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求字母的取值范围，是数学学习中经常遇到的问题。本文就以反比例函数为背景求字母的取值范围问题作一些简单探讨。
一、 根据反比例函数图像的分布，求字母的取值范围
解题指导反比例函数的图像分布与k的关系是解题的关键。
当k＞0时反比例函数y= 的图像分布在第一、第三象限；
当k＜0时反比例函数y= 的图像分布在第二、第四象限。
例1 已知反比例函数y= 的图像在第二、四象限内，则k的取值范围为。
解∵已知反比例函数y= 的图像在第二、四象限内，
∴k-3＜0，∴k＜3，故：k的取值范围为k＜3。
二、 根据反比例函数的性质，求字母的取值范围
解题指导反比例函数y= 的图像性质与k的关系是解题的关键。
当k＞0时反比例函数y= 的图像在第一、第三象限；且在各象限内，函数y随x的增大而减小；
当k＜0时反比例函数y= 的图像在第二、第四象限；且在各象限内，函数y随x的增大而增大。
1、根据反比例函数的性质，求比例系数中字母的取值范围。
例2已知反比例函数y= ，当x<0时，函数y随x的增大而减小，则m的取值范围为。
解因为x<0时，函数y随x的增大而减小，所以k＞0，所以3-2m＞0，所以m< ，
故m的取值范围为m< 。
例3反比例函数y= 的图象满足在所在象限y随x的增大而增大，则m的取值范围是：
A、m＜0B、m＞0C、m＞-1D、m＜-1
分析根据上述性质可知：m+1＜0，从而得解。
解应选D。
例4已知：反比例函数y= 的图象满足在所在象限y随x的增大而增大，则m的取值范围是。
分析先找准比例系数是关键，后根据性质得解。
解因为反比例函数y= 的图象满足在所在象限y随x的增大而增大，
＜0，所以m2+1＜0m＞0或m2+1＞0m＜0，解得：m＜0，
故m的取值范围是m＜0。
2、根据反比例函数的性质，求函数值的取值范围。
例5已知：反比例函数y=- ，当x=- 时，则y= ；当x＜- 时，则y的取值范围是。
解当x=- 时，则y=6；因为k=-3＜0，所以反比例函数y=- 满足在所在象限y随x的增大而增大，所以y＜6，
又因为x＜- 时，图象在第二象限，所以所有的函数值都应大于零，因此y的取值范围是0＜y＜6。
例6正比例函数y＝x的图像与反比例函数y= 的图像有一个交点的纵坐标是2，
（1）x=-3时反比例函数y的值；
（2）当-3＜x＜-1时反比例函数y的取值范围。
解（1）设交点的坐标为（m，2），所以2=m，故交点的坐标为（2，2），
所以k=2×2=4，所以反比例函数y= 的解析式为y= ，
所以当时x=-3，y=- ；
（2）当x=-1时，y=-4，当x=-3时，y=- ；又因为当k＞0时，在各象限内函数y随x的增大而减小，所以反比例函数y的取值范围为-4＜y＜- 。
评注在解答时最好结合函数的草图，这样不仅直观，而且便于理解，特别是不会漏范围。
3、根据反比例函数的性质，求自变量的取值范围。
例7已知反比例函数y= ，当y≥-1时，求x的取值范围。
解当y=-1时，x=-6；
又因为当k＞0时，在各象限内函数y随x的增大而减小，
所以当y≥-1时，反比例函数x的取值范围为x≤-6。
例8已知函数和y1=x-1和y2=
（1）求出这两个函数图像的交点坐标；
（2）当x在什么范围时，y1＞y2？
解（1）根据题意得：y=x-1y= ，所以x-1= ，整理得：x2-x-6=0，x1=3，x2=-2，当x=3时，y=2；当x=-2时，y=-3，所以这两个函数图像的交点坐标为（3，2），（-2，-3）；
（2）为了能全面找到满足条件的x，我们采用七点列表法：
七点分别是
1、一个交点的横坐标，2、比这个交点的横坐标大一点的数，3、比这个交点的横坐标小一点的数，4、零，5、另一个交点的横坐标，6、比该交点的横坐标大一点的数，7、比该交点的横坐标小一点的数。
解列表得：
仔细观察上表，要使y1＞y2，则x的范围为：-2＜x＜0或x＞3。
评注用七点法求范围比较方便，简单，希望能真的理解，会用。
三、 根据图像交点的情形，求字母的取值范围
解题指导一次函数与反比例函数图像的交点问题通常转化成方程组问题，后将方程组问题转化成一元二次方程问题，
且△＞0一次函数与反比例函数图像有两个不同的交点；
△＜0一次函数与反比例函数图像没有交点；
△＝0一次函数与反比例函数图像有一个的交点。
例9已知一次函数y=-x+6和反比例函数y= （k≠0）
k满足什么条件时这两个函数在同一坐标系xoy中图象有两个公共交点?
解由题意得：y=-x+6y= ，整理得：x2-6x+k=0，
因为一次函数y=-x+6和反比例函数y= （k≠0）在同一坐标系中图象有两个公共交点，所以x2-6x+k=0的判别式△＞0，即（-6）2-4×1×k＞0，∴k＜9
（责任编辑 钱家庆）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、 根据反比例函数图像的分布，求字母的取值范围
解题指导反比例函数的图像分布与k的关系是解题的关键。
当k＞0时反比例函数y= 的图像分布在第一、第三象限；
当k＜0时反比例函数y= 的图像分布在第二、第四象限。
例1 已知反比例函数y= 的图像在第二、四象限内，则k的取值范围为。
解∵已知反比例函数y= 的图像在第二、四象限内，
∴k-3＜0，∴k＜3，故：k的取值范围为k＜3。
二、 根据反比例函数的性质，求字母的取值范围
解题指导反比例函数y= 的图像性质与k的关系是解题的关键。
当k＞0时反比例函数y= 的图像在第一、第三象限；且在各象限内，函数y随x的增大而减小；
当k＜0时反比例函数y= 的图像在第二、第四象限；且在各象限内，函数y随x的增大而增大。
1、根据反比例函数的性质，求比例系数中字母的取值范围。
例2已知反比例函数y= ，当x<0时，函数y随x的增大而减小，则m的取值范围为。
解因为x<0时，函数y随x的增大而减小，所以k＞0，所以3-2m＞0，所以m< ，
故m的取值范围为m< 。
例3反比例函数y= 的图象满足在所在象限y随x的增大而增大，则m的取值范围是：
A、m＜0B、m＞0C、m＞-1D、m＜-1
分析根据上述性质可知：m+1＜0，从而得解。
解应选D。
例4已知：反比例函数y= 的图象满足在所在象限y随x的增大而增大，则m的取值范围是。
分析先找准比例系数是关键，后根据性质得解。
解因为反比例函数y= 的图象满足在所在象限y随x的增大而增大，
＜0，所以m2+1＜0m＞0或m2+1＞0m＜0，解得：m＜0，
故m的取值范围是m＜0。
2、根据反比例函数的性质，求函数值的取值范围。
例5已知：反比例函数y=- ，当x=- 时，则y= ；当x＜- 时，则y的取值范围是。
解当x=- 时，则y=6；因为k=-3＜0，所以反比例函数y=- 满足在所在象限y随x的增大而增大，所以y＜6，
又因为x＜- 时，图象在第二象限，所以所有的函数值都应大于零，因此y的取值范围是0＜y＜6。
例6正比例函数y＝x的图像与反比例函数y= 的图像有一个交点的纵坐标是2，
（1）x=-3时反比例函数y的值；
（2）当-3＜x＜-1时反比例函数y的取值范围。
解（1）设交点的坐标为（m，2），所以2=m，故交点的坐标为（2，2），
所以k=2×2=4，所以反比例函数y= 的解析式为y= ，
所以当时x=-3，y=- ；
（2）当x=-1时，y=-4，当x=-3时，y=- ；又因为当k＞0时，在各象限内函数y随x的增大而减小，所以反比例函数y的取值范围为-4＜y＜- 。
评注在解答时最好结合函数的草图，这样不仅直观，而且便于理解，特别是不会漏范围。
3、根据反比例函数的性质，求自变量的取值范围。
例7已知反比例函数y= ，当y≥-1时，求x的取值范围。
解当y=-1时，x=-6；
又因为当k＞0时，在各象限内函数y随x的增大而减小，
所以当y≥-1时，反比例函数x的取值范围为x≤-6。
例8已知函数和y1=x-1和y2=
（1）求出这两个函数图像的交点坐标；
（2）当x在什么范围时，y1＞y2？
解（1）根据题意得：y=x-1y= ，所以x-1= ，整理得：x2-x-6=0，x1=3，x2=-2，当x=3时，y=2；当x=-2时，y=-3，所以这两个函数图像的交点坐标为（3，2），（-2，-3）；
（2）为了能全面找到满足条件的x，我们采用七点列表法：
七点分别是
1、一个交点的横坐标，2、比这个交点的横坐标大一点的数，3、比这个交点的横坐标小一点的数，4、零，5、另一个交点的横坐标，6、比该交点的横坐标大一点的数，7、比该交点的横坐标小一点的数。
解列表得：
仔细观察上表，要使y1＞y2，则x的范围为：-2＜x＜0或x＞3。
评注用七点法求范围比较方便，简单，希望能真的理解，会用。
三、 根据图像交点的情形，求字母的取值范围
解题指导一次函数与反比例函数图像的交点问题通常转化成方程组问题，后将方程组问题转化成一元二次方程问题，
且△＞0一次函数与反比例函数图像有两个不同的交点；
△＜0一次函数与反比例函数图像没有交点；
△＝0一次函数与反比例函数图像有一个的交点。
例9已知一次函数y=-x+6和反比例函数y= （k≠0）
k满足什么条件时这两个函数在同一坐标系xoy中图象有两个公共交点?
解由题意得：y=-x+6y= ，整理得：x2-6x+k=0，
因为一次函数y=-x+6和反比例函数y= （k≠0）在同一坐标系中图象有两个公共交点，所以x2-6x+k=0的判别式△＞0，即（-6）2-4×1×k＞0，∴k＜9
（责任编辑 钱家庆）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”