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填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，且具有其形态短小精悍，答案简短明确，不必填写解答过程等特点，是高考数学中的三种常考题型之一. 其类型绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题，这说明填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备. 解答填空题时必须按规则进行合理的计算或者合乎逻辑的推演和判断，力求做到快、稳、全. 下面介绍一些常用的解答填空题的基本方法，以供参考.
一、常用的解题方法
1. 定义法
例1 若函数[f(x)、g(x)]在共公定义内满足[|f(x)-g(x)|<1100]，则称[f(x)]与[g(x)]可以相互模拟. 若函数[f(x)=2x+1200sin100x]，则[f(x)]在R上的一个模拟函数[g(x)]可以是 .
解析 由[f(x)=2x+1200sin100x]可得：
[f(x)-2x=1200sin100x≤1200<1100,]
故[g(x)=2x.]
例2 若函数[y=f(x)]在[x=x0]处满足关系：（1）[f(x)]在[x=x0]处连续；（2）[f(x)]在[x=x0]处的导数不存在，就称[x0]是函数[f(x)]的一个“折点”. 下列关于“折点”的四个命题：
①[x=0]是[y=x]的折点；
②[x=0]是[y=1x,x<0x-1,x≥0]的折点；
③[x=0]是[y=-x2+1,x≤01,x>0]的折点；
④[x=0]是[y=e-x,x<0x+1,x≥0]的折点；
其中正确命题的序号是 .
解析 由上定义及导数、连续的定义，对上述四个函数逐个检验知，只有①④正确.
2. 直接法
这是解填空题的基本方法，即直接从题设条件出发，利用性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算等直接得到结论. 使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.
例3 将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为 .
解析 按每个盒子中所放的球的个数分类：
①[黑: 2, 2, 1白: 1, 1, 2⇒A13]， ② [黑: 1, 1, 3白: 1, 1, 2⇒A13×3]，
∴共有[A13+3A13=12]种不同的放法.
例4 平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是 .
解析 设有[k]组共线的点，每组点数不小于3，依次记为[n1,n2,⋯,nk]，则有[(C2n1-1)+][(C2n2-1)+⋯+][(C2nk-1)=C211-48=7]，而[C2ni-1≥3-1=2]，所以[k≤3]，当[k=1,3]时无整数解；当[k=2]时，有整数解[n1=4,n2=3]，因此三角形数为[C311-C34-C33=165-][4-1=160]，由概率的定义，所求概率为[P=160165=3233].
例5 从双曲线[x2a2-y2b2=1a>0,b>0]的左焦点[F]引圆[x2+y2=a2]的切线，切点为[T]，延长[FT]交双曲线右支于[P]点，若[M]为线段[FP]的中点，[O]为坐标原点，则[MO-MT]与[b-a]的大小关系为 .
分析 如图：连结[PF,OT]，
∵[FP-FP=2a]，∴[2FM-2OM=2a]，
即[FM-OM=a]， 又∵[FM=MT+b]，
∴[MT+b-OM=a]，
即[MO-MT=b-a].
3. 特殊化法
当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论.
例6 在[△ABC]中，如果三边[a、b、c]成等差数列，则[cosA+cosC1+cosAcosC=] .
分析一 取特殊值[a＝3,b＝4,c＝5]，则[cosA＝45]，[cosC＝0]，[cosA+cosC1+cosAcosC=][45].
分析二 取特殊角[A＝B＝C＝60°,][cosA=cosC][=12]，[cosA+cosC1+cosAcosC=][45].
例7 已知[an]是公差不为零的等差数列，如果[Sn]是[an]的前[n]项和，那么[limn→∞nanSn=] .
解析 由题意，不妨取[an=n]，则[Sn=nn+12]，于是有[limn→∞nanSn=limn→∞2n2nn+1=2].
例8 已知[m、n]是直线，[α、β、γ]是平面，给出下列命题：①若[α⊥γ,β⊥γ]，则[α∥β]；②若[n⊥α,n⊥β]，则[α∥β]；③若[α]内不共线的三点到[β]的距离都相等，则[α∥β]；④若[n]⫋[α],[m]⫋[α]，且[n∥β]，[m]∥[β]，则[α]∥[β]；⑤若[m,n]为异面直线，[n]⫋[α]，[n]∥[β]，[m]⫋[β],[m]∥[α]，则[α]∥[β]. 则其中正确的命题是 . （把你认为正确的命题序号都填上）
分析 依题意可取特殊模型正方体[AC1]（如图），在正方体[AC1]中逐一判断各命题，易得正确的命题是②⑤.
例9 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为[h1]、[h2]、[h]，则[h1∶h2∶h=] .
解析 由于所求的[h1∶h2∶h]为定值，所以可将三棱柱特殊化为直三棱柱. 又三棱锥、四棱锥的底面边长和侧棱都相等，所以取三棱柱为各棱长都相等的正三棱柱. 设正三棱柱的各棱长为[2]，则[h1=3]，[h2=h=2]，∴[h1∶h2∶h=3∶2∶2].
4. 数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果.
例10 设函数 [f(x)＝x3＋ax2＋2bx＋c]，若当 [x∈(0,1)]时，[f(x)]取得极大值，当[x∈(1,2)]时，[f(x)]取得极小值，则[b-2a-1]的取值范围是 .
解析 [f(x)＝x2＋ax＋2b]，令[f(x)＝0]，由条件知，上述方程应满足：一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，∴[f(1)<0，f(0)>0，f(2)>0，] 得[a+2b+1<0，b>0，a+b+2>0，]在 [aOb]坐标系中，作出上述区域如图所示，而[b-2a-1]的几何意义是过两点[P(a,b)]与[A(1，2)]的直线斜率，而[P(a,b)]在区域内，由图易知[kPA∈(14,1)].
例11 已知向量[a]=[(cosθ,sinθ)]，向量[b]=[(3,-1)]，则|2[a]－[b]|的最大值是 .
分析 因[|2a|=|b|=2]，故向量2[a]和[b]所对应的点[A、B]都在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而[|2a-b|]的几何意义即表示弦[AB]的长，故[|2a-b|]的最大值为4.
例12 设等差数列[an]的前[n]项和为[Sn]，若[S4≥10]，[S5≤15]，则[a5]的最大值为 .
解析 由已知得[S4=4a1+4×32d≥10，S5=5a1+5×42d≤15，]
∴[2a1+3d≥5，a1+2d≤3.]
在坐标系[a1Od]中分别作出直线[2a1+3d=5]，[a1+2d=3]，两直线的交点[A1,1]，设目标函数[z=a5=a1+4d]，作直线[l0]：[a1+4d=0]，当平移直线[l0]经过点[A1,1]时，[z]有最大值5，即[a5]的最大值为5.
5. 合理猜想法
由于填空题不要求推证过程，因此，我们也可用归纳、猜想得出结论. 合理猜想，可以从特殊情形中发现规律，得出一般的正确结论. 此法多用于探索规律的一类题.
例13 设[{an}]是首项为1的正项数列，且[(n+1)a2n+1]－ [na2n＋an+1an＝0][(n＝1、2、3、…) ]，则它的通项公式是 .
分析 分别令[n=1、n=2、n=3]，可求得[a2=12]， [a3=13]，[a4=14]，归纳可得[an=1n].
例14 方程[x3+lgx=18]的根[x≈] （结果精确到0.1）.
分析 由已知，[x∈(2,3)],则[x3>lgx>0]. 而[183=2.62]，又结果需要精确到0.1，所以当[x=2.6]时，[x3+lgx=17.99；]当[x=2.5]时，[x3+lgx=16.02]，故填[x≈2.6].
6. 构造法
根据条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题.
例15 4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中，则只有1个空盒的放法共有 种.
分析 符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球. 因此可先将球分成3堆（一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的“堆”，然后从4个盒中选出3个盒放1堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有[C24C34=144]（种）.
例16 如图，点[P]在正方形[ABCD]所在的平面外，[PD]⊥平面[ABCD]，[PD=AD]，则[PA]与[BD]所成角的度数为 .
分析 根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得[PA]与[BD]所成角为[60°].
例17 在[△ABC]中，角[A、B、C]的对边分别为[a、b、c]，若[c－a]等于[AC]边上的高，则[sinC-A2+cosC+A2] 的值是 .
分析 在[Rt△ABC]中，设[c=AB=2]，[a=BC=1]，则[c-a =1]为[AC]边上的高，此时[C=90°]，[A=30°]，
∴[sinC-A2+cosC+A2=sin90∘-30∘2+cos90∘+30∘2][=12.]
7. 分析法
根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.
例18 已知[a、b∈R]，则[a>b]与[1a>1b]同时成立的充要条件是 .
分析 按实数[b]的正、负分类讨论：当[b>0]时[⇒a>0]，而等式不可能同时成立；当[b＝0]时，[1a>1b]无意义；当[b<0]时，若[a<0]，则两不等式不可能同时成立，以上三种情况均被淘汰，故只能为[a>0，b<0].
例19 有20张卡片上分别写有数字1，2，…，20，将它们放入一个盒子内，有4 个人从中不放回地各抽取一张卡片，抽到两个较小数字的两人在同一组，抽到两个较大数字的两人在同一组. 现其中有两人抽到5、14，则此两人在同一组的概率等于 (用最简分数作答).
分析 由于已有两人分别抽到5和14两张卡片，则另外两人只需从剩下的18张卡片中抽取，共有[A218]种情况，抽到5 和14的两人在同一组，有两种情况:(1) 5 和14 为较小两数，则另两人需从15～20这6张中各抽1张,有[A26]种情况；(2) 5 和14 为较大两数，则另两人需从1～4这4张中各抽1张,有[A24]种情况.
于是，抽到5 和14 两张卡片的两人在同一组的概率为[P=A26+A24A218=751].
例20 已知三个正数[a]、[b]、[c]满足条件[a≤b+c≤3a3b2≤aa+c≤5b2]，则[b-2ca]的最小值为 .
分析 ∵[a≤b+c≤3a,3b2≤aa+c≤5b2,]
∴[1≤ba+ca≤3,3ba2≤1+ca≤5ba2,]
设[ba=x]，[ca=y]，则[1≤x+y≤33x2≤1+y≤5x2x>0,y>0]，作出该不等式组表示的平面区域（图中的阴影部分[ABCD]），令[z=b-2ca=x-2y]，则[y=12x-z]，它表示斜率为[12]的一组平行直线，易知，当它经过点[D45,115]时，[z]取得最小值，得，
∴[zmin=45-2×115=-185].
点评 填空题的解法很多，以上虽然概括了填空题的部分解法，但并不能“包打天下”. 各种解法的基础是熟练的“双基”、丰富的解题经验和平时扎实深厚的数学功底. 因此，在平时的学习、复习的过程中，对每道题要广开思路，多方探索，不断总结、归纳其解题思想和方法，并能深入浅出地加以类比、延伸和拓展，才能“以不变应万变”，达到事倍功半之效果. 记信：高明、成功的试题是不会让思维懒惰者占到便宜的.
一、常用的解题方法
1. 定义法
例1 若函数[f(x)、g(x)]在共公定义内满足[|f(x)-g(x)|<1100]，则称[f(x)]与[g(x)]可以相互模拟. 若函数[f(x)=2x+1200sin100x]，则[f(x)]在R上的一个模拟函数[g(x)]可以是 .
解析 由[f(x)=2x+1200sin100x]可得：
[f(x)-2x=1200sin100x≤1200<1100,]
故[g(x)=2x.]
例2 若函数[y=f(x)]在[x=x0]处满足关系：（1）[f(x)]在[x=x0]处连续；（2）[f(x)]在[x=x0]处的导数不存在，就称[x0]是函数[f(x)]的一个“折点”. 下列关于“折点”的四个命题：
①[x=0]是[y=x]的折点；
②[x=0]是[y=1x,x<0x-1,x≥0]的折点；
③[x=0]是[y=-x2+1,x≤01,x>0]的折点；
④[x=0]是[y=e-x,x<0x+1,x≥0]的折点；
其中正确命题的序号是 .
解析 由上定义及导数、连续的定义，对上述四个函数逐个检验知，只有①④正确.
2. 直接法
这是解填空题的基本方法，即直接从题设条件出发，利用性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算等直接得到结论. 使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.
例3 将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为 .
解析 按每个盒子中所放的球的个数分类：
①[黑: 2, 2, 1白: 1, 1, 2⇒A13]， ② [黑: 1, 1, 3白: 1, 1, 2⇒A13×3]，
∴共有[A13+3A13=12]种不同的放法.
例4 平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是 .
解析 设有[k]组共线的点，每组点数不小于3，依次记为[n1,n2,⋯,nk]，则有[(C2n1-1)+][(C2n2-1)+⋯+][(C2nk-1)=C211-48=7]，而[C2ni-1≥3-1=2]，所以[k≤3]，当[k=1,3]时无整数解；当[k=2]时，有整数解[n1=4,n2=3]，因此三角形数为[C311-C34-C33=165-][4-1=160]，由概率的定义，所求概率为[P=160165=3233].
例5 从双曲线[x2a2-y2b2=1a>0,b>0]的左焦点[F]引圆[x2+y2=a2]的切线，切点为[T]，延长[FT]交双曲线右支于[P]点，若[M]为线段[FP]的中点，[O]为坐标原点，则[MO-MT]与[b-a]的大小关系为 .
分析 如图：连结[PF,OT]，
∵[FP-FP=2a]，∴[2FM-2OM=2a]，
即[FM-OM=a]， 又∵[FM=MT+b]，
∴[MT+b-OM=a]，
即[MO-MT=b-a].
3. 特殊化法
当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论.
例6 在[△ABC]中，如果三边[a、b、c]成等差数列，则[cosA+cosC1+cosAcosC=] .
分析一 取特殊值[a＝3,b＝4,c＝5]，则[cosA＝45]，[cosC＝0]，[cosA+cosC1+cosAcosC=][45].
分析二 取特殊角[A＝B＝C＝60°,][cosA=cosC][=12]，[cosA+cosC1+cosAcosC=][45].
例7 已知[an]是公差不为零的等差数列，如果[Sn]是[an]的前[n]项和，那么[limn→∞nanSn=] .
解析 由题意，不妨取[an=n]，则[Sn=nn+12]，于是有[limn→∞nanSn=limn→∞2n2nn+1=2].
例8 已知[m、n]是直线，[α、β、γ]是平面，给出下列命题：①若[α⊥γ,β⊥γ]，则[α∥β]；②若[n⊥α,n⊥β]，则[α∥β]；③若[α]内不共线的三点到[β]的距离都相等，则[α∥β]；④若[n]⫋[α],[m]⫋[α]，且[n∥β]，[m]∥[β]，则[α]∥[β]；⑤若[m,n]为异面直线，[n]⫋[α]，[n]∥[β]，[m]⫋[β],[m]∥[α]，则[α]∥[β]. 则其中正确的命题是 . （把你认为正确的命题序号都填上）
分析 依题意可取特殊模型正方体[AC1]（如图），在正方体[AC1]中逐一判断各命题，易得正确的命题是②⑤.
例9 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为[h1]、[h2]、[h]，则[h1∶h2∶h=] .
解析 由于所求的[h1∶h2∶h]为定值，所以可将三棱柱特殊化为直三棱柱. 又三棱锥、四棱锥的底面边长和侧棱都相等，所以取三棱柱为各棱长都相等的正三棱柱. 设正三棱柱的各棱长为[2]，则[h1=3]，[h2=h=2]，∴[h1∶h2∶h=3∶2∶2].
4. 数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果.
例10 设函数 [f(x)＝x3＋ax2＋2bx＋c]，若当 [x∈(0,1)]时，[f(x)]取得极大值，当[x∈(1,2)]时，[f(x)]取得极小值，则[b-2a-1]的取值范围是 .
解析 [f(x)＝x2＋ax＋2b]，令[f(x)＝0]，由条件知，上述方程应满足：一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，∴[f(1)<0，f(0)>0，f(2)>0，] 得[a+2b+1<0，b>0，a+b+2>0，]在 [aOb]坐标系中，作出上述区域如图所示，而[b-2a-1]的几何意义是过两点[P(a,b)]与[A(1，2)]的直线斜率，而[P(a,b)]在区域内，由图易知[kPA∈(14,1)].
例11 已知向量[a]=[(cosθ,sinθ)]，向量[b]=[(3,-1)]，则|2[a]－[b]|的最大值是 .
分析 因[|2a|=|b|=2]，故向量2[a]和[b]所对应的点[A、B]都在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而[|2a-b|]的几何意义即表示弦[AB]的长，故[|2a-b|]的最大值为4.
例12 设等差数列[an]的前[n]项和为[Sn]，若[S4≥10]，[S5≤15]，则[a5]的最大值为 .
解析 由已知得[S4=4a1+4×32d≥10，S5=5a1+5×42d≤15，]
∴[2a1+3d≥5，a1+2d≤3.]
在坐标系[a1Od]中分别作出直线[2a1+3d=5]，[a1+2d=3]，两直线的交点[A1,1]，设目标函数[z=a5=a1+4d]，作直线[l0]：[a1+4d=0]，当平移直线[l0]经过点[A1,1]时，[z]有最大值5，即[a5]的最大值为5.
5. 合理猜想法
由于填空题不要求推证过程，因此，我们也可用归纳、猜想得出结论. 合理猜想，可以从特殊情形中发现规律，得出一般的正确结论. 此法多用于探索规律的一类题.
例13 设[{an}]是首项为1的正项数列，且[(n+1)a2n+1]－ [na2n＋an+1an＝0][(n＝1、2、3、…) ]，则它的通项公式是 .
分析 分别令[n=1、n=2、n=3]，可求得[a2=12]， [a3=13]，[a4=14]，归纳可得[an=1n].
例14 方程[x3+lgx=18]的根[x≈] （结果精确到0.1）.
分析 由已知，[x∈(2,3)],则[x3>lgx>0]. 而[183=2.62]，又结果需要精确到0.1，所以当[x=2.6]时，[x3+lgx=17.99；]当[x=2.5]时，[x3+lgx=16.02]，故填[x≈2.6].
6. 构造法
根据条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题.
例15 4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中，则只有1个空盒的放法共有 种.
分析 符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球. 因此可先将球分成3堆（一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的“堆”，然后从4个盒中选出3个盒放1堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有[C24C34=144]（种）.
例16 如图，点[P]在正方形[ABCD]所在的平面外，[PD]⊥平面[ABCD]，[PD=AD]，则[PA]与[BD]所成角的度数为 .
分析 根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得[PA]与[BD]所成角为[60°].
例17 在[△ABC]中，角[A、B、C]的对边分别为[a、b、c]，若[c－a]等于[AC]边上的高，则[sinC-A2+cosC+A2] 的值是 .
分析 在[Rt△ABC]中，设[c=AB=2]，[a=BC=1]，则[c-a =1]为[AC]边上的高，此时[C=90°]，[A=30°]，
∴[sinC-A2+cosC+A2=sin90∘-30∘2+cos90∘+30∘2][=12.]
7. 分析法
根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.
例18 已知[a、b∈R]，则[a>b]与[1a>1b]同时成立的充要条件是 .
分析 按实数[b]的正、负分类讨论：当[b>0]时[⇒a>0]，而等式不可能同时成立；当[b＝0]时，[1a>1b]无意义；当[b<0]时，若[a<0]，则两不等式不可能同时成立，以上三种情况均被淘汰，故只能为[a>0，b<0].
例19 有20张卡片上分别写有数字1，2，…，20，将它们放入一个盒子内，有4 个人从中不放回地各抽取一张卡片，抽到两个较小数字的两人在同一组，抽到两个较大数字的两人在同一组. 现其中有两人抽到5、14，则此两人在同一组的概率等于 (用最简分数作答).
分析 由于已有两人分别抽到5和14两张卡片，则另外两人只需从剩下的18张卡片中抽取，共有[A218]种情况，抽到5 和14的两人在同一组，有两种情况:(1) 5 和14 为较小两数，则另两人需从15～20这6张中各抽1张,有[A26]种情况；(2) 5 和14 为较大两数，则另两人需从1～4这4张中各抽1张,有[A24]种情况.
于是，抽到5 和14 两张卡片的两人在同一组的概率为[P=A26+A24A218=751].
例20 已知三个正数[a]、[b]、[c]满足条件[a≤b+c≤3a3b2≤aa+c≤5b2]，则[b-2ca]的最小值为 .
分析 ∵[a≤b+c≤3a,3b2≤aa+c≤5b2,]
∴[1≤ba+ca≤3,3ba2≤1+ca≤5ba2,]
设[ba=x]，[ca=y]，则[1≤x+y≤33x2≤1+y≤5x2x>0,y>0]，作出该不等式组表示的平面区域（图中的阴影部分[ABCD]），令[z=b-2ca=x-2y]，则[y=12x-z]，它表示斜率为[12]的一组平行直线，易知，当它经过点[D45,115]时，[z]取得最小值，得，
∴[zmin=45-2×115=-185].
点评 填空题的解法很多，以上虽然概括了填空题的部分解法，但并不能“包打天下”. 各种解法的基础是熟练的“双基”、丰富的解题经验和平时扎实深厚的数学功底. 因此，在平时的学习、复习的过程中，对每道题要广开思路，多方探索，不断总结、归纳其解题思想和方法，并能深入浅出地加以类比、延伸和拓展，才能“以不变应万变”，达到事倍功半之效果. 记信：高明、成功的试题是不会让思维懒惰者占到便宜的.