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摘要： 基于车辆轨道耦合动力学快速显式积分法，提出了一种新的显式积分格式并给出了相关参数选取方式。不同于快速显式法仅考虑相邻两个加速度对于位移和速度积分的影响，本文方法积分格式中包含了相邻三个时刻的加速度项。该方法除具有快速显式积分法无需求解高阶线性方程组且运算速度快等特点之外，还具有数值结果无振幅衰减、截断误差具有更高阶精度等优点。与快速显式积分方法相比，求解线性问题时，本文方法获得的结果与解析解的吻合度更高；车辆轨道垂向耦合系统频域传递特性问题研究结果表明，本文方法获得的系统中、高频成分的幅频特性更为准确。关键词： 车辆系统动力学； 显式积分法； 误差精度； 预测校正格式
中图分类号： U211. 5文献标志码：A文章编号：1004-4523（2016）03-0472-07
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.013
引言
在结构和大自由度系统动力学研究中，数值积分方法被广泛使用[19]，所以迫切需求精度更高、稳定条件更宽松、更省时的计算方法。经典的方法如Newmarkβ法，Houbolt法，Wilsonθ法[1]等，精度很高且都具备比较好的稳定性，桂国庆[2]更是提出了无条件稳定的高精度计算方法，但这些隐式方法求解大型方程组，特别对于非线性问题，都需要计算C，K矩阵，计算量非常之大。有鉴于此，翟婉明[3]在Newmarkβ法基础之上提出新型快速显式积分法，该方法在求解大型非线性动力学问题时，只要求质量矩阵M为对角化，不限制C，K矩阵形式，不再需要求解高阶线性代数方程组，从而大幅度地提高了数值计算的经济性，其截断误差与Newmarkβ同阶，该方法具有较好的稳定条件，且当参数ψ和φ相等且都取值1/2情况下具有无振幅衰减以及周期延长率变化较小的特点。
随着列车运行速度提高及车辆部件轻量化，运用安全性以及运行品质等问题的研究变得越来越重要，研究结果也要求越来越准确，促使车辆动力学模型需要对部分或者全部部件弹性化处理，由此系统自由度和非线性度进一步大幅增加且车辆轨道耦合系统中高频振动亦成为研究重点之一。在此情况下，快速显式法存在一定的不足：在保障无振幅衰减并且延长率变化较小时，其计算结果高阶精度不足。吴国荣[4]提出的方法虽然很大程度地提高精度，但对于位移和速度求解具有先后次序，其应用具有一定的局限性；赵秋玲[5]、裘春航[6]和王海波等[7]提出的精细积分法对于线性和非线性问题计算精度高，但求解过程依赖状态变量求解过程，并需要将大型二阶微分方程组转为对应的一阶形式，这对车辆轨道耦合系统求解来说，工作量很大。范奎武[8]构造了包含An2的隐式积分格式，对于求解中频和高频问题具有很好精度，本文在快速显式积分法基础上，结合文献[8]和[9]隐式格式中考虑多个时刻加速度以提高积分精度的方式，在快速显式法积分格式包含An和An1基础上考虑An2这一项对于速度和位移的影响，构造了考虑三个时刻加速度项的显式积分格式，也简称本文方法。这一积分方法在满足收敛条件下，具有保障积分结果有无振幅衰减且周期延长率变化较小的特点，并在一定参数选择下能够有比快速显式积分法更高的截断误差精度。参照预测校正积分法，应用Newmarkβ进行校正积分，得到本文方法的高精度格式，对非线性问题的积分求解精度略高于原有预测校正模式。
图7为两方法得到的轨道位移传递函数与解析法结果对比。可以看出在35s，110 Hz左右的第一、第二峰值处，较比快速显式法，本文方法结果与解析结果吻合度更高，形态上更为接近，以及300～450 Hz的较高频率区间局部处，本文方法计算结果与解析结果几乎一致，而快速显式法结果与解析解有一定差别。
由图8和9看出，总体上，两种积分方法下，一位轮对和一位构架的频域传递特性与解析解均比较接近，在经过局部放大的65～80Hz以及140～150Hz频域区间上可以发现，本文方法在数值上和走势上均与解析解更为接近，说明较比快速显式法，本文积分格式计算精度对于系统中频和较高频特性模拟的准确度上有所提高。
4结论
本文方法具有简单、实用和较为精确的特征，计算算例表明该方法在数值计算求解线性和非线性微分方程准确、有效。即求解线性问题的数值积分时计算结果相比于快速显式积分法有更高精度，非线性问题的数值积分时高精度预测校正格式计算精度优于基本格式，本文的高精度預测校正格式计算精度更是高于快速显式积分法的高精度格式。应用于车辆轨道垂向系统幅频特性计算时，本文方法得到幅频响应函数在低频段与快速显式积分法较为一致并非常接近解析精确解，但在100Hz上下及300～500Hz等多个局部位置对比发现，本文方法模拟结果在数值上和走势上更为精确。与快速显式方法相比，本文方法计算平均计算用时略有增加，增长比率约1%，仍然处于可以接受的范围。
参考文献：
[1]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].第4版.武汉： 华中科技大学出版社，2006：121—122.
LI Qingyang， WANG Nengchao， YI Dayi. Numerical Analysis[M].4th ed. Wuhan： Hua zhong University of Science and Technology Press， 2006：121—122.
[2]桂国庆，何玉教.求解结构动力方程的高精度直接积分法[J]. 天津大学学报，1993，（6）：36—45.
GUI Guoqing， HE Yujiao. High accurate direcit integration method for solving the equtions of stractural dynamic[J]. Journal of Tianjin University， 1993， （6）：36—45.
中图分类号： U211. 5文献标志码：A文章编号：1004-4523（2016）03-0472-07
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.013
引言
在结构和大自由度系统动力学研究中，数值积分方法被广泛使用[19]，所以迫切需求精度更高、稳定条件更宽松、更省时的计算方法。经典的方法如Newmarkβ法，Houbolt法，Wilsonθ法[1]等，精度很高且都具备比较好的稳定性，桂国庆[2]更是提出了无条件稳定的高精度计算方法，但这些隐式方法求解大型方程组，特别对于非线性问题，都需要计算C，K矩阵，计算量非常之大。有鉴于此，翟婉明[3]在Newmarkβ法基础之上提出新型快速显式积分法，该方法在求解大型非线性动力学问题时，只要求质量矩阵M为对角化，不限制C，K矩阵形式，不再需要求解高阶线性代数方程组，从而大幅度地提高了数值计算的经济性，其截断误差与Newmarkβ同阶，该方法具有较好的稳定条件，且当参数ψ和φ相等且都取值1/2情况下具有无振幅衰减以及周期延长率变化较小的特点。
随着列车运行速度提高及车辆部件轻量化，运用安全性以及运行品质等问题的研究变得越来越重要，研究结果也要求越来越准确，促使车辆动力学模型需要对部分或者全部部件弹性化处理，由此系统自由度和非线性度进一步大幅增加且车辆轨道耦合系统中高频振动亦成为研究重点之一。在此情况下，快速显式法存在一定的不足：在保障无振幅衰减并且延长率变化较小时，其计算结果高阶精度不足。吴国荣[4]提出的方法虽然很大程度地提高精度，但对于位移和速度求解具有先后次序，其应用具有一定的局限性；赵秋玲[5]、裘春航[6]和王海波等[7]提出的精细积分法对于线性和非线性问题计算精度高，但求解过程依赖状态变量求解过程，并需要将大型二阶微分方程组转为对应的一阶形式，这对车辆轨道耦合系统求解来说，工作量很大。范奎武[8]构造了包含An2的隐式积分格式，对于求解中频和高频问题具有很好精度，本文在快速显式积分法基础上，结合文献[8]和[9]隐式格式中考虑多个时刻加速度以提高积分精度的方式，在快速显式法积分格式包含An和An1基础上考虑An2这一项对于速度和位移的影响，构造了考虑三个时刻加速度项的显式积分格式，也简称本文方法。这一积分方法在满足收敛条件下，具有保障积分结果有无振幅衰减且周期延长率变化较小的特点，并在一定参数选择下能够有比快速显式积分法更高的截断误差精度。参照预测校正积分法，应用Newmarkβ进行校正积分，得到本文方法的高精度格式，对非线性问题的积分求解精度略高于原有预测校正模式。
图7为两方法得到的轨道位移传递函数与解析法结果对比。可以看出在35s，110 Hz左右的第一、第二峰值处，较比快速显式法，本文方法结果与解析结果吻合度更高，形态上更为接近，以及300～450 Hz的较高频率区间局部处，本文方法计算结果与解析结果几乎一致，而快速显式法结果与解析解有一定差别。
由图8和9看出，总体上，两种积分方法下，一位轮对和一位构架的频域传递特性与解析解均比较接近，在经过局部放大的65～80Hz以及140～150Hz频域区间上可以发现，本文方法在数值上和走势上均与解析解更为接近，说明较比快速显式法，本文积分格式计算精度对于系统中频和较高频特性模拟的准确度上有所提高。
4结论
本文方法具有简单、实用和较为精确的特征，计算算例表明该方法在数值计算求解线性和非线性微分方程准确、有效。即求解线性问题的数值积分时计算结果相比于快速显式积分法有更高精度，非线性问题的数值积分时高精度预测校正格式计算精度优于基本格式，本文的高精度預测校正格式计算精度更是高于快速显式积分法的高精度格式。应用于车辆轨道垂向系统幅频特性计算时，本文方法得到幅频响应函数在低频段与快速显式积分法较为一致并非常接近解析精确解，但在100Hz上下及300～500Hz等多个局部位置对比发现，本文方法模拟结果在数值上和走势上更为精确。与快速显式方法相比，本文方法计算平均计算用时略有增加，增长比率约1%，仍然处于可以接受的范围。
参考文献：
[1]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].第4版.武汉： 华中科技大学出版社，2006：121—122.
LI Qingyang， WANG Nengchao， YI Dayi. Numerical Analysis[M].4th ed. Wuhan： Hua zhong University of Science and Technology Press， 2006：121—122.
[2]桂国庆，何玉教.求解结构动力方程的高精度直接积分法[J]. 天津大学学报，1993，（6）：36—45.
GUI Guoqing， HE Yujiao. High accurate direcit integration method for solving the equtions of stractural dynamic[J]. Journal of Tianjin University， 1993， （6）：36—45.