轻绳连接体问题,由于轻绳的柔软性使问题有了许多的变化,也使题目难度变大.笔者对这类题作了些分析研究.将这类问题大致分为:1.绳端连接的两个物体都静止类问题;2.绳端连接的两个物体一个静止,另一个运动类问题;3.绳端连接的两个物体的运动速度大小相同,方向不同类问题;4.绳端连接的两个物体速度大小和方向都不同类问题,下面进行分类说明.
　　
　　一、绳端两连接体都静止类题
　　
　　这类题在静力学中较常见,解题时应注意:轻绳中的张力的方向会变,但大小不变.常规的解题方法是力的正交分解法.这类问题相对简单,在此不作进一步的分析探讨.
　　
　　二、绳端两连接体一个静止,另一个运动类题
　　
　　解答这类题时应注意,分析运动物体的受力情况和运动情况,分析静止物体的受力情况,及他们之间的联系.
　　图1
　　【例1】 如果在圆盘圆心处通过一个小孔把质量均为m的两物块用轻绳连接,如图1所示,问角速度ω在什么范围物块A会相对圆盘静止?
　　解析:物块A相对圆盘静止,可知绳子上的张力T=mg.
　　①当ω最小时,A所受的静摩擦力背离圆心,即有:
　　T-μmg=mRω2min
　　解得:ωmin=(1-μ)gR
　　②当ω最大时,A所受的静摩擦力指向圆心,即有:
　　T+μmg=mRω2max
　　解得:ωmax=(1+μ)gR
　　所以ω的取值范围为(1-μ)gR≤ω≤(1+μ)gR.
　　图2
　　【例2】 如图2所示.一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b,跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上,质量为3m的a球置于地面上,质量为m的b球从水平位置静止释放.当a球对地面压力刚好为零时,b球摆过的角度为θ.下列结论正确的是().
　　A.θ=90°
　　B.θ=45°
　　C.b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率先增大后减小
　　D.b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率一直增大
　　解析:由机械能守恒以及圆周运动的相关知识可求得:当a球对地面压力刚好为零时,b球摆过的角度θ为90°.设b球的摆动半径为R,摆过角度时θ的速度为v,对b球由动能定理:
　　mgRsinθ=12mv2①
　　此时重力的瞬时功率为:P=mgvcosθ②
　　由①②得:P2=2m2g3Rsinθcos2θ③
　　对于函数y=sinθcos2θ其一阶导数为:
　　y′=cosθ-3sin2θcosθ=cosθ(1-3sin2θ)
　　0<θ<arcsin33 y′>0 原函数单调递增.
　　arcsin33<θ<π2,y′<0 原函数单调递减.
　　故当θ=arcsin33时,y取极大值.即b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率先增大后减小.
　　
　　二、绳端两连接体的速度大小相同,方向不同类题
　　
　　该类问题的特点是:两连接体通过的位移(路程)、速率和加速度的大小保持一致.在整个运动过程中,连接体中各物体的受力特性保持不变.
　　图3
　　【例3】 如图3所示,一很长且不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮,绳两端各系质量分别为m和3m的a、b两球,其中a球静置于地面,用手托住b球距离地面高度为h,此时轻绳刚好拉紧.从静止开始释放b球后,a球可能达到的最大高度为多少?
　　解析:在b落地前,a、b组成的系统机械能守恒,且两物体速度大小相等,根据机械能守恒定律可知:3mgh-mgh=12(m+3m)v2,解得,v=Rg.
　　b球落地时,a球上升的高度为也为h,之后a球向上做竖直上抛运动,设上升的高度为Δh,该过程满足机械能守恒,则:12mv2=mgΔh,解得:Δh=v22g=h2.
　　图4
　　【例4】 如图4所示,在倾角α=30°的光滑斜面上通过定滑轮用一根不可伸长的细绳连着质量均为m=10kg的两个物体A、B.开始时用手托着A,距离地面高度为h=5m,B位于斜面底端,撤去手后求:
　　(1)A即将着地时A的动能?
　　(2)物体B离开斜面底端的最远距离?
　　解析:A即将着地前,两物体速率保持一致,只有系统的重力做功,两者组成的系统满足机械能守恒,则mAgh-mBghsinα=12mAv2+12mBv2,
　　解得:v=gh(1-sinα)=5m/s,解得EKA=12mAv2=125J;
　　A落地后,B以该速度沿斜面向上做匀减速直线运动,直至速度减小为0,该过程物体B与地球组成的系统满足机械能守恒,设沿斜面最终上升的距离为x,取地面为零势能面,则mBghsinα+12mBv2=mBxsinα,解得x=7.5m.
　　
　　三、绳端两连接体的速度大小和方向都不相同类距
　　
　　两个物体由于处在不同的约束环境下,运动状态不同,但作为连接两个物体的介质绳,能实现力和能量的传递,这也就使两个物体的运动状态彼此都会发生影响,这就使两个物体的速度存在一定的矢量关联,分解或者求解速度之间的约束关系就成为解决这类问题的关键.
　　【例5】 如图5所示,物块M和m,用一不可伸长的轻绳通过定滑轮连接,m放在倾角θ=30°的固定光滑斜面上,M穿过竖直杆PQ沿杆无摩擦地下滑,且M=3m.开始时将M抬高到A点,使细绳保持水平,此时OA段的绳长为L=4.0m,现将M由静止开始下滑,求当M下滑到B处时,此时距离A点间距为3.0m,求经过B时的速度?
　　(g=10m/s2)
　　图5
　　解析:M沿杆向下运动,m沿光滑斜面向上运动,组成的系统只有重力做功,满足机械能守恒,设到达B点时各自速度分别为vm和vM,则:ΔEK=-ΔEP,即12mv2m+12Mv2M=Mgh-mglsinθ.
　　在B处M既参与绕O点的圆周运动,同时又参与沿绳向外拉伸的运动,合运动表现为沿杆向下运动,由矢量分解可知:vm=vMcosθ,联立两式解得:vM=3.85m/s.
　　图6
　　【例6】 如图6所示,汽车以速度v匀速行驶,当汽车到达图示位置时,绳子与水平方向的夹角是θ,此时物体M的上升速度大小为多少?(结果用v和θ表示)
　　解法一:速度分解法.物体M与右段绳子上升的速率相同,而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v1是相等的.与车相连的端点的实际运动速度就是合速度,且与汽车速度v相同.分析左段绳子的运动可知,它其实同时参与了两个分运动,即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动.
　　将车速v分解为沿绳方向的速度v1和垂直绳子方向的速度v2,如图7所示.根据平行四边形定则可得v1=vcosθ.
　　所以,物体M上升速度的大小为v′=vcosθ.
　　解法二:位移微元法.如图8所示,假设端点N水平向左匀速移动微小位移Δs至N′,此过程中左段绳子长度增大了Δs1(过N向ON′作垂线NP,因顶角很小,故OP≈ON),即物体上升了Δs1,显然,Δs1=Δscosθ.
　　图7______________图8
　　由于v=Δs/Δt,(Δs很小、Δt很小),可得v1=vcosθ.
　　所以,物体M上升速度的大小为v′=vcosθ.
　　评析:有些同学认为只要将绳速v1分解为水平向左的速度v和竖直向下的速度v2,根据平行四边形定则易得绳速v1=v/cosθ.其实,这种解法的错误是一目了然的,难道汽车在向前运动的同时还在向地下钻吗?产生错误的主要原因是没有分清哪个是合运动、哪个是分运动,继而搞错了合运动、分运动的方向.错误的根本原因是混淆了运动的分解和力的分解.
　　图9
　　【例7】 如图9所示,一个半径为R的半球形的碗固定在桌面上,碗的内表面及碗口是光滑的,碗口水平,O点为其球心.一根轻质细线跨在碗口上,线的两端分别系有小球A和B,当它们处于平衡状态时,小球A与O点的连线与水平线的夹角为60°.
　　(1)求小球A与小球B的质量比mA∶mB=?
　　(2)辨析题:现将A球质量改为2m,B质量改为m,且开始时A球位于碗口C点,由静止沿碗下滑,当A球滑到碗底时,求两球的速率为多大?
　　某同学解法如下:当A球滑到碗底时,A球下降的高度为R,B球上升的高度为2R,根据机械能守恒定律有:
　　mAgR-mBg2R=12mAv2A+12mBv2B.
　　且vA=vB,代入数据,解上述两式即可求得两球的速率.
　　你认为上述分析是否正确?如果你认为正确,请完成此题;如果你认为不正确,请指出错误,并给出正确的解答.
　　(3)在满足第(2)问中的条件下,求A球沿碗壁运动的最大位移是多少?
　　物理过程分析:球A在绳的拉力、碗壁弹力和自身重力的作用下沿碗壁做圆周运动,速度vA始终沿切线方向,在任意时刻速度矢量分解和运动到特殊点圆周底端时的速度矢量分解如图(甲)所示,则:vB=vAsin45°=22vA;
　　当球A由圆周底端继续向上运动时,速度矢量分解如图(乙)所示,即球A、B之间速度在整个过程中彼此之间存在着一定的关联.
　　解析:(1)对A球,由平衡条件:2Tcos30°=mAg;
　　对B球,由拉力与重力平衡得:T=mBg,联立解得:mA∶mB=3∶1;
　　(2)不正确.正确解答如下:
　　A球在碗底时,vA≠vB,应将vA沿绳和垂直于绳的方向分解,沿绳子方向的分速度即等于B球的速度vB的大小.vA速度矢量分解如图(甲)所示,即vB=vAsin45°=22vA,
　　根据机械能守恒定律有:mAgR-mBg2R=12mAv2A+12mBv2B,
　　mAgR-mBg2R=12mAv2A+12mB(22vA)2,
　　可得:vA=4(2-2)gR5,vB=2(2-2)gR5.
　　(3)球A经过碗底后继续上升,当速度减小为零时沿碗壁有最大位移,如图(乙)所示,此时A相对碗边缘的高度为h,则:hs=4R2-s22R.
　　由机械能守恒有:2mgh-mgs=0;联立以上两式可得:s=3R.
　　以绳为介质构成的连接体问题不仅在单一的重力场中出现.在电磁场中,两个以上的细杆动生切割磁感线,在闭合回路中产生感应电流,进而通过安培力的作用,使两杆彼此产生制约,从而实现能量的传递,就构成了电磁场的连接体问题.它的原型就来源于绳连物问题,因此通过力学绳连物问题的分析,可以有效培养物理过程分析能力,尤其是矢量合成与分解、功能思想和临界条件分析的能力.
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