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[摘要]微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础。微积分课程是经济管理各专业的学科基础课，它为各专业人才提供了必要的方法和工具，本文通过对微积分教学方法进行深入的探讨，结合实例提出微积分教学方法的几点见解。
[关键词]微积分 经济管理 教学方法 实例
一、引言
微积分是经济管理各专业的学科基础课，它为各专业人才对知识组织、构造与发展提供了必要的方法和工具，并训练人才理性的、综合的、科学的思考、分析和解决问题，是专业人才可持续发展的重要基础。通过学习微积分课程，让学生掌握微积分的基本理论、基本方法及其应用，着重提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生牢固的逻辑思维习惯，掌握全面考虑问题的方法，为学生顺利地学习其他专业理论课打下坚实的基础。基于此宗旨，作为一名经管类微积分教师如何教好这门课是关键，本文对微积分教学方法进行深入的探讨，结合实例提出微积分教学方法的几点见解。
二、认识微积分的重要性，培养浓厚的学习兴趣。
目前，不少经济管理类学生认为学数学没有用，认为数学太抽象，高不可攀，从而对数学望而生畏，学习的积极性不高，影响了学习效果。所以教师一开始就应该让学生认识到数学与自己所学专业是息息相关的，经济是依赖数学而存在的，数学是一切科学的共同语言，是一把打开科学大门的钥匙，是一种思维的工具。马克思曾说“一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。”在现代信息社会，数学与经济的结合日益密切，无数经济问题需要数学来解决，大多数诺贝尔经济学奖的获得者，都是靠着深厚的数学功底在经济学研究上有所突破的。这样，才能让学生充分认识到学习微积分的重要性，从而培养浓厚的学习兴趣。
三、从历史背景引入微积分教学。
微积分学是数学的一个基础分支学科，源于代数与几何。微积分的诞生是数学史上的分水岭和转折点[1]。微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一。恩格斯曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。”微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确的世界观、科学的方法论，以及对人们进行文化熏陶的极好素材[2]。在讲微积分内容之前可以先把微积分的历史背景和发展介绍清楚，从历史背景引入微积分教学，这能激发学生强烈的兴趣。同时可以结合多媒体插入历史上对数学有杰出贡献的伟大数学家的简介，从他们身上既能管窥近代数学发展的基本过程，又能领略数学家坚忍不拔地追求真理的人格魅力和科学精神。一般认为微积分的创始人是古希腊的阿基米德和17世纪的莱布尼茨和牛顿。积分学的工作由求面积开始，早在古希腊时期，阿基米德就求过抛物线下的方形面积。而牛顿和莱布尼茨对微积分都做出了巨大貢献, 牛顿是在力学研究的基础上, 运用几何方法研究微积分的; 莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上, 运用分析学方法引进微积分要领的，虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异, 但殊途同归,各自独立地完成了创建微积分的盛业。应该指出，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础,才使微积分进一步的发展开来[3]。
四、结合目录，综合讲述微积分教学内容及内容间的关系。
目录是每门课程的框架，它概括了这门课要讲的内容及内容之间的关系。函数是微积分的主要研究对象，极限是研究变量变化趋势的基本工具，极限方法是微积分的基本分析方法，连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上。数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学。微分学与积分学统称为微积分学，微分与积分互为逆运算。通过对目录的介绍，让学生对微积分所学内容有个整体的认识，也让学生体会到微积分学整个理论体系的连贯和完整。
五、重视概念的讲解
概念是数学的基石，是数学思维的基础，对概念的理解是促成数学理解很关键的环节。因此对概念的理解和掌握在数学学习中占有十分重要的位置。[4]
（一）注意概念的引入
微积分中的许多概念都是从大量实际问题中抽象出来的共性的数学本质，有着良好的几何、物理背景。教学时，可以通过利用概念来源的实际背景，自然地引出概念。例如，极限的思想是由于求某些实际问题的精确解而产生的。我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。春秋战国时期的哲学家庄子对“截丈问题”有一段名言：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想。这些实际背景都可以通过多媒体展现给学生，从而引入极限概念。接下来讲数列极限概念时可以借助多媒体课件凭借几何图形先用文学语言做出定性的描述，因为经济管理类的学生更善于直观思维。以数列 为例，直观上看，当n“无限增大”时，数列 “无限”趋近于常数1，则称该数列以1为极限，记为 。这是极限的定性描述，有助于学生直观的理解极限概念。但是只有极限的定性描述是不够的，借助形容词“无限”加以修饰n的变化过程及数列的变化趋势，虽然从文学角度来审视，可谓尽善尽美，然而从数学的角度来审视，它明显带有直觉的模糊性[5]。所以必须引入极限的定量描述。可以通过提问方式带领学生一步步从定性描述过渡到定量描述。例如“无限趋近于常数1”如何刻画？回答是可以用“与1的距离无限小”来刻画，“距离”在数学上用“绝对值”来表示，所以用 可以任意小，小于任意给定的正数ε来表示，从而引入极限的定量描述即“ε-N”定义。
（二）注意概念的推广及概念间的比较
例如数列可看作自变量为正整数n的函数，所以从数列极限概念可以推广出函数极限的一般概念。同时要注意数列的极限及自变量趋于无穷大时函数的极限的比较。数列的极限是描述函数当自变量 跳跃式地按1，2，3，…n…的顺序无限变大时其函数值的变化趋势，而自变量趋于无穷大时函数的极限与数列的极限类似，所不同的是，这里的自变量 是实数，它可正可负且连续变化。
（三）注意概念中的细节，强调概念的前提条件
概念中的前提条件是学生最容易忽略的地方，也是最容易出错的地方，所以要强调前提条件。例如讲无穷小量的性质时，一定要强调在同一变化过程中的无穷小量；在讲极限的四则运算时要强调变量的极限都存在的前提条件下，才能用极限的四则运算法则进行运算。
六、加强微积分在经济学中的应用
对于经济管理类学生而言，学习数学的理论和方法，主要是为了解决经济管理方面的问题。在微积分教学中，要注重联系经管类专业实际，多选取典型的经济例题阐述微积分在经济管理中的应用，使学生初步学会经济分析中的定量分析方法。教导学生如何利用数学工具解决经济问题。用数学方法解决实际问题，首先要构建该问题的数学模型，即找出该问题的函数关系。所以在讲函数时，就可以介绍常用的经济函数，如成本函数、收入函数、利润函数、需求函数、供给函数等。在讲导数时，要重视讨论导数概念在经济学中的应用，即边际分析和弹性分析。边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析方法，是经济理论中的一个重要分析方法。学生通过学习边际成本，边际收入与边际利润等边际函数，可以推出一些重要的结论，例如利润最大的必要条件是边际收益等于边际成本，又如当边际成本等于平均成本时，平均成本达到最小。在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率，而弹性则是研究函数的相对改变量与相对变化率，通过学习需求对价格的弹性，可以结合例题引导学生用需求弹性分析总收益的变化，让学生学会利用边际与弹性分析相关经济问题。通过这些经济应用例题的学习，既可以让学生提高对知识的应用能力，又能使学生深刻体会到微积分在经济管理专业中的作用，从而激发了学生的学习兴趣与学习积极性。
七、重视习题课的教学
每章节结束后要重视习题课的教学，教师讲习题课之前可以先布置一些习题让学生思考，习题可以分层设计，由易到难，便于学生逐步加深对知识的理解。习题课讲解时要注意结合典型的例题对知识与解题方法进行总结，归类并启发学生一题多解，以指导学生迅速掌握本章的重点和难点，巩固所学知识。
八、小结
总之，教师在教学过程中要注重对学生基础知识的传授和基本能力的培养。根据经管类学生的特点，灵活运用各种教学方法与教学手段，让学生在掌握微积分基本理论、基本方法的基础上，提高分析问题和解决问题的能力，为学生顺利地学习其他专业理论课打下坚实的基础。
[参考文献]
[1]邢妍，微积分中数学语言的时序性，保山师专学报，2009年9月
[2]吴赣昌.微积分[M].北京:中国人民大学出版社,2009.
[3]李秀梅,《高等数学》教学中的思考, 改革与创新
[4]田雪玲 彭建萍, 高等数学概念教学手段探析, 牡丹江大学学报,2009 年11 月
[5]刘晓斌，向子贵.经济数学基础.汕头：汕头大学出版社，2004.6
（作者单位：广东商学院 数学与计算科学学院 广东广州）
[关键词]微积分 经济管理 教学方法 实例
一、引言
微积分是经济管理各专业的学科基础课，它为各专业人才对知识组织、构造与发展提供了必要的方法和工具，并训练人才理性的、综合的、科学的思考、分析和解决问题，是专业人才可持续发展的重要基础。通过学习微积分课程，让学生掌握微积分的基本理论、基本方法及其应用，着重提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生牢固的逻辑思维习惯，掌握全面考虑问题的方法，为学生顺利地学习其他专业理论课打下坚实的基础。基于此宗旨，作为一名经管类微积分教师如何教好这门课是关键，本文对微积分教学方法进行深入的探讨，结合实例提出微积分教学方法的几点见解。
二、认识微积分的重要性，培养浓厚的学习兴趣。
目前，不少经济管理类学生认为学数学没有用，认为数学太抽象，高不可攀，从而对数学望而生畏，学习的积极性不高，影响了学习效果。所以教师一开始就应该让学生认识到数学与自己所学专业是息息相关的，经济是依赖数学而存在的，数学是一切科学的共同语言，是一把打开科学大门的钥匙，是一种思维的工具。马克思曾说“一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。”在现代信息社会，数学与经济的结合日益密切，无数经济问题需要数学来解决，大多数诺贝尔经济学奖的获得者，都是靠着深厚的数学功底在经济学研究上有所突破的。这样，才能让学生充分认识到学习微积分的重要性，从而培养浓厚的学习兴趣。
三、从历史背景引入微积分教学。
微积分学是数学的一个基础分支学科，源于代数与几何。微积分的诞生是数学史上的分水岭和转折点[1]。微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一。恩格斯曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。”微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确的世界观、科学的方法论，以及对人们进行文化熏陶的极好素材[2]。在讲微积分内容之前可以先把微积分的历史背景和发展介绍清楚，从历史背景引入微积分教学，这能激发学生强烈的兴趣。同时可以结合多媒体插入历史上对数学有杰出贡献的伟大数学家的简介，从他们身上既能管窥近代数学发展的基本过程，又能领略数学家坚忍不拔地追求真理的人格魅力和科学精神。一般认为微积分的创始人是古希腊的阿基米德和17世纪的莱布尼茨和牛顿。积分学的工作由求面积开始，早在古希腊时期，阿基米德就求过抛物线下的方形面积。而牛顿和莱布尼茨对微积分都做出了巨大貢献, 牛顿是在力学研究的基础上, 运用几何方法研究微积分的; 莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上, 运用分析学方法引进微积分要领的，虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异, 但殊途同归,各自独立地完成了创建微积分的盛业。应该指出，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础,才使微积分进一步的发展开来[3]。
四、结合目录，综合讲述微积分教学内容及内容间的关系。
目录是每门课程的框架，它概括了这门课要讲的内容及内容之间的关系。函数是微积分的主要研究对象，极限是研究变量变化趋势的基本工具，极限方法是微积分的基本分析方法，连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上。数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学。微分学与积分学统称为微积分学，微分与积分互为逆运算。通过对目录的介绍，让学生对微积分所学内容有个整体的认识，也让学生体会到微积分学整个理论体系的连贯和完整。
五、重视概念的讲解
概念是数学的基石，是数学思维的基础，对概念的理解是促成数学理解很关键的环节。因此对概念的理解和掌握在数学学习中占有十分重要的位置。[4]
（一）注意概念的引入
微积分中的许多概念都是从大量实际问题中抽象出来的共性的数学本质，有着良好的几何、物理背景。教学时，可以通过利用概念来源的实际背景，自然地引出概念。例如，极限的思想是由于求某些实际问题的精确解而产生的。我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。春秋战国时期的哲学家庄子对“截丈问题”有一段名言：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想。这些实际背景都可以通过多媒体展现给学生，从而引入极限概念。接下来讲数列极限概念时可以借助多媒体课件凭借几何图形先用文学语言做出定性的描述，因为经济管理类的学生更善于直观思维。以数列 为例，直观上看，当n“无限增大”时，数列 “无限”趋近于常数1，则称该数列以1为极限，记为 。这是极限的定性描述，有助于学生直观的理解极限概念。但是只有极限的定性描述是不够的，借助形容词“无限”加以修饰n的变化过程及数列的变化趋势，虽然从文学角度来审视，可谓尽善尽美，然而从数学的角度来审视，它明显带有直觉的模糊性[5]。所以必须引入极限的定量描述。可以通过提问方式带领学生一步步从定性描述过渡到定量描述。例如“无限趋近于常数1”如何刻画？回答是可以用“与1的距离无限小”来刻画，“距离”在数学上用“绝对值”来表示，所以用 可以任意小，小于任意给定的正数ε来表示，从而引入极限的定量描述即“ε-N”定义。
（二）注意概念的推广及概念间的比较
例如数列可看作自变量为正整数n的函数，所以从数列极限概念可以推广出函数极限的一般概念。同时要注意数列的极限及自变量趋于无穷大时函数的极限的比较。数列的极限是描述函数当自变量 跳跃式地按1，2，3，…n…的顺序无限变大时其函数值的变化趋势，而自变量趋于无穷大时函数的极限与数列的极限类似，所不同的是，这里的自变量 是实数，它可正可负且连续变化。
（三）注意概念中的细节，强调概念的前提条件
概念中的前提条件是学生最容易忽略的地方，也是最容易出错的地方，所以要强调前提条件。例如讲无穷小量的性质时，一定要强调在同一变化过程中的无穷小量；在讲极限的四则运算时要强调变量的极限都存在的前提条件下，才能用极限的四则运算法则进行运算。
六、加强微积分在经济学中的应用
对于经济管理类学生而言，学习数学的理论和方法，主要是为了解决经济管理方面的问题。在微积分教学中，要注重联系经管类专业实际，多选取典型的经济例题阐述微积分在经济管理中的应用，使学生初步学会经济分析中的定量分析方法。教导学生如何利用数学工具解决经济问题。用数学方法解决实际问题，首先要构建该问题的数学模型，即找出该问题的函数关系。所以在讲函数时，就可以介绍常用的经济函数，如成本函数、收入函数、利润函数、需求函数、供给函数等。在讲导数时，要重视讨论导数概念在经济学中的应用，即边际分析和弹性分析。边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析方法，是经济理论中的一个重要分析方法。学生通过学习边际成本，边际收入与边际利润等边际函数，可以推出一些重要的结论，例如利润最大的必要条件是边际收益等于边际成本，又如当边际成本等于平均成本时，平均成本达到最小。在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率，而弹性则是研究函数的相对改变量与相对变化率，通过学习需求对价格的弹性，可以结合例题引导学生用需求弹性分析总收益的变化，让学生学会利用边际与弹性分析相关经济问题。通过这些经济应用例题的学习，既可以让学生提高对知识的应用能力，又能使学生深刻体会到微积分在经济管理专业中的作用，从而激发了学生的学习兴趣与学习积极性。
七、重视习题课的教学
每章节结束后要重视习题课的教学，教师讲习题课之前可以先布置一些习题让学生思考，习题可以分层设计，由易到难，便于学生逐步加深对知识的理解。习题课讲解时要注意结合典型的例题对知识与解题方法进行总结，归类并启发学生一题多解，以指导学生迅速掌握本章的重点和难点，巩固所学知识。
八、小结
总之，教师在教学过程中要注重对学生基础知识的传授和基本能力的培养。根据经管类学生的特点，灵活运用各种教学方法与教学手段，让学生在掌握微积分基本理论、基本方法的基础上，提高分析问题和解决问题的能力，为学生顺利地学习其他专业理论课打下坚实的基础。
[参考文献]
[1]邢妍，微积分中数学语言的时序性，保山师专学报，2009年9月
[2]吴赣昌.微积分[M].北京:中国人民大学出版社,2009.
[3]李秀梅,《高等数学》教学中的思考, 改革与创新
[4]田雪玲 彭建萍, 高等数学概念教学手段探析, 牡丹江大学学报,2009 年11 月
[5]刘晓斌，向子贵.经济数学基础.汕头：汕头大学出版社，2004.6
（作者单位：广东商学院 数学与计算科学学院 广东广州）