论文部分内容阅读
排列、组合应用问题种类繁多，方法灵活，对抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高，稍不注意，极易出错.本文就一些常见错误进行归类分析.
1. 两个计数原理混淆不清
通常是对“完成一件事”的任务不明确，分类与分步混淆或分类与分步不准确而造成失误.
例1 50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，则至少有3件次品的抽法有（ ）种.
错解1 分两类情形：“有3件次品”时，可从4件次品中抽取3件，再从剩余产品中抽取2件，有[C34+C246]种抽法；“有4件次品”时，可从4件次品中抽取4件，再从剩余产品中抽取1件，有[C44+C146]种抽法.故共有[（C34+C246）（C44+C146）=46575]种.
错解2 先抽次品：至少有3件次品包含“3件次品”“4件次品”两种情形，有[C34+C44=5]种抽法；再抽剩余产品，同理有[C246+C146=1081]种抽法.共有抽法5×1081=5405种.
错因剖析 分类与分步混淆不清，即加法原理与乘法原理混淆，从而引起失误.
正解 解排列、组合问题，通常是先“分类”后“分步”.此题可先分为二类：第一类，有3件次品2件正品，有[C34?C246]（分为两步，用乘法原理）种抽法；第二类，有4件次品1件正品，有[C44?C146]种抽法.由加法原理，不同的抽法共有[C34?C246+C44?C146]=4186种.
2. 排列、组合问题判断失误
通常在判断一个问题是排列还是组合问题时，未考虑元素的顺序性而导致失误.
例2 有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（ ）种.
A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040
错解1 分三步完成：首先从10人中选出4人，有[C410]种方法；再从这4人中选出二人承担任务甲，有[A24]种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有[A22]种方法，由乘法原理，不同的选法共有[C410?A24?A22]=5040种，选D.
错解2 分三步完成，不同的选法共有[C410C24C22]=1260种，选A.
错因剖析 排列、组合概念混淆不清.承担任务甲的两人与顺序无关；剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关.
正解1 先从10人中选2人承担任务甲，再从余下8人中选一人承担任务乙，最后从剩下的7人中选一人去承担任务丙. 由乘法原理，不同的选法有[C410?C18?C17]=2520种.
正解2 从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙. 由乘法原理，不同的选法有[C210?A28]=2520种，选C.
3. 分类（或分步）遗漏（或重复）造成失误
例3 4男4女排成一排，任意两名女子不相邻且任意两名男子也不相邻的排法共有多少种.
错解1 4名男子与4 名女子的排法分别有[A44]种，故共有[A44?A44]=576种.
错解2 4名男子的排法有[A44]种，4 名女子的排法有[A45]，故共有[A45?A44]=2880种.
错因剖析 错解1是由于考虑不周，遗漏了交换位置的情况而出现失误；错解2忽略了题中的条件，即满足了4名男子不相邻而忽略了4名女子也不相邻的情形（如：男女男女 女男女男），错把必要条件当作充分条件了.
正解 此为相间排列问题.如先排男子，有[A44]种排法，由题意，四名女子插入的四个空必须不相邻，有两种插入方法，而4名女子的排法有[A44]种，由乘法原理知，不同排法的种数共有[2A44]·[A44]=1152种.
例4 给[n]个自上而下的正方形着黑色和白色.当[n4]时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示.由此推断，当[n=6]时，黑色正方形互不相邻的着色方案有（ ）种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有（ ）种.
错解 （1）20；（2）有37、39、40等多个答案.
4. 在分配、分组等问题中重复计算出错
例5 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A. 480?种???????? B. 240种
C. 20种???????? D. 96种
错解 先从5本书中取4本分给4个人，有[A45]种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有[4×A45=480]种不同的分法，选A.
错因剖析 此为分配问题.设5本书[a，b，c，d，e]分给四个人甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能出现[ae，b，c，d]和[ea，b，c，d]的情形.第一种是甲首先分得[a]，最后分得[e]的情形；第二种是甲首先分得[e]，最后分得[a]的情形，这两种情况是完全相同的. 而在上述解法中却计算成了不同的情况，正好重复了一次.
正解 首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有[C25]种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有[A44]种方法.由乘法原理，共有[C25?A44=240]种方法，故选B.
5. 题意理解不透彻，忽视题设条件引起失误
例6 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ ）种.
错解 先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有[2C13?A22=12]种，由乘法原理，共有4×12=48种.
错因剖析 上述解法主要是没有理解题设中“有4种颜色可供选择”的含义，即4种颜色不一定全部使用，用3种也可以完成任务. 正解 分为两类：当使用四种颜色时，由上述解法知，有48种着色方法；当仅使用三种颜色时，先从4种颜色中选取3种，有[C34]种方法，然后涂色：先涂第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有[C34×3×2=24]种.综上，共有48+24=72种.
例7 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）种.
A. 10种 B. 15种
C.2 0种 D. 30种
错解 分三类：比分3∶0有1种情况；比分3∶1，即前3局中（第四局必胜）有2局胜，共有[C23=3]种情况；比分是3∶2，即前4局中（第五局必胜）有2局胜，共有[C24=6]种情况；故共有1+3+6=10种情况获胜，故选A.
错因剖析 上述解法显然对“各人输赢局次的不同视为不同情形”未理解，造成仅考虑某一人获胜的情形而造成漏解.事实上，两人都有获胜的可能.
正解 只需把上述结果乘以2即可，选C.
6. 思维不严密而造成失误（遗漏有关情形）
例8 四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有（ ）种.
A. 150 B. 147
C. 144 D. 141
错解 选A或B或C.
错因剖析 考虑到四点共面的情形有三类：①四点位于同一表面；②四点为两组相对棱的中点；③四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形①，就会由算式[C410-4C46=150]而错选A；若只考虑到情形①②，就会由算式[C410-4C46-3][=147]而错选B；若只考虑到情形①③，就会由算式[C410-4C46-6=144]而错选C.
正解 只有三种情形都考虑到，才能得到正确的结果[C410-4C46-6-3=141]，选D（从此题选项的设置可看出命题者之良苦用心）.
排列组合问题虽然种类繁多，但无外乎元素与位置的关系问题.是先考虑“元素”还是先考虑“位置”，或是将“元素”与“位置”综合起来考虑，就衍生出众多的解题策略与方法.解题方法与策略虽多，但应记住：“变”虽是主体，“不变”才是根本.只要把握住最基本、最常见的原理和方法，留心容易出错的地方，并动手操作，试验探究，就能够以不变应万变，从而有效地提高解决问题的准确性.
1. 两个计数原理混淆不清
通常是对“完成一件事”的任务不明确，分类与分步混淆或分类与分步不准确而造成失误.
例1 50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，则至少有3件次品的抽法有（ ）种.
错解1 分两类情形：“有3件次品”时，可从4件次品中抽取3件，再从剩余产品中抽取2件，有[C34+C246]种抽法；“有4件次品”时，可从4件次品中抽取4件，再从剩余产品中抽取1件，有[C44+C146]种抽法.故共有[（C34+C246）（C44+C146）=46575]种.
错解2 先抽次品：至少有3件次品包含“3件次品”“4件次品”两种情形，有[C34+C44=5]种抽法；再抽剩余产品，同理有[C246+C146=1081]种抽法.共有抽法5×1081=5405种.
错因剖析 分类与分步混淆不清，即加法原理与乘法原理混淆，从而引起失误.
正解 解排列、组合问题，通常是先“分类”后“分步”.此题可先分为二类：第一类，有3件次品2件正品，有[C34?C246]（分为两步，用乘法原理）种抽法；第二类，有4件次品1件正品，有[C44?C146]种抽法.由加法原理，不同的抽法共有[C34?C246+C44?C146]=4186种.
2. 排列、组合问题判断失误
通常在判断一个问题是排列还是组合问题时，未考虑元素的顺序性而导致失误.
例2 有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（ ）种.
A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040
错解1 分三步完成：首先从10人中选出4人，有[C410]种方法；再从这4人中选出二人承担任务甲，有[A24]种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有[A22]种方法，由乘法原理，不同的选法共有[C410?A24?A22]=5040种，选D.
错解2 分三步完成，不同的选法共有[C410C24C22]=1260种，选A.
错因剖析 排列、组合概念混淆不清.承担任务甲的两人与顺序无关；剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关.
正解1 先从10人中选2人承担任务甲，再从余下8人中选一人承担任务乙，最后从剩下的7人中选一人去承担任务丙. 由乘法原理，不同的选法有[C410?C18?C17]=2520种.
正解2 从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙. 由乘法原理，不同的选法有[C210?A28]=2520种，选C.
3. 分类（或分步）遗漏（或重复）造成失误
例3 4男4女排成一排，任意两名女子不相邻且任意两名男子也不相邻的排法共有多少种.
错解1 4名男子与4 名女子的排法分别有[A44]种，故共有[A44?A44]=576种.
错解2 4名男子的排法有[A44]种，4 名女子的排法有[A45]，故共有[A45?A44]=2880种.
错因剖析 错解1是由于考虑不周，遗漏了交换位置的情况而出现失误；错解2忽略了题中的条件，即满足了4名男子不相邻而忽略了4名女子也不相邻的情形（如：男女男女 女男女男），错把必要条件当作充分条件了.
正解 此为相间排列问题.如先排男子，有[A44]种排法，由题意，四名女子插入的四个空必须不相邻，有两种插入方法，而4名女子的排法有[A44]种，由乘法原理知，不同排法的种数共有[2A44]·[A44]=1152种.
例4 给[n]个自上而下的正方形着黑色和白色.当[n4]时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示.由此推断，当[n=6]时，黑色正方形互不相邻的着色方案有（ ）种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有（ ）种.
错解 （1）20；（2）有37、39、40等多个答案.
4. 在分配、分组等问题中重复计算出错
例5 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A. 480?种???????? B. 240种
C. 20种???????? D. 96种
错解 先从5本书中取4本分给4个人，有[A45]种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有[4×A45=480]种不同的分法，选A.
错因剖析 此为分配问题.设5本书[a，b，c，d，e]分给四个人甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能出现[ae，b，c，d]和[ea，b，c，d]的情形.第一种是甲首先分得[a]，最后分得[e]的情形；第二种是甲首先分得[e]，最后分得[a]的情形，这两种情况是完全相同的. 而在上述解法中却计算成了不同的情况，正好重复了一次.
正解 首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有[C25]种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有[A44]种方法.由乘法原理，共有[C25?A44=240]种方法，故选B.
5. 题意理解不透彻，忽视题设条件引起失误
例6 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ ）种.
错解 先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有[2C13?A22=12]种，由乘法原理，共有4×12=48种.
错因剖析 上述解法主要是没有理解题设中“有4种颜色可供选择”的含义，即4种颜色不一定全部使用，用3种也可以完成任务. 正解 分为两类：当使用四种颜色时，由上述解法知，有48种着色方法；当仅使用三种颜色时，先从4种颜色中选取3种，有[C34]种方法，然后涂色：先涂第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有[C34×3×2=24]种.综上，共有48+24=72种.
例7 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）种.
A. 10种 B. 15种
C.2 0种 D. 30种
错解 分三类：比分3∶0有1种情况；比分3∶1，即前3局中（第四局必胜）有2局胜，共有[C23=3]种情况；比分是3∶2，即前4局中（第五局必胜）有2局胜，共有[C24=6]种情况；故共有1+3+6=10种情况获胜，故选A.
错因剖析 上述解法显然对“各人输赢局次的不同视为不同情形”未理解，造成仅考虑某一人获胜的情形而造成漏解.事实上，两人都有获胜的可能.
正解 只需把上述结果乘以2即可，选C.
6. 思维不严密而造成失误（遗漏有关情形）
例8 四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有（ ）种.
A. 150 B. 147
C. 144 D. 141
错解 选A或B或C.
错因剖析 考虑到四点共面的情形有三类：①四点位于同一表面；②四点为两组相对棱的中点；③四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形①，就会由算式[C410-4C46=150]而错选A；若只考虑到情形①②，就会由算式[C410-4C46-3][=147]而错选B；若只考虑到情形①③，就会由算式[C410-4C46-6=144]而错选C.
正解 只有三种情形都考虑到，才能得到正确的结果[C410-4C46-6-3=141]，选D（从此题选项的设置可看出命题者之良苦用心）.
排列组合问题虽然种类繁多，但无外乎元素与位置的关系问题.是先考虑“元素”还是先考虑“位置”，或是将“元素”与“位置”综合起来考虑，就衍生出众多的解题策略与方法.解题方法与策略虽多，但应记住：“变”虽是主体，“不变”才是根本.只要把握住最基本、最常见的原理和方法，留心容易出错的地方，并动手操作，试验探究，就能够以不变应万变，从而有效地提高解决问题的准确性.