、授课模式
在指导学生学习的过程中，是“授之以鱼”还是“授之以渔”，每一位有远见的教师都会选择后一种答案。教师在授课过程中应逐步引导学生掌握解决问题的方式方法，让学生直接参与探索教学，充分发挥学生的主观能动性，开发学生的创新能力，使学生在学习中有成就感，这样有利于培养他们确立科学的态度和掌握科学的方法。就像我最喜欢的一句英文格言所说“I hear，I forget.I see，I remember.I do，I understand.”
我的做法是，在课堂上着重问题的创设，提供氛围，让学生在实践活动中发现问题，着手解决问题，使学生成为学习的主人，教师则成为学生的“协作者”。
1.条件概率。
描述性定义：在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率，称为条件概率，记作P（BA）.
问题：条件概率P（BA）如何定义、计算？
引例1 请同学们思考如下问题：
抛掷一枚均匀的骰子，观察其出现点数的情况。设事件A为“偶数点出现”，事件B为“4点出现”。现在来求已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
求解：引导学生分析出已知和所求。
已知：样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}，B={4}.
所求：条件概率P（BA）.
再引导学生画出如下文氏图：
其中1是事件AB中的样本点个数，3是事件A中的样本点个数，而样本空间共包含6个样本点。到此处，同学们就很容易想到了古典概率的计算公式，可得出
由学生自己总结归纳出，只要在P（A）>0的条件下，上述式子中的头尾部分具有一般性，就可得到条件概率的数学定义：
定义1 设A，B是样本空间Ω中的两个事件，如果P（A）>0，那么在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P（BA）定义为
思考：你是否能写出在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P（AB）公式？
显然学生会得到如下定义：
设A，B是样本空间Ω中的两个事件，如果P（B）>0，那么在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P（AB）定义为P（AB）=.
2.两个事件间的独立性。
描述性定义：两个事件A和B相互独立，直观含义是指事件A和B在发生可能性（概率）上相互没有影响。
问题：如何定量描述事件A和B在概率上相互没有影响？
此处提醒学生注意“相互”二字，所以考虑两个方面：
①“在概率上，事件A不影响事件B”，等价于说，P（BA）=P（B）.
结合上面学习的条件概率定义得P（BA）=P（B）？圳P（AB）=P（A）P（B）.
②“在概率上，事件B不影响事件A”，等价于说，P（AB）=P（A）.
结合上面学习的条件概率定义得P（AB）=P（A）？圳P（AB）=P（A）P（B）.
思考：由上述两个方面我们得到什么结论呢？
事件相互独立的数学定义：设A和B是任意两个随机事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A和B相互独立，简称独立。
此处举个例子，来熟悉应用一下该定义：
例 考察抛掷两枚均匀骰子的试验，记事件A为“第一枚点数为4”，事件B为“第二枚点数为3”，请判断 A和B是否独立？
本题利用古典概率和独立性定义很容易得出结论，A和B是相互独立的。但是有同学会发出这样的疑问：老师，我们从自己的经验也能知道A和B是相互独立的，为什么还用这样的概率等式去验证呢？为消除学生的疑问，我又在本题的基础上加上一问：记事件 C为“两枚点数之和为7”，判断A和C是否独立？通过这一问的解决，学生自己会意识到直观经验有时会误导我们，从而理解了随机事件的独立性及引入其严格的数学定义的必要性。
对一些学习能力、基础比较弱的学生，以引导为主，通过引导，来掌握一些上课时不容易掌握的内容，不让他们失去学习的兴趣，并通过一些启发激发他们更好地学习这门课程，变被动的“灌输”式为主动的“汲取”式。
现代教育思想明确指出：“最有效的学习方法就是让学生在体验和创造的过程中学习”。教学，是要通过教师的工作使学生爱学、会学。学生的学习是否有学习积极性非常重要，启发式教学的关键就是调动学生的学习积极性。
参考文献：
[1]茆诗松，周纪芗.概率论与数理统计[M].北京：中国统计出版社，1999.
[2]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008.
关键词：启发式教学；条件概率；随机事件间的独立性
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）33-0161-02
一、引言
我国古代大教育家孔子曾论述：“不愤不启，不悱不发”，意指对教师来讲，应该通过自己的外因作用，调动起学生的内因的积极性。启发式教学，就是根据教学目的、内容、学生的知识水平和知识规律，运用各种教学手段，采用启发诱导办法传授知识、培养能力，使学生积极主动地学习，以促进身心发展。
对于我们三本经管类院校的学生，其数学基础相对薄弱，如何在学习数学时提高他们的学习积极性是至关重要的。而学习积极性在很大程度上和教师的主导作用有直接关系，因此在全课教学中进行启发式教学，提高学生学习积极性，从而全方位地提高学生的能力。启发式教学对于教师的要求就是引导转化，把知识转化为学生的具体知识，再进一步把学生的具体知识转化为能力。教师的主导作用就表现在这两个转化上，引导是转化的关键。下面我以《概率论与数理统计》中的条件概率、随机事件相互独立的概念的讲解为例，为大家介绍一下我平时在课堂中是如何运用启发式教学法的。
二、教学目标
在教师的引导下，学生们通过自己的演绎推理出条件概率的定义式，进而看透其本质，会应用它解决实际问题。随机事件间的独立，这里的“独立”和我们平时说的“独立”有何区别？通过教师的引导让学生把随机事件A、B间的独立性与概率等式P（AB）=P（A）P（B）等价起来，进而得出引入独立性数学定义的必要性。
三、授课模式
在指导学生学习的过程中，是“授之以鱼”还是“授之以渔”，每一位有远见的教师都会选择后一种答案。教师在授课过程中应逐步引导学生掌握解决问题的方式方法，让学生直接参与探索教学，充分发挥学生的主观能动性，开发学生的创新能力，使学生在学习中有成就感，这样有利于培养他们确立科学的态度和掌握科学的方法。就像我最喜欢的一句英文格言所说“I hear，I forget.I see，I remember.I do，I understand.”
我的做法是，在课堂上着重问题的创设，提供氛围，让学生在实践活动中发现问题，着手解决问题，使学生成为学习的主人，教师则成为学生的“协作者”。
1.条件概率。
描述性定义：在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率，称为条件概率，记作P（BA）.
问题：条件概率P（BA）如何定义、计算？
引例1 请同学们思考如下问题：
抛掷一枚均匀的骰子，观察其出现点数的情况。设事件A为“偶数点出现”，事件B为“4点出现”。现在来求已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
求解：引导学生分析出已知和所求。
已知：样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}，B={4}.
所求：条件概率P（BA）.
再引导学生画出如下文氏图：
其中1是事件AB中的样本点个数，3是事件A中的样本点个数，而样本空间共包含6个样本点。到此处，同学们就很容易想到了古典概率的计算公式，可得出
由学生自己总结归纳出，只要在P（A）>0的条件下，上述式子中的头尾部分具有一般性，就可得到条件概率的数学定义：
定义1 设A，B是样本空间Ω中的两个事件，如果P（A）>0，那么在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P（BA）定义为
思考：你是否能写出在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P（AB）公式？
显然学生会得到如下定义：
设A，B是样本空间Ω中的两个事件，如果P（B）>0，那么在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P（AB）定义为P（AB）=.
2.两个事件间的独立性。
描述性定义：两个事件A和B相互独立，直观含义是指事件A和B在发生可能性（概率）上相互没有影响。
问题：如何定量描述事件A和B在概率上相互没有影响？
此处提醒学生注意“相互”二字，所以考虑两个方面：
①“在概率上，事件A不影响事件B”，等价于说，P（BA）=P（B）.
结合上面学习的条件概率定义得P（BA）=P（B）？圳P（AB）=P（A）P（B）.
②“在概率上，事件B不影响事件A”，等价于说，P（AB）=P（A）.
结合上面学习的条件概率定义得P（AB）=P（A）？圳P（AB）=P（A）P（B）.
思考：由上述两个方面我们得到什么结论呢？
事件相互独立的数学定义：设A和B是任意两个随机事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A和B相互独立，简称独立。
此处举个例子，来熟悉应用一下该定义：
例 考察抛掷两枚均匀骰子的试验，记事件A为“第一枚点数为4”，事件B为“第二枚点数为3”，请判断 A和B是否独立？
本题利用古典概率和独立性定义很容易得出结论，A和B是相互独立的。但是有同学会发出这样的疑问：老师，我们从自己的经验也能知道A和B是相互独立的，为什么还用这样的概率等式去验证呢？为消除学生的疑问，我又在本题的基础上加上一问：记事件 C为“两枚点数之和为7”，判断A和C是否独立？通过这一问的解决，学生自己会意识到直观经验有时会误导我们，从而理解了随机事件的独立性及引入其严格的数学定义的必要性。
对一些学习能力、基础比较弱的学生，以引导为主，通过引导，来掌握一些上课时不容易掌握的内容，不让他们失去学习的兴趣，并通过一些启发激发他们更好地学习这门课程，变被动的“灌输”式为主动的“汲取”式。
现代教育思想明确指出：“最有效的学习方法就是让学生在体验和创造的过程中学习”。教学，是要通过教师的工作使学生爱学、会学。学生的学习是否有学习积极性非常重要，启发式教学的关键就是调动学生的学习积极性。
参考文献：
[1]茆诗松，周纪芗.概率论与数理统计[M].北京：中国统计出版社，1999.
[2]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008.