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一、常规的教学：更多地基于教材
（一）教材解读
苏教版小学数学五年级数学下册《真分数和假分数》一课的教学目标之一，是认识真分数和假分数，能判断一个分数是真分数还是假分数。该怎样达到这样的教学目标呢？备课时，我认真研读了苏教版教材，并且翻阅了人教版教材作为参考。
我发现，苏教版教材中，例5（如图1）明确告知学生把一个圆看作单位“1”，要求学生涂色表示出14、34、44、54；例6（如图2）要求学生在图中涂色表示出25、105、135；在此基础上引导学生将得到的分数分类，得出真分数和假分数的概念。人教版教材的设计也基本相同：例1同样是把一个圆看作单位“1”，用分数表示出涂色部分，得到13、34、56，不同的是得出分数后直接比较分子和分母的大小，得出真分数的概念；例2则出示三组已经涂色的图形，分别表示分数44、74、115，然后比较分子和分母的大小，得出假分数的概念。
（二）教学设计
在教材解读与比较的基础上，我依据苏教版教材设计教学：
依次教学例5、例6，然后引导学生比较例5、例6，在此基础上概括真分数和假分数的意义（如图3）。
接着，给出一些分数，让学生分辨是不是假分数，发现学生没什么错误。再教学“练一练”（如图4），却发现很多学生出现了问题：对于第三、四小题，写出了78、66这样的分数。反馈时，我询问学生是怎样想的。学生回答：“第三个图形是平均分成8份，表示这样的7份，所以是78。”我着重说明：“这里是将一个长方形看作单位‘1’，平均分成4份，表示这样的7份，所以分母是4。”但是学生不能理解：“明明是两个长方形，平均分成8份，分母为什么是4？”
（三）教学反思
从学生课堂的表现来看，我课前预设的教学目标没有实现。学生为什么会出现这样的错误呢？问题究竟在哪里？
我想到，假分数仍然是一个分数，认识分数就应该从分数的意义出发，描述其意义就会牵涉单位“1”的问题，但是学生恰恰不知道将谁看作单位“1”——例5、例6的设计已经直接告知学生把一个圆看作单位“1”，学生只要涂色表示出分数就行了，即只要关注分数的分子，数出相应的份数就行了。可见，这里的教学忽略了将谁看作单位“1”，忽略了假分数作为一个分数的意义——虽然关注了分子和分母的关系，但是忽略了分母的意义。而这，恰恰是本节课的教学难点。
进而，我发现，上述问题归根到底是因为，更多地参考了教材和教学内容，而没有研究学生的学习情况：学生的认知基础和思维方式等。
二、改进的教学：更多地基于学情
（一）学情分析
1.学生的已有知识有哪些？
教学一个新的概念时，需要分析学生已经具有的知识。小学阶段有关分数知识的教材编排序列是：从三年级开始初步认识分数，先认识几分之一，再认识几分之几，到五年级时学会将一个整体看作单位“1”，知道分数都是将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。也就是说，五年级学生已经知道了分数的意义、分子与分母表达的含义。
除了上述已有知识，对于假分数的学习，还应该激活哪些已有知识呢？考虑到假分数学习的核心知识，我认为还应激活两个已有知识，即用画图的方式表示一个分数和同分母分数加法计算。通过相关的练习，可以呈现出学生学习的真实情况，使学生产生矛盾冲突，为更好地同化新知识作准备。这样虽然不能完全将假分数的知识同化，但是可以将已有图式进行修改并加以重建，达到对假分数知识的深刻理解。
2.学生的认知难点是什么？
美国心理学家费斯廷格在其认知失调理论中谈到，一个人的行为与自己先前一贯的对自我的认知产生分歧时，就会产生不舒适感、不愉快的情绪。数学教学中，学生接触到的新知与自己原有的旧知不协调时，同样容易造成学习上的困难和心理上的抵触。那么，假分数的学习造成了学生怎样的认知失调呢？
其一，在学习假分数之前，学生遇到的分数中的单位“1”永远只有“一个”，即要么是一个物体、一个计量单位，要么是一堆物体看成的一个整体；从来没有遇到过单位“1”有两个的情况。突然出现含有两个单位“1”的图形，让学生用分数表示涂色的部分，與学生的认知产生冲突。
其二，在学习假分数之前，学生学习过分子和分母相等的假分数，但是从来没有遇到过分子大于分母的假分数。突然出现一个图形，让学生写出一个假分数，与学生的认知产生冲突。
其三，假分数中分子大于分母的情况，是将一个单位“1”平均分成若干份，表示更多的份数。画图表示时，一个单位“1”不够了，要增加一个或几个单位“1”。 此时学生不能理解一幅图中到底谁是单位“1”。
（二）教学设计
在学情分析的基础上，我依据学生的已有知识和认知难点设计教学：
课前布置“预习单”：（1）把一个圆看作单位“1”，分别涂色表示下面的分数：25、14、34、44。（2）5个14是（）（），它的意义是表示（），你能画圆表示这个分数吗？
课上先反馈“预习单”的第（1）题：让学生在投影上展示自己的作品，并说出每个分数的意义。学生能说出“把一个圆平均分成几份，表示这样的几份，就是几分之几”的理解。我提问：34的分数单位是什么？有几个14？44呢？学生都能正确回答。
再重点反馈“预习单”的第（2）题：让学生说出分数及其意义，并在投影上展示自己的作品。学生说出“5个14是54，它是把一个圆看作单位‘1’，平均分成4份，表示这样的5份”，然后展示了一些作品。由此，我展开引导——
师（展示分别如图5、图6、图7所示的三个学生作品，指着图5中多出的一份）这部分表示多少？
生这部分是14。
师你能确定这是14吗？（将四分之一圆补成半圆）如果我这样再画一部分，这部分阴影就表示多少？ 生12。
师照这样，我还能怎么画？
（教师将四分之一圆补成四分之三圆。）
生13。
师照这样的想法，阴影部分还可能是15、16等等。要想确定是14，应该怎么办？
生再画一个同样大小的圆。
师（将四分之一圆补成一个完整的圆）现在你能确定这是14吗？
生能。
师你把谁看作单位“1”？为什么还要再画一个单位“1”？
（学生回答。）
师请你完整地说一说：我们是怎样表示54的？
生把一个圆看作单位“1”，平均分成4份，表示这样的4份；再画一个单位“1”，平均分成4份，表示这样的1份。
师（展示分别如图8、图9、图10所示的三个学生作品）为什么写出一个加法算式呢？
生我想，54=44+14，而44=1，不够，要再借一个14，所以再画一个圆，并把它平均分成4份，表示这样的1份。
师这些同学想到了同分母分数加法，他们是把54看成14+44来做的。（稍停）比较这三幅图，有什么相同点？
生都是将一个圆看作单位“1”。
至此，学生对假分数有了一定的感知。接着，我出示巩固练习：画图表示64、84。学生画完后汇报画法：“把一个圆看作单位‘1’，平均分成4份，表示这样的4份；再画一个单位‘1’，平均分成4份，表示这样的2份。”我提问：“为什么再画一个圆？”学生也都能正确回答。
在此基礎上，课件出示图11，提出问题：“刚刚我们通过画图认识了这三个分数，它们有什么相同之处呢？”学生回答：“三个分数的分母相同。”“分数单位相同。”“画图时都要再画一个单位‘1’。”“分子和分母相等或者比分母大。”我引导学生总结出假分数的意义。
然后，再出示巩固练习：看图（图12）写出涂色部分表示的分数。学生回答正确并说明了理由。如第二幅图，学生说：“把一个长方形看作单位‘1’，平均分成3份，表示这样的3
份；再画一个单位‘1’，平均分成3份，表示这样的3份；再画一个单位‘1’，平均分成3份，表示这样的1份。合起来是73。”我提问：“为什么要画出3个单位‘1’？”学生回答也完全正确。
通过上述教学，学生深刻理解了假分数的意义。这时，再做教材“练一练”的第三、四小题，学生正确率很高。
（三）教学反思
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指
出：“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生。”贲友林老师说过：“将教师教学用书中的课时教学任务参考作为依据，这本身并没有错，遗憾的是忽略了‘参考’二字。事实上，一节课教学内容的确定，既要考虑教材的预设，又要考虑学生的学习状况。”
对于本节课，常规的教学设计完全按照教材的内容安排，想当然地认为只要解决了分子和分母的关系，假分数的教学任务就顺利完成了。但是，教师从成人视角设想的重点不是学生儿童视角下的难点，导致实际教学效果与预设教学目标大相径庭。这给我们的启发是，教学应该从学生出发，为学生设计，也就是要以学为中心，了解学情，研究学情，顺应学情，发展学情。而要做到这一点，就要关注学生已经知道了什么，可能达到怎样的认识水平，尤其是发展过程中的难点是什么，据此进行教学设计。
对于本节课，学生知道分数的意义，会画图表示分数，会计算同分母分数加法；容易理解假分数中分子与分母的关系，难以理解的是假分数的意义，归根结底是对单位“1”的处理。改进的教学设计以学生的知识经验为基础，让学生经历知识形成的过程，帮助学生突破学习难点。让学生经历说一说、画一画、议一议的过程，从而获得发现的机会，并因此暴露了学习中的各种问题、困难和矛盾，进而在实践、思辨中同化、顺应，最终深刻地理解假分数的意义。经历这样的过程，不仅可以让学生获得成功的体验，而且有利于培养学生解决问题的能力。
参考文献：
[1] 檀传宝.世界教育思想地图：50位现当代教育思想大师探访[M].福州：福建教育出版社，2009.
[2] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2002.
[3] 贲友林.贲友林与学为中心数学课堂[M].北京：北京师范大学出版社，2016.
（一）教材解读
苏教版小学数学五年级数学下册《真分数和假分数》一课的教学目标之一，是认识真分数和假分数，能判断一个分数是真分数还是假分数。该怎样达到这样的教学目标呢？备课时，我认真研读了苏教版教材，并且翻阅了人教版教材作为参考。
我发现，苏教版教材中，例5（如图1）明确告知学生把一个圆看作单位“1”，要求学生涂色表示出14、34、44、54；例6（如图2）要求学生在图中涂色表示出25、105、135；在此基础上引导学生将得到的分数分类，得出真分数和假分数的概念。人教版教材的设计也基本相同：例1同样是把一个圆看作单位“1”，用分数表示出涂色部分，得到13、34、56，不同的是得出分数后直接比较分子和分母的大小，得出真分数的概念；例2则出示三组已经涂色的图形，分别表示分数44、74、115，然后比较分子和分母的大小，得出假分数的概念。
（二）教学设计
在教材解读与比较的基础上，我依据苏教版教材设计教学：
依次教学例5、例6，然后引导学生比较例5、例6，在此基础上概括真分数和假分数的意义（如图3）。
接着，给出一些分数，让学生分辨是不是假分数，发现学生没什么错误。再教学“练一练”（如图4），却发现很多学生出现了问题：对于第三、四小题，写出了78、66这样的分数。反馈时，我询问学生是怎样想的。学生回答：“第三个图形是平均分成8份，表示这样的7份，所以是78。”我着重说明：“这里是将一个长方形看作单位‘1’，平均分成4份，表示这样的7份，所以分母是4。”但是学生不能理解：“明明是两个长方形，平均分成8份，分母为什么是4？”
（三）教学反思
从学生课堂的表现来看，我课前预设的教学目标没有实现。学生为什么会出现这样的错误呢？问题究竟在哪里？
我想到，假分数仍然是一个分数，认识分数就应该从分数的意义出发，描述其意义就会牵涉单位“1”的问题，但是学生恰恰不知道将谁看作单位“1”——例5、例6的设计已经直接告知学生把一个圆看作单位“1”，学生只要涂色表示出分数就行了，即只要关注分数的分子，数出相应的份数就行了。可见，这里的教学忽略了将谁看作单位“1”，忽略了假分数作为一个分数的意义——虽然关注了分子和分母的关系，但是忽略了分母的意义。而这，恰恰是本节课的教学难点。
进而，我发现，上述问题归根到底是因为，更多地参考了教材和教学内容，而没有研究学生的学习情况：学生的认知基础和思维方式等。
二、改进的教学：更多地基于学情
（一）学情分析
1.学生的已有知识有哪些？
教学一个新的概念时，需要分析学生已经具有的知识。小学阶段有关分数知识的教材编排序列是：从三年级开始初步认识分数，先认识几分之一，再认识几分之几，到五年级时学会将一个整体看作单位“1”，知道分数都是将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。也就是说，五年级学生已经知道了分数的意义、分子与分母表达的含义。
除了上述已有知识，对于假分数的学习，还应该激活哪些已有知识呢？考虑到假分数学习的核心知识，我认为还应激活两个已有知识，即用画图的方式表示一个分数和同分母分数加法计算。通过相关的练习，可以呈现出学生学习的真实情况，使学生产生矛盾冲突，为更好地同化新知识作准备。这样虽然不能完全将假分数的知识同化，但是可以将已有图式进行修改并加以重建，达到对假分数知识的深刻理解。
2.学生的认知难点是什么？
美国心理学家费斯廷格在其认知失调理论中谈到，一个人的行为与自己先前一贯的对自我的认知产生分歧时，就会产生不舒适感、不愉快的情绪。数学教学中，学生接触到的新知与自己原有的旧知不协调时，同样容易造成学习上的困难和心理上的抵触。那么，假分数的学习造成了学生怎样的认知失调呢？
其一，在学习假分数之前，学生遇到的分数中的单位“1”永远只有“一个”，即要么是一个物体、一个计量单位，要么是一堆物体看成的一个整体；从来没有遇到过单位“1”有两个的情况。突然出现含有两个单位“1”的图形，让学生用分数表示涂色的部分，與学生的认知产生冲突。
其二，在学习假分数之前，学生学习过分子和分母相等的假分数，但是从来没有遇到过分子大于分母的假分数。突然出现一个图形，让学生写出一个假分数，与学生的认知产生冲突。
其三，假分数中分子大于分母的情况，是将一个单位“1”平均分成若干份，表示更多的份数。画图表示时，一个单位“1”不够了，要增加一个或几个单位“1”。 此时学生不能理解一幅图中到底谁是单位“1”。
（二）教学设计
在学情分析的基础上，我依据学生的已有知识和认知难点设计教学：
课前布置“预习单”：（1）把一个圆看作单位“1”，分别涂色表示下面的分数：25、14、34、44。（2）5个14是（）（），它的意义是表示（），你能画圆表示这个分数吗？
课上先反馈“预习单”的第（1）题：让学生在投影上展示自己的作品，并说出每个分数的意义。学生能说出“把一个圆平均分成几份，表示这样的几份，就是几分之几”的理解。我提问：34的分数单位是什么？有几个14？44呢？学生都能正确回答。
再重点反馈“预习单”的第（2）题：让学生说出分数及其意义，并在投影上展示自己的作品。学生说出“5个14是54，它是把一个圆看作单位‘1’，平均分成4份，表示这样的5份”，然后展示了一些作品。由此，我展开引导——
师（展示分别如图5、图6、图7所示的三个学生作品，指着图5中多出的一份）这部分表示多少？
生这部分是14。
师你能确定这是14吗？（将四分之一圆补成半圆）如果我这样再画一部分，这部分阴影就表示多少？ 生12。
师照这样，我还能怎么画？
（教师将四分之一圆补成四分之三圆。）
生13。
师照这样的想法，阴影部分还可能是15、16等等。要想确定是14，应该怎么办？
生再画一个同样大小的圆。
师（将四分之一圆补成一个完整的圆）现在你能确定这是14吗？
生能。
师你把谁看作单位“1”？为什么还要再画一个单位“1”？
（学生回答。）
师请你完整地说一说：我们是怎样表示54的？
生把一个圆看作单位“1”，平均分成4份，表示这样的4份；再画一个单位“1”，平均分成4份，表示这样的1份。
师（展示分别如图8、图9、图10所示的三个学生作品）为什么写出一个加法算式呢？
生我想，54=44+14，而44=1，不够，要再借一个14，所以再画一个圆，并把它平均分成4份，表示这样的1份。
师这些同学想到了同分母分数加法，他们是把54看成14+44来做的。（稍停）比较这三幅图，有什么相同点？
生都是将一个圆看作单位“1”。
至此，学生对假分数有了一定的感知。接着，我出示巩固练习：画图表示64、84。学生画完后汇报画法：“把一个圆看作单位‘1’，平均分成4份，表示这样的4份；再画一个单位‘1’，平均分成4份，表示这样的2份。”我提问：“为什么再画一个圆？”学生也都能正确回答。
在此基礎上，课件出示图11，提出问题：“刚刚我们通过画图认识了这三个分数，它们有什么相同之处呢？”学生回答：“三个分数的分母相同。”“分数单位相同。”“画图时都要再画一个单位‘1’。”“分子和分母相等或者比分母大。”我引导学生总结出假分数的意义。
然后，再出示巩固练习：看图（图12）写出涂色部分表示的分数。学生回答正确并说明了理由。如第二幅图，学生说：“把一个长方形看作单位‘1’，平均分成3份，表示这样的3
份；再画一个单位‘1’，平均分成3份，表示这样的3份；再画一个单位‘1’，平均分成3份，表示这样的1份。合起来是73。”我提问：“为什么要画出3个单位‘1’？”学生回答也完全正确。
通过上述教学，学生深刻理解了假分数的意义。这时，再做教材“练一练”的第三、四小题，学生正确率很高。
（三）教学反思
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指
出：“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生。”贲友林老师说过：“将教师教学用书中的课时教学任务参考作为依据，这本身并没有错，遗憾的是忽略了‘参考’二字。事实上，一节课教学内容的确定，既要考虑教材的预设，又要考虑学生的学习状况。”
对于本节课，常规的教学设计完全按照教材的内容安排，想当然地认为只要解决了分子和分母的关系，假分数的教学任务就顺利完成了。但是，教师从成人视角设想的重点不是学生儿童视角下的难点，导致实际教学效果与预设教学目标大相径庭。这给我们的启发是，教学应该从学生出发，为学生设计，也就是要以学为中心，了解学情，研究学情，顺应学情，发展学情。而要做到这一点，就要关注学生已经知道了什么，可能达到怎样的认识水平，尤其是发展过程中的难点是什么，据此进行教学设计。
对于本节课，学生知道分数的意义，会画图表示分数，会计算同分母分数加法；容易理解假分数中分子与分母的关系，难以理解的是假分数的意义，归根结底是对单位“1”的处理。改进的教学设计以学生的知识经验为基础，让学生经历知识形成的过程，帮助学生突破学习难点。让学生经历说一说、画一画、议一议的过程，从而获得发现的机会，并因此暴露了学习中的各种问题、困难和矛盾，进而在实践、思辨中同化、顺应，最终深刻地理解假分数的意义。经历这样的过程，不仅可以让学生获得成功的体验，而且有利于培养学生解决问题的能力。
参考文献：
[1] 檀传宝.世界教育思想地图：50位现当代教育思想大师探访[M].福州：福建教育出版社，2009.
[2] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2002.
[3] 贲友林.贲友林与学为中心数学课堂[M].北京：北京师范大学出版社，2016.