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摘要：几何动点问题因为综合考察学生知识应用能力，一直是几何学习的难点问题。动点问题学习难点的攻克，对学生数学思维品质的发展有着不可估量的作用。本文将从轴对称、辅助圆、旋转三类解题模型，探讨利用几何画板探究几何动点问题。
关键词：几何画板 解题模型 为学而教
一、轴对称解题模型的应用——直观展示，准确成图
我们需要利用图形的直观来寻找思路，再通过数的准确计算解决问题。在解决动点问题时，若学生无法成图，则利用几何画板的动态演示引导学生对比分析，将问题化抽象为具体，寻找运动变化中的那些量不变，图形中又有哪些可利用的特殊位置关系。例 1： 如图，在锐角△ ABC 中，AB = 4，∠ BAC = 45°，∠ BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD、AB 上的动点， 计算 BM + MN 的最小值。
评析：动点问题的本质是点的运动引发的图形变化，题目中M、N 都是动点，BM 和 MN 都是不确定的值，造成思维上的障碍。可利用轴对称变换将 MN 转化 ME，拖动点 M 再现图形变化，不难发现 MB 和 ME 的最小值 BE，拖动 N 的子对象点E 再现图形变化， 可知 BE 的最小值为 BF，问题得解。动态的直观的展示整个复杂的图形变化过程，为学生寻找最值搭建思维的台阶。有效突破“想不到”的思维瓶颈，解决“画不出”的现状。
二、辅助圆解题模型的应用——追踪轨迹，有迹可循
新课标对图形变换提出了明确要求，“能够准确观察图形， 还要会用语言描述的图形运动形式，并能将其运动变化想象并外化为图形。”动点引起的图形变化有时很隐蔽，教师口述或者板书也很难让大部分学生理解想象出来。几何画板追踪点的轨迹， 化隐形为有形，给学生深度思考搭建脚手架。下面以定点定长加点圆最值模型为例。
三、旋转解题模型的应用——条件搬家，化散为聚
当题目中的已知条件比较分散、有等长线段共端点、未知线段公端点，这时经常利用旋转变换，将条件集中在某一特殊三角形中进行计算。常见的模型有，旋转模型、费马点模型、角含半角模型。画板编辑中的移动点功能，构造旋转变换，可完美的展示旋转前后图形相等的量，易于学生在旋转变化图形中寻找不变的量以及特殊三角形。
例 3：如图，已知点P 为△ ABC 内一点，AB = 3，BC = 4，∠ ABC = 30°，计算 PA + PB + PC 的最小值。
评析：本题中 PB、PA、PC 共顶点，拖动点 P 三条线段的长度都会发生变化，这些不确定的因素成为解题的干扰。利用几何画板的移动点功能，构造 60°旋转再现线段“搬家”过程，将三条星状分布的共顶点线段 PB、PA、PC 转化为 DE、EP、PC 首尾相连，拖动点 E、点 P 可知当 D、E、P、C 四点共线时和最小为DC，将条件聚集在△ DBC 中进行计算。构造旋转模型“化星为折， 化折为直”，直观感知图形位置变化，让学生在变化的图形中认识永恒不变的几何规律。
评析：平面内点M 为定点，点N 为主动点，点 A′为从动点， 且 MA′长度始终等于 MA，追踪 A′的轨迹，是以 M 为圆心 MA 为半径的圆。确定A′的运动轨迹，拖动点N 再现CA′的变化过程， 当 M、A′、C 三点共线时 CA′最小，最小值为 CF。展示 CA′ 的“前世今生”，在高阶的思维探索中活化和迁移知识形成能力， 让最值有迹可循。
四、为学而教——操作体验，让学习真正发生
几何画板探究解题模型的活动设计，要为学生“学习”而设计， 只有通过主体实践活动才可形成能力。运用几何画板，不是教师直接展示最值位置让学生记忆模仿。学生活动设计要以学为主， 让学生亲自构造和拖动动点，感知图形的生成过程，经历由动点带来的图形变化全过程，通过观察、实验、操作、透徹理解动点问题的经验。
五、结语
几何画板具有强大的交互性和动态性，有效唤醒了学生对知识的好奇心，让学生获得参与探究的奇妙体验，为数学课堂注入了新鲜的血液。愿我们在几何画板教学的引领下，让学习在数学课堂真正发生，促进学生学习方式的变革与数学思维品质的提升， 开启数学课堂的灵动之旅。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部著 . 数学新课程标准 [M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.
[2] 汪正贵. 为“学习”而教 [N]. 中国教师报，2021-3-24（12）.
（周至县二曲初级中学，陕西 西安 710400）
关键词：几何画板 解题模型 为学而教
一、轴对称解题模型的应用——直观展示，准确成图
我们需要利用图形的直观来寻找思路，再通过数的准确计算解决问题。在解决动点问题时，若学生无法成图，则利用几何画板的动态演示引导学生对比分析，将问题化抽象为具体，寻找运动变化中的那些量不变，图形中又有哪些可利用的特殊位置关系。例 1： 如图，在锐角△ ABC 中，AB = 4，∠ BAC = 45°，∠ BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD、AB 上的动点， 计算 BM + MN 的最小值。
评析：动点问题的本质是点的运动引发的图形变化，题目中M、N 都是动点，BM 和 MN 都是不确定的值，造成思维上的障碍。可利用轴对称变换将 MN 转化 ME，拖动点 M 再现图形变化，不难发现 MB 和 ME 的最小值 BE，拖动 N 的子对象点E 再现图形变化， 可知 BE 的最小值为 BF，问题得解。动态的直观的展示整个复杂的图形变化过程，为学生寻找最值搭建思维的台阶。有效突破“想不到”的思维瓶颈，解决“画不出”的现状。
二、辅助圆解题模型的应用——追踪轨迹，有迹可循
新课标对图形变换提出了明确要求，“能够准确观察图形， 还要会用语言描述的图形运动形式，并能将其运动变化想象并外化为图形。”动点引起的图形变化有时很隐蔽，教师口述或者板书也很难让大部分学生理解想象出来。几何画板追踪点的轨迹， 化隐形为有形，给学生深度思考搭建脚手架。下面以定点定长加点圆最值模型为例。
三、旋转解题模型的应用——条件搬家，化散为聚
当题目中的已知条件比较分散、有等长线段共端点、未知线段公端点，这时经常利用旋转变换，将条件集中在某一特殊三角形中进行计算。常见的模型有，旋转模型、费马点模型、角含半角模型。画板编辑中的移动点功能，构造旋转变换，可完美的展示旋转前后图形相等的量，易于学生在旋转变化图形中寻找不变的量以及特殊三角形。
例 3：如图，已知点P 为△ ABC 内一点，AB = 3，BC = 4，∠ ABC = 30°，计算 PA + PB + PC 的最小值。
评析：本题中 PB、PA、PC 共顶点，拖动点 P 三条线段的长度都会发生变化，这些不确定的因素成为解题的干扰。利用几何画板的移动点功能，构造 60°旋转再现线段“搬家”过程，将三条星状分布的共顶点线段 PB、PA、PC 转化为 DE、EP、PC 首尾相连，拖动点 E、点 P 可知当 D、E、P、C 四点共线时和最小为DC，将条件聚集在△ DBC 中进行计算。构造旋转模型“化星为折， 化折为直”，直观感知图形位置变化，让学生在变化的图形中认识永恒不变的几何规律。
评析：平面内点M 为定点，点N 为主动点，点 A′为从动点， 且 MA′长度始终等于 MA，追踪 A′的轨迹，是以 M 为圆心 MA 为半径的圆。确定A′的运动轨迹，拖动点N 再现CA′的变化过程， 当 M、A′、C 三点共线时 CA′最小，最小值为 CF。展示 CA′ 的“前世今生”，在高阶的思维探索中活化和迁移知识形成能力， 让最值有迹可循。
四、为学而教——操作体验，让学习真正发生
几何画板探究解题模型的活动设计，要为学生“学习”而设计， 只有通过主体实践活动才可形成能力。运用几何画板，不是教师直接展示最值位置让学生记忆模仿。学生活动设计要以学为主， 让学生亲自构造和拖动动点，感知图形的生成过程，经历由动点带来的图形变化全过程，通过观察、实验、操作、透徹理解动点问题的经验。
五、结语
几何画板具有强大的交互性和动态性，有效唤醒了学生对知识的好奇心，让学生获得参与探究的奇妙体验，为数学课堂注入了新鲜的血液。愿我们在几何画板教学的引领下，让学习在数学课堂真正发生，促进学生学习方式的变革与数学思维品质的提升， 开启数学课堂的灵动之旅。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部著 . 数学新课程标准 [M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.
[2] 汪正贵. 为“学习”而教 [N]. 中国教师报，2021-3-24（12）.
（周至县二曲初级中学，陕西 西安 710400）