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两个计数原理是学习排列组合的基础，灵活运用两个原理的关键是准确理解两个原理的区别与联系。同学们在初学这一章时难免会出现一些错误，本文例析几类常见错误，旨在帮助大家准确地理解两个原理。
易错点之一：主体错位
例1 有4封不同的信要寄出去，有3个不同的信箱可以投放，有多少种不同的投放方法?
错解：每个信箱可以接收4封信中的任意封信，有4种接收方法，由于有3个信箱，根据分步计数原理，所以3个信箱接收信的方法共有43=64(种)。
错解分析：错解在于考虑主体上的错位，因为1封信投进了1个信箱后，就不可能再投入别的信箱了，也就是说，如果某个信箱接收了1封信，别的信箱就不可能再接受它了。
如果我们换个角度思考这个问题，以信为主体来考虑，这道题就很容易求解。
正解1：以信为主体考虑，每封信可投入3个信箱中的1个，则每1封信有3种投放方法，共有34=81(种)投放方法。
正解2：按信箱为主体考虑，对信箱接收信的情况进行分类；可以分为恰有1个信箱有信，有2个信箱有信，有3个信箱有信，共3种情况来考虑。
若1个信箱有信，则4封信投入1个信箱，有3种不同的投放方法。
若2个信箱有信，则选择某2个信箱时有3种方法。然后考虑投放信的情况，每封信都有2种投放方法，所以有24种方法，但其中有2种是把4封信都投放在1个信箱的情况，应该减去，所以共有24-2=14(种)方法。前面选信箱有3种方法，由分步原理知共有3×14=42(种)方法。
若3个信箱有信，选择某3个信箱时只有1种方法，然后考虑投放信的情况。由题意知，1个信箱里有2封信，其余每个信箱有1封信。通过分析知，1个信箱里有2封信的分法有4×3÷2=6(种)，而把这2封信看成一个整体，与其余2封信进行排列时有3×2×1=6(种)方法。因此，当3个信箱有信时，共有6×6=36(种)方法。
综上，共有3+42+36=81(种)不同的方法。
易错点之二：考虑片面，出现漏解或是重复
例2 某天上午要排数学、物理、英语、化学4门不同的学科，若第一节排数学或第四节排物理，问共有多少种不同的排法。
错解：运用分类计数原理。
第一类，数学排第一节，物理排第二节或第三节，有2种排法，剩余的两节排英语、化学，有2种排法，故第一类有2×2=4(种)排法。
第二类，物理排第四节，数学排第二节或第三节，有2种排法，剩余的两节排英语、化学，有2种排法，故第二类有2×2=4(种)排法。
因此，根据分类计数原理共有4+4=8(种)排法。
错解分析：错解在于遗漏了数学排第一节同时物理排第四节的情况，即少计算了2种排法。
正解：第一类，数学排第一节，物理排第二节或第三节，有2种排法，剩余的两节排英语、化学，有2种排法，故第一类有2×2=4(种)排法。
第二类，物理排第四节，数学排第二节或第三节，有2种排法，剩余的两节排英语、化学，有2种排法，故第二类有2×2=4(种)排法。
第三类，数学排第一节同时物理排第四节，此时有2种排法。
因此，根据分类计数原理共有4+4+2=10(种)不同的排法。
例3 设直线的方程是Ax+By=0，从1，2，3，4，5这5个数中每次取2个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是____。
错解：运用分步计数原理。A有5种取法，B有4种取法。因此共有5×4=20(种)取法，故满足条件的直线有20条。
错解分析：错解在于对直线方程的理解片面，将直线x+2y=0和2x+4y=0，2x+y=0和4x+2y=0做了重复计算。
正解：运用分步计数原理。A有5种取法，B有4种取法，因此共有5×4=20(种)取法。但因直线x+2y=0和2x+y=0重复计算了两次，因此满足条件的直线有20-2≈18(条)。
(责任编辑 徐利杰)
易错点之一：主体错位
例1 有4封不同的信要寄出去，有3个不同的信箱可以投放，有多少种不同的投放方法?
错解：每个信箱可以接收4封信中的任意封信，有4种接收方法，由于有3个信箱，根据分步计数原理，所以3个信箱接收信的方法共有43=64(种)。
错解分析：错解在于考虑主体上的错位，因为1封信投进了1个信箱后，就不可能再投入别的信箱了，也就是说，如果某个信箱接收了1封信，别的信箱就不可能再接受它了。
如果我们换个角度思考这个问题，以信为主体来考虑，这道题就很容易求解。
正解1：以信为主体考虑，每封信可投入3个信箱中的1个，则每1封信有3种投放方法，共有34=81(种)投放方法。
正解2：按信箱为主体考虑，对信箱接收信的情况进行分类；可以分为恰有1个信箱有信，有2个信箱有信，有3个信箱有信，共3种情况来考虑。
若1个信箱有信，则4封信投入1个信箱，有3种不同的投放方法。
若2个信箱有信，则选择某2个信箱时有3种方法。然后考虑投放信的情况，每封信都有2种投放方法，所以有24种方法，但其中有2种是把4封信都投放在1个信箱的情况，应该减去，所以共有24-2=14(种)方法。前面选信箱有3种方法，由分步原理知共有3×14=42(种)方法。
若3个信箱有信，选择某3个信箱时只有1种方法，然后考虑投放信的情况。由题意知，1个信箱里有2封信，其余每个信箱有1封信。通过分析知，1个信箱里有2封信的分法有4×3÷2=6(种)，而把这2封信看成一个整体，与其余2封信进行排列时有3×2×1=6(种)方法。因此，当3个信箱有信时，共有6×6=36(种)方法。
综上，共有3+42+36=81(种)不同的方法。
易错点之二：考虑片面，出现漏解或是重复
例2 某天上午要排数学、物理、英语、化学4门不同的学科，若第一节排数学或第四节排物理，问共有多少种不同的排法。
错解：运用分类计数原理。
第一类，数学排第一节，物理排第二节或第三节，有2种排法，剩余的两节排英语、化学，有2种排法，故第一类有2×2=4(种)排法。
第二类，物理排第四节，数学排第二节或第三节，有2种排法，剩余的两节排英语、化学，有2种排法，故第二类有2×2=4(种)排法。
因此，根据分类计数原理共有4+4=8(种)排法。
错解分析：错解在于遗漏了数学排第一节同时物理排第四节的情况，即少计算了2种排法。
正解：第一类，数学排第一节，物理排第二节或第三节，有2种排法，剩余的两节排英语、化学，有2种排法，故第一类有2×2=4(种)排法。
第二类，物理排第四节，数学排第二节或第三节，有2种排法，剩余的两节排英语、化学，有2种排法，故第二类有2×2=4(种)排法。
第三类，数学排第一节同时物理排第四节，此时有2种排法。
因此，根据分类计数原理共有4+4+2=10(种)不同的排法。
例3 设直线的方程是Ax+By=0，从1，2，3，4，5这5个数中每次取2个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是____。
错解：运用分步计数原理。A有5种取法，B有4种取法。因此共有5×4=20(种)取法，故满足条件的直线有20条。
错解分析：错解在于对直线方程的理解片面，将直线x+2y=0和2x+4y=0，2x+y=0和4x+2y=0做了重复计算。
正解：运用分步计数原理。A有5种取法，B有4种取法，因此共有5×4=20(种)取法。但因直线x+2y=0和2x+y=0重复计算了两次，因此满足条件的直线有20-2≈18(条)。
(责任编辑 徐利杰)