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图形旋转与生活中图案设计密切相关，有较高的应用价值.图形旋转问题在中考试卷中占有一定的比例，常以填空、选择、作图、解答、探究等形式出现.本文结合例题帮助同学们认识旋转的基本题型和解法.
一、概念题
例1 如图1，△ABC绕点A逆时针旋转40°后，到了△AB′C′的位置，若∠B=35°，∠C=60°，则∠B′AC=______.
解析： 本题中的旋转角是∠BAB′和∠CAC′，都为40°.根据三角形内角和定理，可得∠BAC=85°，所以∠B′AC=85°－40°=45°.
二、作图题
例2 如图2，Rt△ABC的边长分别为a，b，c，将这个三角形绕点O按顺时针方向连续旋转三次，每次都旋转90°.
（1） 作出每次旋转后的三角形.
（2） 从所得图形中，你能推导出勾股定理吗？
解析： （1） 作出旋转后的三角形的关键是作出每次旋转后的三个对应点.以B点为例，连接OB，作OB′与OB的夹角等于旋转角，即OB⊥OB′.取OB′=OB，B′即B的第一个对应点.其余点的对应点作法类似.图3即为Rt△ABC绕点O旋转三次后的图形.
（2） 观察所作图形，可得4S△ABC = S大正方形 － S小正方形.即4×ab=c2-（a-b）2.整理可得a2+b2=c2.
三、解答题
例3 如图4，点P是等边△ABC内的一点，∠BPC=150°，PB=2，PC=3，求PA的长.
解析： 通过旋转作图的辅助手段，将分散的元素集中起来.将△BAP绕点B顺时针方向旋转60°，使BA与BC重合，得△BCD，连接PD.
显然BD=BP=2，PA=DC，△BPD是等边三角形.
由∠BPD=60°，可得∠DPC=∠BPC-∠BPD=90°.
∴DC===. PA=DC=.
变式练习：若点P是等边△ABC内的一点，PA=，PB=2，PC=3，能求出∠BPC的度数吗？请你试一试.（答案：能，为150°）
四、探究题
例4 如图5，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度延长为OP0的2倍，得线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度延长为OP1的2倍，得线段OP2 . 如此继续下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数）.
（1） 求点P6的坐标.
（2） 求△P5OP6的面积.
（3） 我们规定：把点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，…）的横坐标xn、纵坐标yn分别取绝对值后，得到新的坐标称之为“绝对坐标”.根据图中点Pn的分布规律，猜想点Pn的绝对坐标，并写出来.
解析： （1） 由题意知，OP1=2OP0=2，OP2=2OP1=4=22，OP3=2OP2=23，…，OP6=26=64.旋转1次为45°，旋转6次为45°×6=270°，所以点P6在y轴负半轴上，坐标为（0，-64）.
（2） 显然△P5OP6∽△P0OP1.设△P5OP6和△P0OP1的面积分别为S6，S1，所以S6 ∶ S1=642 ∶ 22=1 024 ∶ 1. 所以S6 =1 024×=512.
（3） 由题意知，点Pn可能有8种不同情况的位置，即在x轴的正、负半轴上，在y轴的正、负半轴上，各象限的平分线上.点Pn的绝对坐标都是非负数，所以点Pn的坐标分为三类情况：
① 当n=8k或n=8k+4（其中k为自然数）时，点Pn落在x轴上，此时，点Pn的绝对坐标是（2n，0）；
② 当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7（其中k为自然数）时，点Pn落在各象限的平分线上，此时点Pn的绝对坐标是·2n，·2n；
③ 当n=8k+2或n=8k+6（其中k为自然数）时，点Pn落在y轴上，此时，点Pn的绝对坐标是（0，2n）.
练习题
1. 在图6中，将方格纸中的图形绕点O顺时针旋转90°，得到的图形是（）.
2. 如图7，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0），有点列P1，P2，P3，…，相邻两点都关于这个三角形的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，对称中心A，B，O，A，B，O…依次循环.已知点P1的坐标是（1，1），试写出P2，P7，P100的坐标.
答案：
1. B 2. 规律为每6个点一循环.故点P2（1，－1）；点P7（1，1）.点P100与P4相同，故坐标是（1，－3）.
一、概念题
例1 如图1，△ABC绕点A逆时针旋转40°后，到了△AB′C′的位置，若∠B=35°，∠C=60°，则∠B′AC=______.
解析： 本题中的旋转角是∠BAB′和∠CAC′，都为40°.根据三角形内角和定理，可得∠BAC=85°，所以∠B′AC=85°－40°=45°.
二、作图题
例2 如图2，Rt△ABC的边长分别为a，b，c，将这个三角形绕点O按顺时针方向连续旋转三次，每次都旋转90°.
（1） 作出每次旋转后的三角形.
（2） 从所得图形中，你能推导出勾股定理吗？
解析： （1） 作出旋转后的三角形的关键是作出每次旋转后的三个对应点.以B点为例，连接OB，作OB′与OB的夹角等于旋转角，即OB⊥OB′.取OB′=OB，B′即B的第一个对应点.其余点的对应点作法类似.图3即为Rt△ABC绕点O旋转三次后的图形.
（2） 观察所作图形，可得4S△ABC = S大正方形 － S小正方形.即4×ab=c2-（a-b）2.整理可得a2+b2=c2.
三、解答题
例3 如图4，点P是等边△ABC内的一点，∠BPC=150°，PB=2，PC=3，求PA的长.
解析： 通过旋转作图的辅助手段，将分散的元素集中起来.将△BAP绕点B顺时针方向旋转60°，使BA与BC重合，得△BCD，连接PD.
显然BD=BP=2，PA=DC，△BPD是等边三角形.
由∠BPD=60°，可得∠DPC=∠BPC-∠BPD=90°.
∴DC===. PA=DC=.
变式练习：若点P是等边△ABC内的一点，PA=，PB=2，PC=3，能求出∠BPC的度数吗？请你试一试.（答案：能，为150°）
四、探究题
例4 如图5，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度延长为OP0的2倍，得线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度延长为OP1的2倍，得线段OP2 . 如此继续下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数）.
（1） 求点P6的坐标.
（2） 求△P5OP6的面积.
（3） 我们规定：把点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，…）的横坐标xn、纵坐标yn分别取绝对值后，得到新的坐标称之为“绝对坐标”.根据图中点Pn的分布规律，猜想点Pn的绝对坐标，并写出来.
解析： （1） 由题意知，OP1=2OP0=2，OP2=2OP1=4=22，OP3=2OP2=23，…，OP6=26=64.旋转1次为45°，旋转6次为45°×6=270°，所以点P6在y轴负半轴上，坐标为（0，-64）.
（2） 显然△P5OP6∽△P0OP1.设△P5OP6和△P0OP1的面积分别为S6，S1，所以S6 ∶ S1=642 ∶ 22=1 024 ∶ 1. 所以S6 =1 024×=512.
（3） 由题意知，点Pn可能有8种不同情况的位置，即在x轴的正、负半轴上，在y轴的正、负半轴上，各象限的平分线上.点Pn的绝对坐标都是非负数，所以点Pn的坐标分为三类情况：
① 当n=8k或n=8k+4（其中k为自然数）时，点Pn落在x轴上，此时，点Pn的绝对坐标是（2n，0）；
② 当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7（其中k为自然数）时，点Pn落在各象限的平分线上，此时点Pn的绝对坐标是·2n，·2n；
③ 当n=8k+2或n=8k+6（其中k为自然数）时，点Pn落在y轴上，此时，点Pn的绝对坐标是（0，2n）.
练习题
1. 在图6中，将方格纸中的图形绕点O顺时针旋转90°，得到的图形是（）.
2. 如图7，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0），有点列P1，P2，P3，…，相邻两点都关于这个三角形的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，对称中心A，B，O，A，B，O…依次循环.已知点P1的坐标是（1，1），试写出P2，P7，P100的坐标.
答案：
1. B 2. 规律为每6个点一循环.故点P2（1，－1）；点P7（1，1）.点P100与P4相同，故坐标是（1，－3）.