摘 要：本文主要是对机器人在一个平面区域内的通过不同障碍物到指定目标点进行研究，首先通过机器人与障碍物的最小安全距离对不同障碍物的禁区进行了划分，把障碍物划分为有顶点和无顶点两大类。然后证明了机器人在障碍物顶点处转弯路径最优，转弯半径最小路径最优，转弯圆心在障碍物顶点处（圆行障碍物在圆心）路径最优。
　　关键词：机器人；避障；单目标点
　　把机器人的行进路线看成一根有弹性的绳子，根据实际情况我们推论：禁区顶点处变向路径最小，转弯半径最小路径最短，转弯弧圆心在顶点路径最短。
　　1.禁区划分
　　由于机器人行进过程中与障碍物有最小距离的限制，因此我们先画出包络障碍物的禁区，对于有圆形障碍物来说，禁区还是一个圆，对于有顶点的障碍物来说禁区拐角处为一个圆弧，具体如图1：
　　图1 禁区示意图
　　2.障碍物有顶点
　　2.1禁区顶点变向路径最小
　　如下图2所示，机器人从指定的A点到C点，需要进行变向，从图形可以看出来，在禁区边缘变向总路径会最小，下面我们进行证明：
　　图2 禁区顶点处变向图
　　假设D点为禁区顶点，先不考虑转弯半径等因素，其中B为禁区外任意一点，AD变延长线交BC于E点。由三角形的任意两边之和大于第三边可以得到：
　　AB+BE>AD+DE
　　EC+DE>DC
　　两式相加得到：
　　AB+BE+EC+DE>AD+DE+DC
　　化简得到：
　　AB+BC>AD+DC
　　即，由A点到B点，选择在顶点D处转向，总路径最短。推论得证。
　　2.2转弯半径最小路径最短
　　机器人从A点到B点需要绕过禁区，在禁区顶点附近（前面已证）转弯。选择的转弯半径越小，得到的路径越短。下面从物理学的角度进行证明：
　　如下图3所示，将A到B的路径看做一条可伸缩的绳子。假设其两点相连时，绳子自然伸長。如线段AB。由于机器人要绕过禁区，因此拉长绳子绕过禁区，又因为机器人有最小转弯半径为10，禁区直径也为10，因此可以把绳子直接绕过禁区边缘。
　　由于绳子的弹性势能EP与伸长量ΔL的关系为：
　　EP=12kΔL2
　　因此绳子伸长量最小时，路径最短。
　　图3 机器人过障碍转弯半径
　　根据最小势能原理[1]可知，当弹性体平衡时，系统势能最小。即弹性体在自由条件下，有由高势能向低势能转化的趋势。现在将圆环看成也有弹性，在如图所示的条件下为初始状态。圆环受力如图所示，此时圆环有缩小的趋势，随着圆环的缩小系统趋于平衡，弹性绳有最小势能。由能量守恒也可以说明，绳子的弹性势能转化为弹性圆环的弹性势能，于是弹性绳的弹性势能减小。
　　因此，随着圆环的半径的减小，绳子的势能减小，即最短路径变短。所以最小转弯半径最小路径最短得证。
　　2.3结论分析
　　结合2.1、2.2证明得到结论：
　　机器人过有顶点的障碍物时，沿以顶点为圆心，最小转弯半径为半径的圆弧转弯路径最短，即机器人沿禁区边缘转弯路径最短。（作者单位：1.大连理工大学机械工程学院2012级，2.大连理工大学化工与环境生命学部2014级，3.大连理工大学机械工程学院2012级，4.湖南省怀化市气象局）
　　参考文献：
　　[1] 姜启源，谢金星.数学建模[M].北京：高等教育出版社，2003.
　　[2] 吴涛.移动机器人避障与路径规划研究[D].华中科技大学，2004.