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摘 要 本文主要讨论了小波变换在图像融合中的应用，首先给出了图像融合中利用小波变换的理论依据，介绍了二维小波变换的算术原理，以及二维小波变换的分解和重构算法，其次，详细介绍了几种图像融合方法的融合规则，并介绍其中的优缺点，给出一些融合效果的评价标准。最后，给出展望。
关键词 小波变换 图像融合 Mallat算法 融合效果评价
中图分类号：TN911. 文献标识码：A
一、引言
图像融合是指对多个图像传感器进行互补或冗余信息的图像集合的过程。它的目的是使新图像能够更加适合人的视觉感知，或者满足如图像处理等方面的其他需求.它是一个信息融合的重要分支，被广泛用于目标识别、机器视觉、智能系统、医学图像处理等领域。一般图像融合系统分三种类型：像素级融合、特征级融合和决策级融合。其中像素级融合是最低层次的融合，也是后两级的基础。它是将不同成像传感器获得的图像中对应的像素进行融合处理，尽可能保留较多的图像信息，有较高的精确度。像素级的图像融合方法可分为三种类型：简单的图像融合方法、基于塔形分解、基于小波变换的图像融合方法。本文主要介绍基于小波变换的图像融合方法。
二、基于小波变换的图像融合方法理论依据
小波分析方法是一种窗口面积固定而形状可变化，时间或频率都可改变的时频局部化分析方法，即低频具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，高频具有较低的频率分辨率和较高的时间分辨率。小波变换继承了傅里叶变换的频率分析方法，其的变换结果具有一定的频率分辨率。同时小波变换还可以提供信号的局部时间特性，也使结果具有一定的时间分辨率。除此以外，小波变换还具有“变焦”的特性，对非平稳信号具有很强的适应性。这就克服了傅里叶变换的种种缺点，是对傅里叶变换的丰富和发展。小波变换可以分成两个大类：离散小波变换和连续小波变换。小波分析的应用与其的理论研究紧密的结合在一起地，被广泛应用在信号处理、语言分析、模式识别、数据压缩、图像处理、数字水印、量子物理等方面，尤其在图像的压缩、降噪、平滑和融合等方面。因此，基于小波变换的图像融合有广泛的应用。又因为图像为二维信号，因此对图像处理主要是二维数据处理，所以这里只介绍二维小波变换及其快速算法。二位和一位小波变换的定义实质是一样的，只是将一维扩展到二维的。
（一）二维小波变换。
函数f(x,y)的二维小波变换的定义为：
其中cx和cy表示两个维度上的平移。
相应的，二维小波变换的逆变换为：
其中
（二）二位小波变换的Mallat分解和重构算法。
基于小波变换的图像融合方法对图像的处理，分三个步骤：分解，采用适当的融合规则，重构。首先介绍.二位小波变换的分解和重构算法，设H，G分别为对应阵列的系数矩阵算子，hx和hy分别表示该阵列行和列作用的算子H，gx和gy分别表示该阵列行和列作用的算子G。二位小波变换的Mallat分解算法为：
CK=hxhy（hK-1） （1）
DK1=hxgyCK-1 （2）
DK2=gxhyCK-1 （3）
DK3=gxgyCK-1 （4）
式中k=1,2………… K
相应的，我们可以得到二位小波变换的Mallat重构算法为：
其中k=1…………K
三、融合规则的介绍
小波图像融合算法的步骤是：首先，利用二维小波变换对图像进行分解，就是对二维数据图像数据分别在水平和垂直方向进行一维小波变换，获取各自的低频子图像和高频子图像。其次，对各频率子图像采用合适的融合规则进行融合。最后，对得到的新低频子图像与高频子图像进行重构，得到融合图像。从中可已看出融合规则的选取，对于融合效果的影响很大，下面简单介绍几种融合规则：
（一） 加权平均融合。
加权平均融合不在是简单的将两幅图像在空域内进行算术平均处理，而是根据各个图像的质量，设计出一组最佳的加权系数，对它们进行加权平均处理。优点是实行过程比较简单，需要运算量小。不足之处是抗干扰能力差，会使融合图像的不清晰，融合效果差。
（二）系数区域融合。
主要介绍区域最大值法和区域最小值法。区域最大值法是取一个像素点与其周围八个像素点的灰度值相加，取其中最大的中心像素点作为融合图像的像素点。相似的，区域最小值法是取其中最小的中心像素点作为融合图像的像素点。优点是实行过程比较简单，能容易找到高频子带边缘系数，增强融合效果。缺点是只是重视衡量像素间的相关性，而没有看到图像的方向性。
（三）利用多个小波基的融合。
利用多个小波基的融合就是采用不同的小波基如sym4小波基，haar小波基,db3小波基,bior2.4小波基,coif3小波基等，对于分解图像进行融合，分解的层次越多，融合效果越好。并且对比各种小波基分解融合效果可以看出基于sym4小波基的融合效果最好
（四）小波变换与其他方法想结合的融合。
1、HSI变换与小波变换的融合。
基于HIS变换的图像融合的特点是高频信息丰富，但光谱信息损失量大，基于小波变换的融合可以较好保留光普信息，两者相结合，可以克服各自缺点，增强融合效果。具体步骤是首先对图像进行HIS变换。其次，对变换后的图像进行小波分解，并进行袭系列替换，再者，进行小波重构，最后，进行HIS逆变换得到融合图像。
2、利用小波变换和数学形态学的融合。
该方法是先用小波变换得到的系数生成融合决策图，然后利用数学形态学的方法对此进行处理，最后用处理后的决策图重构出融合图。本方法融合效果更好，算法复杂度合理，更能适应实时性高的环境。
四、融合效果的评价
（一） 若有参考图像，可以利用均方根误差，均方误差。
1、方根误差。
其中S为融合图像，M为参考图像，图像大小为mn。评价标准是均方根误差越小，融合效果越好。
2、均方误差。
同样，均方误差越小，融合效果越好。
（二）若没有参考图，可以采用图像的标准差，熵。
1、准差。
其公式为：
其中S为融合图像；u为图像的均值。
评价标准是标准差越大，融合图像灰度级分布越分散
2、熵。
其公式为：
其中L为图像总的灰度级数，N为总像素，Nx为速度值为x的像素值，Mx=通过熵，可以看出融合图像的信息量。
五、结束语
随着技术的发展，图像的应用越来广泛，对于图像的处理方法的要求越来越要高，人们会越来越重视图像融合技术。因为小波变换的良好的时域性和频域性，故基于小波的图像融合则是在频域实现了融合。去融合方式又与人的视网膜图像算子进行融合方式相同，所以，其可以获得与人的视觉特性更为接近融合效果。因此，有更强的针对性和实用性，融合效果更好，灵活性更好。所以有越来越多的科研工作者投入到小波的图像融合研究中，不断有更好的研究成果出现，使基于小波的图像融合方法的图像效果更好，更有使用价值。
（作者：贵州师范大学数学与计算机科学学院在读硕士研究生,研究方向：计算机图形学与数字图像处理；张新阳，贵州师范大学数学与计算机科学学院 09级研究生）
参考文献：
[1]章毓晋.图像工程（下）.清华大学出版社,2007.
[2]那彦，焦李成.基于多分辨分析理论的图像融合方法.西安电子科技大学出版社,2007.
[3]MinhN.DO,MartinVetterli.The ContourletTransform:An Efficient Directional Multiesolution Image Representation.IEEE Trans on Image Processing,2005,14(12):
2091-2106
[4]胡昌华，李国华，周涛.基于MATLAB7.X的系统分析与设计—小波分析（第三版）.西安电子科技大学出版社.2008.
[5]高超。图像融合评价方法的研究.电子测试。2011.7
[6]申晓华.基于区域能量的图像融合.河南大学,硕士学位论文,2007,5.
关键词 小波变换 图像融合 Mallat算法 融合效果评价
中图分类号：TN911. 文献标识码：A
一、引言
图像融合是指对多个图像传感器进行互补或冗余信息的图像集合的过程。它的目的是使新图像能够更加适合人的视觉感知，或者满足如图像处理等方面的其他需求.它是一个信息融合的重要分支，被广泛用于目标识别、机器视觉、智能系统、医学图像处理等领域。一般图像融合系统分三种类型：像素级融合、特征级融合和决策级融合。其中像素级融合是最低层次的融合，也是后两级的基础。它是将不同成像传感器获得的图像中对应的像素进行融合处理，尽可能保留较多的图像信息，有较高的精确度。像素级的图像融合方法可分为三种类型：简单的图像融合方法、基于塔形分解、基于小波变换的图像融合方法。本文主要介绍基于小波变换的图像融合方法。
二、基于小波变换的图像融合方法理论依据
小波分析方法是一种窗口面积固定而形状可变化，时间或频率都可改变的时频局部化分析方法，即低频具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，高频具有较低的频率分辨率和较高的时间分辨率。小波变换继承了傅里叶变换的频率分析方法，其的变换结果具有一定的频率分辨率。同时小波变换还可以提供信号的局部时间特性，也使结果具有一定的时间分辨率。除此以外，小波变换还具有“变焦”的特性，对非平稳信号具有很强的适应性。这就克服了傅里叶变换的种种缺点，是对傅里叶变换的丰富和发展。小波变换可以分成两个大类：离散小波变换和连续小波变换。小波分析的应用与其的理论研究紧密的结合在一起地，被广泛应用在信号处理、语言分析、模式识别、数据压缩、图像处理、数字水印、量子物理等方面，尤其在图像的压缩、降噪、平滑和融合等方面。因此，基于小波变换的图像融合有广泛的应用。又因为图像为二维信号，因此对图像处理主要是二维数据处理，所以这里只介绍二维小波变换及其快速算法。二位和一位小波变换的定义实质是一样的，只是将一维扩展到二维的。
（一）二维小波变换。
函数f(x,y)的二维小波变换的定义为：
其中cx和cy表示两个维度上的平移。
相应的，二维小波变换的逆变换为：
其中
（二）二位小波变换的Mallat分解和重构算法。
基于小波变换的图像融合方法对图像的处理，分三个步骤：分解，采用适当的融合规则，重构。首先介绍.二位小波变换的分解和重构算法，设H，G分别为对应阵列的系数矩阵算子，hx和hy分别表示该阵列行和列作用的算子H，gx和gy分别表示该阵列行和列作用的算子G。二位小波变换的Mallat分解算法为：
CK=hxhy（hK-1） （1）
DK1=hxgyCK-1 （2）
DK2=gxhyCK-1 （3）
DK3=gxgyCK-1 （4）
式中k=1,2………… K
相应的，我们可以得到二位小波变换的Mallat重构算法为：
其中k=1…………K
三、融合规则的介绍
小波图像融合算法的步骤是：首先，利用二维小波变换对图像进行分解，就是对二维数据图像数据分别在水平和垂直方向进行一维小波变换，获取各自的低频子图像和高频子图像。其次，对各频率子图像采用合适的融合规则进行融合。最后，对得到的新低频子图像与高频子图像进行重构，得到融合图像。从中可已看出融合规则的选取，对于融合效果的影响很大，下面简单介绍几种融合规则：
（一） 加权平均融合。
加权平均融合不在是简单的将两幅图像在空域内进行算术平均处理，而是根据各个图像的质量，设计出一组最佳的加权系数，对它们进行加权平均处理。优点是实行过程比较简单，需要运算量小。不足之处是抗干扰能力差，会使融合图像的不清晰，融合效果差。
（二）系数区域融合。
主要介绍区域最大值法和区域最小值法。区域最大值法是取一个像素点与其周围八个像素点的灰度值相加，取其中最大的中心像素点作为融合图像的像素点。相似的，区域最小值法是取其中最小的中心像素点作为融合图像的像素点。优点是实行过程比较简单，能容易找到高频子带边缘系数，增强融合效果。缺点是只是重视衡量像素间的相关性，而没有看到图像的方向性。
（三）利用多个小波基的融合。
利用多个小波基的融合就是采用不同的小波基如sym4小波基，haar小波基,db3小波基,bior2.4小波基,coif3小波基等，对于分解图像进行融合，分解的层次越多，融合效果越好。并且对比各种小波基分解融合效果可以看出基于sym4小波基的融合效果最好
（四）小波变换与其他方法想结合的融合。
1、HSI变换与小波变换的融合。
基于HIS变换的图像融合的特点是高频信息丰富，但光谱信息损失量大，基于小波变换的融合可以较好保留光普信息，两者相结合，可以克服各自缺点，增强融合效果。具体步骤是首先对图像进行HIS变换。其次，对变换后的图像进行小波分解，并进行袭系列替换，再者，进行小波重构，最后，进行HIS逆变换得到融合图像。
2、利用小波变换和数学形态学的融合。
该方法是先用小波变换得到的系数生成融合决策图，然后利用数学形态学的方法对此进行处理，最后用处理后的决策图重构出融合图。本方法融合效果更好，算法复杂度合理，更能适应实时性高的环境。
四、融合效果的评价
（一） 若有参考图像，可以利用均方根误差，均方误差。
1、方根误差。
其中S为融合图像，M为参考图像，图像大小为mn。评价标准是均方根误差越小，融合效果越好。
2、均方误差。
同样，均方误差越小，融合效果越好。
（二）若没有参考图，可以采用图像的标准差，熵。
1、准差。
其公式为：
其中S为融合图像；u为图像的均值。
评价标准是标准差越大，融合图像灰度级分布越分散
2、熵。
其公式为：
其中L为图像总的灰度级数，N为总像素，Nx为速度值为x的像素值，Mx=通过熵，可以看出融合图像的信息量。
五、结束语
随着技术的发展，图像的应用越来广泛，对于图像的处理方法的要求越来越要高，人们会越来越重视图像融合技术。因为小波变换的良好的时域性和频域性，故基于小波的图像融合则是在频域实现了融合。去融合方式又与人的视网膜图像算子进行融合方式相同，所以，其可以获得与人的视觉特性更为接近融合效果。因此，有更强的针对性和实用性，融合效果更好，灵活性更好。所以有越来越多的科研工作者投入到小波的图像融合研究中，不断有更好的研究成果出现，使基于小波的图像融合方法的图像效果更好，更有使用价值。
（作者：贵州师范大学数学与计算机科学学院在读硕士研究生,研究方向：计算机图形学与数字图像处理；张新阳，贵州师范大学数学与计算机科学学院 09级研究生）
参考文献：
[1]章毓晋.图像工程（下）.清华大学出版社,2007.
[2]那彦，焦李成.基于多分辨分析理论的图像融合方法.西安电子科技大学出版社,2007.
[3]MinhN.DO,MartinVetterli.The ContourletTransform:An Efficient Directional Multiesolution Image Representation.IEEE Trans on Image Processing,2005,14(12):
2091-2106
[4]胡昌华，李国华，周涛.基于MATLAB7.X的系统分析与设计—小波分析（第三版）.西安电子科技大学出版社.2008.
[5]高超。图像融合评价方法的研究.电子测试。2011.7
[6]申晓华.基于区域能量的图像融合.河南大学,硕士学位论文,2007,5.