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摘 要 有限元法作为机械专业学生的一门专业课程，不仅需要传授理论知识，而且需要结合学生的专业方向，进行适当的实践教学和实例演示，从而使学生不仅掌握相关的力学基础，熟悉有限元法的基本原理和分析过程，而且运用理论知识解决工程实践问题，从而提高学生的学习兴趣和工程应用能力。
关键词 有限元法 教学方法 机械专业
中图分类号：G424 文献标识码：A
有限元法是一种高效能、常用的计算方法，它将连续的求解域离散为一组单元的组合体，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。有限元方法成为解决机械工程实际问题必不可少的工具之一，同时它又是一个庞大和复杂的理论体系，需要有较深厚的数学力学基础知识，学生在一定时间内掌握有限元法比较困难，因此，提高有限元法教学效果成为一个亟需解决的问题。改革课程的教学结构和相应的教学方法，多方位培养学生的理论应用能力，是十分必要的。
1 普通高校机械专业的有限元法课程教学特点
随着当今科技的迅猛发展和招生数量的突飞猛进，社会对于大学生的素质教育提出了更高的要求，本科教学以提高劳动者的知识和科学素养为主要目标，教学过程需要照顾大多数学生的接受能力和理解能力。在课程教学中也出现了许多亟待解决的问题。（1）在课程设置上以授课教师为中心，而且课程设置都由培养方案规定，导致了课程设置的相对滞后；（2）在教学内容的选取上一般以教材为中心，很大程度上限制学生的创新思维的发展；（3）教学方式上以教师讲授为中心，学生被动地接受知识。这种教学方式桎梏了学生的创造性思维，抹杀了学生的怀疑精神。①
开设有限元法课程的教学，其目的不仅要使学生掌握有限元的基本概念、理论和建模技术和数据处理，而且通过本课程的学习，能够采用数值计算的方法解决实际工程中遇到的机械分析问题。②③因此，课程的教学以知识传授为核心，教学方法、教学内容、教学计划、组织方式、考核形式等都围绕这一核心而制定。
（1）教学大纲：为适应研究生知识需求的多样性和时效性，教学大纲结合了规范性和灵活性两方面的要求，教学大纲只对教学内容、教学时数、考核方式做了规定，而对于授课内容的细节，教学过程中根据学生的学习要求，更多地考虑学科前沿和最新工程应用。
（2）教学内容：教学采用一本主讲教材和多本参考书，教学内容既有主讲教材中的理论知识，也有从参考书中撷取的特色内容和工程应用，学生可以从基础理论出发，并以它为蓝本理解有限元领域的学术思想，提高了创新思维。课程的基本内容包括：①杆、梁结构有限元分析的基本步骤，连续体的离散方法和单元构造，以及平面、轴对称、空间问题的单元构造的一般原理和数值求解方法；②单元节点的编号与存储方法，边界条件的处理，单元应力计算结果的误差的产生原因及控制误差和提高精度的方法；③有限元分析的发展趋势和工程应用，利用有限元分析软件进行数值计算和分析。
（3）教学计划：有限元法的教学分为两部分进行，教学的前一部分以讲授知识为主，后半部分采用实例式教学，以工程实例为对象，使学生通过一定时间的调研、阅读和项目研究，展示研究成果，形成研究报告。
（4）考核方式：考核方式分为考试和大作业相结合的形式，试卷考查对于基础理论和基础知识的掌握，一般采用开卷形式，以考查对一些基本概念、技术或方法等方面的知识理解和知识应用为主，避免对知识点的死记硬背；大作业针对学习的内容，设置相应的模拟工作情况，使学生利用有限元知识解决具体工程问题。
（5）授课形式：课程教学的主要采用多媒体形式讲授，多媒体课件主要依据教材制作，并根据最新的研究成果和学术前沿，进行理论教学。并采用课堂报告、工程研讨等形式，提高学生对于知识的深层次理解。
2 有限元法教学方法的探讨
2.1 理论结合实际应用
基础理论知识的学习是保证良好的教学效果必不可少的，需要加强与相关课程的联系，如弹性力学课程中的加权残值法以及最小势能原理等，都是有限元教学过程中的基础理论，在教学过程中，需要加强理论知识的补充和重复，才能够保证以后本课程的教学效果，同时需要注重启发引导和互动，强化学生对所学的基础理论知识的理解和应用，提高学生利用基础理论知识分析问题以及解决问题的能力，从而提高学生学习理论知识的积极性。
有限元法作为一种解决工程问题的数值分析工具，将求解域划分为有限单元，在对单元假定一个相对简单的位移模式，从而得到每一单元近似解，在此基础上推导求解这个域的平衡方程，最终得到所求问题的解。有限元法教学不仅要明确有限元方法的实质，而且要掌握处理问题过程的步骤和注意的问题，将抽象的概念与实际应用相结合，将提高学生对于概念的认识。如平面问题中三节点三角形单元、四节点矩形单元以及其高阶单元六节点三角形单元和八节点矩形单元是教学中的必要环节。课程教学的讲解由单元的位移场、应变场、应力场的构建出发，利用最小势能原理，计算出刚度方程。为了增加学生的认识，教学中结合有限元软件中的相应单元选择进行进一步讲解，将软件中的相应单元类型列出，如Plane42单元和Plane82单元，讲解单元的输入参数、单元特点和应用范围等，使学生将理论知识和实际应用结合，更深入地了解单元设置的意义。
2.2 以实际工程应用为目标增强教学效果
为提高学生的实际应用能力，教学中采用案例教学的方法，有针对性地提炼出工程中典型的结构作为案例，将有限元软件的各种功能及操作贯穿在实际的结构分析中。主要侧重模型建立、单元网格划分、边界条件定义和载荷施加等操作方法的讲解，使学生能够快速、有效地建立起有限元分析的思路。在教学过程中，选择具有针对性的机械相关案例，讲解常见的结构分析问题，包括静力分析、非线性问题和接触应力分析等；动力学中的振动模态分析、瞬态动力学问题等；热分析中的稳态热传导分析、对流散热分析和热辐射分析等。④例如通过分析高压输电铁塔的模态分析，不仅能够讲解杆单元的选择，而且能够了解模态分析的过程。通过对转子的温度场及应力场的分析，讲解了复杂结构的建模方法，单元的选择，零件边界条件和载荷的设置等，并通过设置不同的初始条件和求解目标，可以掌握温度场分析、零件的应力应变分析以及热力耦合分析。 2.3 多媒体教学和上机实践相结合
有限元法作为一种数值计算方法，利用多媒体技术，可以将有限元分析中的基本原理和实现过程生动地展现给学生，使教师有更多的时间和学生实现教学互动，并针对学生的关注和问题进行有针对性的讲解。特别是在工程问题的过程和结果分析，多媒体使得教学内容更形象直观，提高了教学质量。同时，利用多媒体教学，可以使得教学采用的有限元分析软件的操作演示得以实现，能够使得学生更为直观地看到利用有限元分析软件解决问题的过程。
工程实践是进行有限元教学的重要环节和检验教学效果的重要手段，通过上机实践，加深学生对有限元理论知识的理解和培养学生的实际动手解决问题的能力，体会用有限元方法分析问题的整个过程，并能够在这个过程中发现问题和分析问题。
2.4 通过课程内容研讨提高学生学习质量
为提高学生的参与热情和参与能力，教学过程中，通过提出工程实际问题，让学生自由地学习和表达自己的观点。这种方法以学习者为中心，学习者在明确的教学目标指导下，运用科学的方法，在民主、宽容的课堂环境中，积极主动地、具有创造性地介入教学活动中，加强教学者与学习者之间的信息交流和反馈，使学习者能深刻地领会和掌握所学的知识，并能将这种知识运用到实践中去。⑤⑥⑦学生完成设定问题的分析后，按照设计要求完成文档的设计工作，并采用多媒体课件形式公开讲解，然后进行相互的质疑和答辩，这样：（1）提出疑问，让学生在独立思考所设计内容的同时，巩固所学的相关理论知识，对提高学习的主动性有很大帮助；（2）针对所提出的疑问，让学生来解答，这个过程使学生对自己所学内容又进行了复习，是让被提问的学生思考和解答，提问的同学同样需要对整个过程进行认真的了解、梳理和思考。
3 结语
有限元法作为一门专业课程，对于学生利用有限元基本原理解决工程实践问题具有重要的意义，教学过程需要根据专业特点和学生学习状况合理安排教学工作：（1）理论和实际应用相结合，在讲解理论知识的同时，对比分析实际分析过程中的选择的理由、方法和差异，可以提高学生对于理论知识的理解和应用；（2）结合学生的专业特点，选择具有专业特色的实例进行分析，可以提高学生利用有限元解决问题的自觉性和认识，为学生将来的研究和工作提供有效的理论基础和分析工具。（3）多媒体教学方式可以提高教学的趣味性和直观性，同时，让学生真实地利用软件进行工程分析，可以更进一步提高学生对于有限元基本理论和应用的理解。（4）课程研讨可以使学生独立思考有限元工程分析的内容和相关理论知识，通过对学习内容的复习和反思，提问了学生对整个工程分析过程的了解、梳理和思考。
基金项目：上海市本科重点课程建设项目（项目编号：2013132）
注释
① 赵玉田.关于研究生教学改革的几点思考[J].继续教育研究，2011（8）：110-111.
② 章泳健.面向应用的《有限元分析》课程的导入及教学实践[J].常熟理工学院学报（教育科学），2009（6）：116-118.
③ 钱善华，刘利国，倪自丰.有限元法在机械设计方向中的教学实践[J].无锡职业技术学院学报，2013（3）：22-24.
④ 刘义，薛玉君.机械工程研究生“有限单元法”课程教学探讨[J].中国电力教育，2012（16）：40-41.
⑤ 蔺永诚，刘箴.参与式教学法——高校课堂教学中值得推行的教学方法[J].长沙铁道学院学报（社会科学版），2009（1）：107-108.
⑥ 陈华.参与式教学法的原理、形式与应用[J].中山大学学报论丛，2001（6）：159-161.
⑦ 娄祖安.参与式教学法的涵义及特征[J].科技信息，2009（25）：405.
关键词 有限元法 教学方法 机械专业
中图分类号：G424 文献标识码：A
有限元法是一种高效能、常用的计算方法，它将连续的求解域离散为一组单元的组合体，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。有限元方法成为解决机械工程实际问题必不可少的工具之一，同时它又是一个庞大和复杂的理论体系，需要有较深厚的数学力学基础知识，学生在一定时间内掌握有限元法比较困难，因此，提高有限元法教学效果成为一个亟需解决的问题。改革课程的教学结构和相应的教学方法，多方位培养学生的理论应用能力，是十分必要的。
1 普通高校机械专业的有限元法课程教学特点
随着当今科技的迅猛发展和招生数量的突飞猛进，社会对于大学生的素质教育提出了更高的要求，本科教学以提高劳动者的知识和科学素养为主要目标，教学过程需要照顾大多数学生的接受能力和理解能力。在课程教学中也出现了许多亟待解决的问题。（1）在课程设置上以授课教师为中心，而且课程设置都由培养方案规定，导致了课程设置的相对滞后；（2）在教学内容的选取上一般以教材为中心，很大程度上限制学生的创新思维的发展；（3）教学方式上以教师讲授为中心，学生被动地接受知识。这种教学方式桎梏了学生的创造性思维，抹杀了学生的怀疑精神。①
开设有限元法课程的教学，其目的不仅要使学生掌握有限元的基本概念、理论和建模技术和数据处理，而且通过本课程的学习，能够采用数值计算的方法解决实际工程中遇到的机械分析问题。②③因此，课程的教学以知识传授为核心，教学方法、教学内容、教学计划、组织方式、考核形式等都围绕这一核心而制定。
（1）教学大纲：为适应研究生知识需求的多样性和时效性，教学大纲结合了规范性和灵活性两方面的要求，教学大纲只对教学内容、教学时数、考核方式做了规定，而对于授课内容的细节，教学过程中根据学生的学习要求，更多地考虑学科前沿和最新工程应用。
（2）教学内容：教学采用一本主讲教材和多本参考书，教学内容既有主讲教材中的理论知识，也有从参考书中撷取的特色内容和工程应用，学生可以从基础理论出发，并以它为蓝本理解有限元领域的学术思想，提高了创新思维。课程的基本内容包括：①杆、梁结构有限元分析的基本步骤，连续体的离散方法和单元构造，以及平面、轴对称、空间问题的单元构造的一般原理和数值求解方法；②单元节点的编号与存储方法，边界条件的处理，单元应力计算结果的误差的产生原因及控制误差和提高精度的方法；③有限元分析的发展趋势和工程应用，利用有限元分析软件进行数值计算和分析。
（3）教学计划：有限元法的教学分为两部分进行，教学的前一部分以讲授知识为主，后半部分采用实例式教学，以工程实例为对象，使学生通过一定时间的调研、阅读和项目研究，展示研究成果，形成研究报告。
（4）考核方式：考核方式分为考试和大作业相结合的形式，试卷考查对于基础理论和基础知识的掌握，一般采用开卷形式，以考查对一些基本概念、技术或方法等方面的知识理解和知识应用为主，避免对知识点的死记硬背；大作业针对学习的内容，设置相应的模拟工作情况，使学生利用有限元知识解决具体工程问题。
（5）授课形式：课程教学的主要采用多媒体形式讲授，多媒体课件主要依据教材制作，并根据最新的研究成果和学术前沿，进行理论教学。并采用课堂报告、工程研讨等形式，提高学生对于知识的深层次理解。
2 有限元法教学方法的探讨
2.1 理论结合实际应用
基础理论知识的学习是保证良好的教学效果必不可少的，需要加强与相关课程的联系，如弹性力学课程中的加权残值法以及最小势能原理等，都是有限元教学过程中的基础理论，在教学过程中，需要加强理论知识的补充和重复，才能够保证以后本课程的教学效果，同时需要注重启发引导和互动，强化学生对所学的基础理论知识的理解和应用，提高学生利用基础理论知识分析问题以及解决问题的能力，从而提高学生学习理论知识的积极性。
有限元法作为一种解决工程问题的数值分析工具，将求解域划分为有限单元，在对单元假定一个相对简单的位移模式，从而得到每一单元近似解，在此基础上推导求解这个域的平衡方程，最终得到所求问题的解。有限元法教学不仅要明确有限元方法的实质，而且要掌握处理问题过程的步骤和注意的问题，将抽象的概念与实际应用相结合，将提高学生对于概念的认识。如平面问题中三节点三角形单元、四节点矩形单元以及其高阶单元六节点三角形单元和八节点矩形单元是教学中的必要环节。课程教学的讲解由单元的位移场、应变场、应力场的构建出发，利用最小势能原理，计算出刚度方程。为了增加学生的认识，教学中结合有限元软件中的相应单元选择进行进一步讲解，将软件中的相应单元类型列出，如Plane42单元和Plane82单元，讲解单元的输入参数、单元特点和应用范围等，使学生将理论知识和实际应用结合，更深入地了解单元设置的意义。
2.2 以实际工程应用为目标增强教学效果
为提高学生的实际应用能力，教学中采用案例教学的方法，有针对性地提炼出工程中典型的结构作为案例，将有限元软件的各种功能及操作贯穿在实际的结构分析中。主要侧重模型建立、单元网格划分、边界条件定义和载荷施加等操作方法的讲解，使学生能够快速、有效地建立起有限元分析的思路。在教学过程中，选择具有针对性的机械相关案例，讲解常见的结构分析问题，包括静力分析、非线性问题和接触应力分析等；动力学中的振动模态分析、瞬态动力学问题等；热分析中的稳态热传导分析、对流散热分析和热辐射分析等。④例如通过分析高压输电铁塔的模态分析，不仅能够讲解杆单元的选择，而且能够了解模态分析的过程。通过对转子的温度场及应力场的分析，讲解了复杂结构的建模方法，单元的选择，零件边界条件和载荷的设置等，并通过设置不同的初始条件和求解目标，可以掌握温度场分析、零件的应力应变分析以及热力耦合分析。 2.3 多媒体教学和上机实践相结合
有限元法作为一种数值计算方法，利用多媒体技术，可以将有限元分析中的基本原理和实现过程生动地展现给学生，使教师有更多的时间和学生实现教学互动，并针对学生的关注和问题进行有针对性的讲解。特别是在工程问题的过程和结果分析，多媒体使得教学内容更形象直观，提高了教学质量。同时，利用多媒体教学，可以使得教学采用的有限元分析软件的操作演示得以实现，能够使得学生更为直观地看到利用有限元分析软件解决问题的过程。
工程实践是进行有限元教学的重要环节和检验教学效果的重要手段，通过上机实践，加深学生对有限元理论知识的理解和培养学生的实际动手解决问题的能力，体会用有限元方法分析问题的整个过程，并能够在这个过程中发现问题和分析问题。
2.4 通过课程内容研讨提高学生学习质量
为提高学生的参与热情和参与能力，教学过程中，通过提出工程实际问题，让学生自由地学习和表达自己的观点。这种方法以学习者为中心，学习者在明确的教学目标指导下，运用科学的方法，在民主、宽容的课堂环境中，积极主动地、具有创造性地介入教学活动中，加强教学者与学习者之间的信息交流和反馈，使学习者能深刻地领会和掌握所学的知识，并能将这种知识运用到实践中去。⑤⑥⑦学生完成设定问题的分析后，按照设计要求完成文档的设计工作，并采用多媒体课件形式公开讲解，然后进行相互的质疑和答辩，这样：（1）提出疑问，让学生在独立思考所设计内容的同时，巩固所学的相关理论知识，对提高学习的主动性有很大帮助；（2）针对所提出的疑问，让学生来解答，这个过程使学生对自己所学内容又进行了复习，是让被提问的学生思考和解答，提问的同学同样需要对整个过程进行认真的了解、梳理和思考。
3 结语
有限元法作为一门专业课程，对于学生利用有限元基本原理解决工程实践问题具有重要的意义，教学过程需要根据专业特点和学生学习状况合理安排教学工作：（1）理论和实际应用相结合，在讲解理论知识的同时，对比分析实际分析过程中的选择的理由、方法和差异，可以提高学生对于理论知识的理解和应用；（2）结合学生的专业特点，选择具有专业特色的实例进行分析，可以提高学生利用有限元解决问题的自觉性和认识，为学生将来的研究和工作提供有效的理论基础和分析工具。（3）多媒体教学方式可以提高教学的趣味性和直观性，同时，让学生真实地利用软件进行工程分析，可以更进一步提高学生对于有限元基本理论和应用的理解。（4）课程研讨可以使学生独立思考有限元工程分析的内容和相关理论知识，通过对学习内容的复习和反思，提问了学生对整个工程分析过程的了解、梳理和思考。
基金项目：上海市本科重点课程建设项目（项目编号：2013132）
注释
① 赵玉田.关于研究生教学改革的几点思考[J].继续教育研究，2011（8）：110-111.
② 章泳健.面向应用的《有限元分析》课程的导入及教学实践[J].常熟理工学院学报（教育科学），2009（6）：116-118.
③ 钱善华，刘利国，倪自丰.有限元法在机械设计方向中的教学实践[J].无锡职业技术学院学报，2013（3）：22-24.
④ 刘义，薛玉君.机械工程研究生“有限单元法”课程教学探讨[J].中国电力教育，2012（16）：40-41.
⑤ 蔺永诚，刘箴.参与式教学法——高校课堂教学中值得推行的教学方法[J].长沙铁道学院学报（社会科学版），2009（1）：107-108.
⑥ 陈华.参与式教学法的原理、形式与应用[J].中山大学学报论丛，2001（6）：159-161.
⑦ 娄祖安.参与式教学法的涵义及特征[J].科技信息，2009（25）：405.