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运用Kloosterman和、特征和以及三角和的一些基本性质和估计得到了 k-free数与其逆的差的一个渐近公式。并且证明了：当 k ≥2，m ≥2，n ＞2，n ∈ N，k ∈ N，m ∈ N，ε＞0时， M（n ，m；k）＝2φ（n）nmζ2（k）（m＋1）（m＋2）＋ O（2mnm＋1/2＋2/（k＋1）＋2εd（n）σ-1/2（n）σ（n））。特别是当k ＝2时，有无平方因子数与其逆的差：M（n ，m；2）＝72φ（n）nmπ4（m＋1）（m＋2）＋ O（2mnm＋1/2＋2/（k＋1）＋2εd（