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乘法公式是在多项式乘法的基础上,将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性又有实用性的具体结论.在数学中乘法公式好似一位神奇的魔术师,施展着“魔力”让数学趣味无穷.下面就让我们走进乘法公式的神奇世界,体验一下乘法公式“变形记”.
一、 拆拆巧“变形”
例1 计算992-100×98.
【分析】将100写为99+1,98写为99-1,恰好可以用平方差公式计算.
解: 992-100×98
=992-(99+1)(99-1)
=992-(992-1)
=1.
【点评】用乘法公式计算,首先要把需要计算的算式写成乘法公式的形式,一般地,给出的算式是可以写成公式所要求的形式的,可以利用乘法公式能简化计算.
【请你尝试】计算20■×19■;10.2×9.8-10.12.
例2 若a2+2a+b2-6b+10=0 ,求a,b的值.
【分析】拆项,将10拆成1+9两项,原多项式配方为(a2+2a+1)+(b2-6b+9),括号里的两个因式都是完全平方式,分别根据完全平方和、差公式分解因式;再利用完全平方式a2≥0的性质解答,即若A2+B2=0,则有A=0且B=0.
解:因为a2+2a+b2-6b+10=0,
所以(a2+2a+1)+(b2-6b+9)=0,即(a+1)2+(b-3)2=0.
则a+1=0,b-3=0.所以a=-1,b=3.
【请你尝试】若m2+n2-6n+4m+13=0,求m2-n2的值.
二、 添添也能行
1. 添括号
例3 计算:(a+b+5)(a-b-5).
【分析】前后两个因式中所含的项仅仅是符号不同,于是可以通过添括号将其变形为平方差公式的形式.
解:原式=[a+(b+5)][a-(b+5)]
=a2-(b+5)2
=a2-b2-10b-25.
【请你尝试】计算:(a-b+c-d)(a+b+c+d).
2. 添项
例4 计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)-216.
【分析】本题前面的连乘中后一个因式恰好是前一个因式里两个数的平方和,针对这一特点,只要在连乘因式前面添上(2-1)即可连续使用平方差公式.
解: (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)-216
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)-216
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)-216
=(24-1)(24+1)(28+1)-216
=(28-1)(28+1)-216
=(216-1)-216
=-1.
【请你尝试】计算:(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)(716+1)(732+1).
三、 根据条件来变形
例5 已知a2-3a+1=0,求:(1) a+a-1;(2) a2+a-2.
【分析】将a2-3a+1=0进行变形,可求出a+a-1的值,然后逆用完全平方公式,可得出各个代数式的值.
解:因为a2-3a+1=0,且a≠0,所以a2+1=3a.
故a+a-1=3,a2+a-2=(a+a-1)2-2=7.
【请你尝试】已知a2-3a+1=0,求a4+a-4 的值.
四、 借用字母巧变形
例6 若x=123 456 789×123 456 786,y=123 456 788×123 456 787,试比较x、y的大小.
【分析】通过观察发现,x、y的各个因数都在123 456 788附近“徘徊”,不妨设123 456 788=a,则123 456 789=a+1,123 456 786=a-2,123 456 787=a-1.
解:设123 456 788=a,那么x=(a+1)(a-2)=a2-a-2,y=a(a-1)=a2-a.
因为x-y=(a2-a-2)-(a2-a)=-2<0,所以x 【请你尝试】
1. 用以上的方法比较x=1.345×0.345×2.69,y=1.3453-1.345×0.3452的大小.
2. 已知M=2 010×2 012+4,N=2 0102-2 010×2 012+2 0122,请判断M、N的大小关系.
一、 拆拆巧“变形”
例1 计算992-100×98.
【分析】将100写为99+1,98写为99-1,恰好可以用平方差公式计算.
解: 992-100×98
=992-(99+1)(99-1)
=992-(992-1)
=1.
【点评】用乘法公式计算,首先要把需要计算的算式写成乘法公式的形式,一般地,给出的算式是可以写成公式所要求的形式的,可以利用乘法公式能简化计算.
【请你尝试】计算20■×19■;10.2×9.8-10.12.
例2 若a2+2a+b2-6b+10=0 ,求a,b的值.
【分析】拆项,将10拆成1+9两项,原多项式配方为(a2+2a+1)+(b2-6b+9),括号里的两个因式都是完全平方式,分别根据完全平方和、差公式分解因式;再利用完全平方式a2≥0的性质解答,即若A2+B2=0,则有A=0且B=0.
解:因为a2+2a+b2-6b+10=0,
所以(a2+2a+1)+(b2-6b+9)=0,即(a+1)2+(b-3)2=0.
则a+1=0,b-3=0.所以a=-1,b=3.
【请你尝试】若m2+n2-6n+4m+13=0,求m2-n2的值.
二、 添添也能行
1. 添括号
例3 计算:(a+b+5)(a-b-5).
【分析】前后两个因式中所含的项仅仅是符号不同,于是可以通过添括号将其变形为平方差公式的形式.
解:原式=[a+(b+5)][a-(b+5)]
=a2-(b+5)2
=a2-b2-10b-25.
【请你尝试】计算:(a-b+c-d)(a+b+c+d).
2. 添项
例4 计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)-216.
【分析】本题前面的连乘中后一个因式恰好是前一个因式里两个数的平方和,针对这一特点,只要在连乘因式前面添上(2-1)即可连续使用平方差公式.
解: (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)-216
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)-216
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)-216
=(24-1)(24+1)(28+1)-216
=(28-1)(28+1)-216
=(216-1)-216
=-1.
【请你尝试】计算:(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)(716+1)(732+1).
三、 根据条件来变形
例5 已知a2-3a+1=0,求:(1) a+a-1;(2) a2+a-2.
【分析】将a2-3a+1=0进行变形,可求出a+a-1的值,然后逆用完全平方公式,可得出各个代数式的值.
解:因为a2-3a+1=0,且a≠0,所以a2+1=3a.
故a+a-1=3,a2+a-2=(a+a-1)2-2=7.
【请你尝试】已知a2-3a+1=0,求a4+a-4 的值.
四、 借用字母巧变形
例6 若x=123 456 789×123 456 786,y=123 456 788×123 456 787,试比较x、y的大小.
【分析】通过观察发现,x、y的各个因数都在123 456 788附近“徘徊”,不妨设123 456 788=a,则123 456 789=a+1,123 456 786=a-2,123 456 787=a-1.
解:设123 456 788=a,那么x=(a+1)(a-2)=a2-a-2,y=a(a-1)=a2-a.
因为x-y=(a2-a-2)-(a2-a)=-2<0,所以x
1. 用以上的方法比较x=1.345×0.345×2.69,y=1.3453-1.345×0.3452的大小.
2. 已知M=2 010×2 012+4,N=2 0102-2 010×2 012+2 0122,请判断M、N的大小关系.