强化类比思想,提升数学素养

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  【内容摘要】所谓类比思想就是新旧知识之间的联系,以及新旧知识之间的对比。高中的数学,更加侧向于数学思想的学习,它是引导学生们正确解题的指南针,很大程度上帮助学生们回忆旧知识,加深对新知识的理解。因此,教师在教学的过程中就要不断地给学生们渗透类比的思想,用类比思想帮助学生们打开思维之门,感受到收获的喜悦!
  【关键字】高中数学 类比思想 数学素养
  高中生对于数学的学习有了深层次的理解,但是他们往往在快速的学习环境下,忽略对数学思想的解读,导致只会解决常规题,稍作变化,就会没有思路,这都是因为脑海中不具备优秀的数学思想。本文将从类比思想的角度,开拓学生的思维,有效地解决问题,挖掘类比思想的本质,从而提高课堂的效率,不断地培养学生的创造性,使得学生的数学素养得以提升。
  一、类比概念,探寻属性
  “概念”是数学学习的先行者,学生们只有反复推敲概念,才能理解与吸收,都说数学具有很强的严谨性和抽象性,那么“概念”就是其最好的诠释。而数学知识点之间具有着不断地联系,一环扣一环。因此,教师在教学“概念”的时候,合理地运用类比的思想,将有效地帮助学生们理解概念,并且引导学生们将概念进行比较,挖掘其属性,类比出相同与相异之处,使得知识的学习更有条理。
  在学习到“平面与平面的位置关系”这一节时,教师要想让学生们理解二面角的概念,首先可以引导学生们去回忆“角”的概念,接着引导学生们将“角”的概念与“二面角”的概念进行类比,顺时地引出二面角的学习。学生们经过对比知道了“二面角”就是从空间的一条直线出发的两个半平面所组成的图形,与“角”既有相同也有不同之处。学生们反馈出自己得出的信息:在表示上,“角”常常用∠AOB表示;“二面角”常常用α-l-β表示,α与β表示相交的两个平面,l是两个平面之间的交线。通过将角的概念与二面角的概念进行对比,学生们充分地理解了二面角的概念,可见,类比的数学思想,是新旧知识之间的一座桥梁,教师在教学的过程中,要假设好这座桥梁,帮助学生们突破思维的障碍,在新旧知识之间建立好联系,巧妙地利用类比的思想去解题。
  二、新旧类比,温故而知新
  古人云:“温故而知新,可以为师矣”。教师在教学过程中,要有意识地引导学生将新旧知识进行类比,拓展学生的思路,打开学生的思维,培养学生的创造性学习能力,用旧知识去引出新知识的学习,可以收获到事半功倍的效果,有利于提升学生的数学素养!
  在教学到“等比数列”这一课时,为了让学生们理清等差数列与等比数列这两种数列之间的联系,怎样能更加灵活地运用数列的性质进行解题,于是将等差数列与等比数列进行类比,在巩固旧知识的同时学习新知识,给学生们设计了如下的一道题:
  若{an}与{bn}均为等比数列,试研究:{an bn}与{anbn}是否为等比数列。对于这道题,已知an=a1q1n,bn=b1q2n,学生们就可以进一步得到所要判断的新数列的通项公式,利用等比数列的性质,
  (qc为非零常数),那么学生们就判断出对于{an bn},当q1=q2时,{an bn}为等比数列,当q1≠q2时,{an bn}不是等比数列;对于{anbn},該数列为等比数列,并且公比为q1q2。接着,让学生们类比此道题,针对等差数列提出相应的真命题,于是学生们根据等差数列的通项公式,巧妙地得出:已知{an}、{bn}为等差数列,则有an bn= a1 b1 (n-1)(d1 d2),那么{an bn}就是等差数列,公差为d1 d2;针对{anbn},当d1与d2中至少一个为零时,{anbn}为等差数列,当d1与d2都不为零时,{anbn}一定不是等差数列。通过新旧知识的类比,加深了对等比数列的认知。
  在以上的教学中,让学生们通过类比的思想,成功地分析了并解决了问题,并且让等差数列的知识得到复习与巩固。
  三、类比条件,掌握规律
  教师在教学的过程中,要充分地运用好类比的思想。通过对类比思想的使用,可以帮助学生们提高解决问题的能力。在解题的过程中,教师可以将不同的条件进行类比,引导着学生探索与认真的规律,提高分析与解决问题的能力。
  在讲解到“基本不等式”时,首先引导学生们去推导基本不等式,如果a>0,b>0,因为(a-b)2≥0,故a2 b2≥2ab,于是有(a b)2=a2 b2 2ab≥4ab,开根号有a b≥ (当且仅当a=b时等号成立)。接着,改变题目的条件,若a>0,b>0,c>0,让学生们根据刚刚的推导过程,重新推导出a、b、c三个变量之间的关系。于是学生们聪明地发现,若a>0,b>0,c>0,有(a b c)≥ (当且仅当a=b=c时等号成立)。于是根据以上的两个结论,再次让学生们思考:若a1>0,a2>0,a3>0,a4>0,…,an>0时,是否还存在着类似的关系。学生们思考完之后,通过类比得出了(a1 a2 a3 a4 … an)≥ (当且仅当a1=a2= a3=…an时等号成立)。于是学生们通过类比,掌握了其中的规律。
  在本道题中,通过类比的条件去引导学生们不同情况下问题的结论,发现了其中的规律,同时,通过类比的思想,提升了学生的联想能力,以及思维的发散性,使得学生的数学水平有了进一步的提升。
  总之,教师在教学的过程中,要不断地类比概念,类比新旧知识以及条件等等,提高学生们的学习效率,帮助学生们挖掘类比思想的本质,发展学生的创造性思维。强化类比思想,学会举一反三,还需要教师在教学的过程中不断地渗透,作好引导者,为提升学生的数学素养而努力!
  (作者单位:江苏省江安高级中学)
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