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[摘要] 利用标的股票的日收盘价格数据进行GARCH-M参数估计，然后利用物理测度和风险中性测度之间的局部风险中性定价关系，为目前国内的备兑权证进行定价。定价结果表明GARCH框架下的权证定价模型比历史波动率模型能够更好地吻合市场数据，但和市场价格之间仍有差距。分析了这种差异的原因，并给出相应的对策建议。
[关键词] GARCH-M 权证 局部风险中性定价关系
20世纪70年代早期，Black & Scholes(1973)提出了B-S模型，在期权定价理论上取得了重大的突破，他们和Merton(1973)的基础性工作促进了金融衍生产品的研究和开发，给金融工程的研究和应用带来了飞跃的发展。但随后的研究表明B-S模型在实际应用中存在着许多局限性。除了连续交易这个假定外，B-S模型的一个关键假定是对数正态。然而，对数正态假定并不能解释大量的资产收益序列的经验现象，其中最重要的是资产收益的尖峰和波动率聚类性。于是许多考虑资产收益率异方差性的期权定价模型便相继问世了。如Cox(1975)的CEV模型，Merton(1976)的跳跃扩散模型，以及Hull & White(1987)提出的随机波动率模型等。
随着计量经济学中GARCH类模型在拟合资产收益方面的巨大成功，研究者开始扩展GARCH类模型到期权定价领域。GARCH类过程是由ARCH类演变而来的，ARCH类模型首先由Engle(1982)提出，并逐渐成为研究时变波动率模型中最重要的一个。Bollerslev(1986)在ARCH类模型的基础上又提出了GARCH类模型，由于GARCH类模型能够很好地解释金融时间序列的波动率聚类和厚尾现象，得到了广泛的认同，成为金融学研究中的一个重要的理论工具。如果标的证券动态由GARCH-M过程给定，Duan(1995)给出了物理测度和风险中性测度之间的变换，并且由此建立了欧式期权定价基础。同时因为同方差资产收益过程是GARCH模型的一个特例，因此GARCH期权定价模型也把B-S模型纳入其中。随后Duan & Zhang(2001), Heston & Nandi(2000)等的实证分析也都说明了与B-S模型相比，用GARCH模型得到的期权定价结果和市场价格更吻合。然而目前的大多实证研究都以指数作为标的进行研究，但正如Duan(1995)所表明的，因为指数一般和总消费相关，因此GARCH期权定价模型更适合于个体股票期权定价。
从严格意义上来讲，国内目前还没有真正的期权产品。但伴随股改产生的权证，是目前国内市场上惟一的衍生产品，由于备兑权证在很多方面都类似于期权，因此大多用B-S公式为其定价。然而用B-S公式得到的价格和市场价格有很大差异，因此找到合理的权证定价方法就成为业界和学界都十分关心的问题。国内关于股票市场和权证市场之间关系的研究文献较多，而对定价进行研究的还不是很多，谢远涛等(2007) 给出了带常数项与趋势项的O-U过程的权证定价方法，王健等(2006)建立了有交易成本的GARCH扩散期权定价模型。本文拟在GARCH-M框架下对权证定价问题进行实证研究，并将定价结果和B-S公式得到的结果进行比较。
一、GARCH-M框架下期权定价模型
这个模型建立在一个均衡论证基础上，并且它描述了期权在离散GARCH-M背景下定价的动态。下面我们用标准离散时间描述GARCH-M期权定价模型。特别地，这里限定模型为GARCH(1,1)。
正式地，在数据生成概率测度P下资产收益的动态是：
(1)
(2)
这里r是一期无风险收益率，是单位风险溢价，ht+1是资产收益的条件方差，在信息集上是标准正态随机变量。条件方差GARCH过程，要求参数。
利用Duan(1995)的定价结果，在局部风险中性测度Q下资产收益过程可以写为：
(3)
(4)
这里在局部风险中性测度Q下是标准正态随机变量，注意风险中性系统仍然是一个GARCH-M模型。的平稳方差，在概率测度Q下是。风险中性系统是期权定价的主要部分，因为在测度Q下简单地取贴现平均，就能够得到一个欧式期权合约的价值。
虽然在引言里已经谈到B-S模型用到的同方差过程是GARCH过程的一个特例，但是在GARCH框架下B-S模型的解释却相当复杂。当实际控制过程是异方差时，在不正确的同方差假定下，为了保持模型的一致性，风险中性必须是一个全局性质。这个不正确的假定因此要求资产波动率必须关于风险中性保持不变。当标的过程遵循GARCH过程时使用B-S模型，因此应该认为在B-S公式中使用GARCH资产收益过程的平稳方差。也就是说，GARCH框架下的B-S期权定价公式应该解释为对风险中性资产收益过程利用了一个不正确的同方差假定和一个不正确的无条件标准差。
特别地，B-S看涨期权价格可以写为：
(5)
这里。粗略地讲，GARCH期权定价和它的B-S对应可以认为是利用了两个不同的资产收益波动率水平。
二、参数估计与数值定价结果
1.样本选择
选取上海证券交易所的首创股份（600008）和青岛海尔（600690），以及深圳证券交易所的华菱管线（000932）和中集集团（000039）作为标的进行GARCH-M参数估计。其中对应首创股份和青岛海尔的权证首创JTB1（认购）和海尔JTP1（认沽）存续期都是一年。而对应华菱管线和中集集团的权证华菱JTP1（认沽）和中集ZYP1（认沽）的存续期分别为24个月和18个月。由于GARCH波动率不适合预测长的期限，因此我们的数据对前两支股票截至到离权证到期日还有6个月；而对后两支股票截至到离权证到期日还有12个月。另外当用GARCH估计参数时，大样本的估计更稳健，因此数据样本从股票开始交易那天算起。
表1 GARCH参数估计
注：括号内数值为标准差，渐近统计量表明所有系数在统计意义下显著。
2.GARCH-M参数估计
由于样本属于大样本，因此可以采用最大化对数似然函数进行估计。具体地说，也就是最大化
(6)
利用 GAUSS编程计算得到如表1所示的估计结果。
3.GARCH-M框架下的权证定价结果
前面第一节中已经建立资产收益的物理测度和风险中性测度之间的转换关系，在风险中性测度Q下，资产的到期价格可以表示为：
(7)
则到期日为T，有执行价格K的欧式看涨期权在时刻t的价格可以表示为：
(8)
由看涨看跌期权之间的平价关系，可以立即得出欧式看跌期权的价格。利用20000次蒙特卡罗模拟可以得到如表2第5列所示的计算结果。
表2 GARCH-M下的权证定价结果
注1：中集ZYP1的行权比例不是通常的1：1，而是1：1.128，计算结果已按比例调整。
在表2中的第6列给出了利用GARCH平稳方差计算的B-S价格。同时为了便于比较，在表2中的第7列我们也给出了利用历史平均波动率给出的B-S期权价格，表2中的最后一列是市场价格。从表2的计算结果可以看出，由于GARCH波动率抓住了资产收益的厚尾和波动率聚类性质，因此利用GARCH波动率的定价模型和历史平均波动率得到的价格相比有较大的差异。而利用GARCH得到的权证价格更加吻合市场价格，从而表明GARCH框架下的期权定价有更好的表现。然而GARCH框架下的价格和市场价格之间仍然有一个较大的差异。
三、结论和建议
本文在GARCH框架下，对目前国内市场上的衍生权证产品进行了定价。定价结果表明GARCH框架下的权证价格比历史波动率模型有更好的定价表现。但是定价结果和实际的市场价格之间仍然存在差异。这一方面可能是由于模型的简化导致的定价误差。另一方面也可能是制度方面的原因导致价格的炒作。因此我们的研究为进一步的研究提供以下建议。
首先，对券商部门提出了建立适宜的权证定价与估值方法的要求。权证为正股的衍生产品。其价格与正股的波动密切相关。但是，房振明等(2006)]研究发现，我国股票市场对权证市场不存在线性和非线性的Granger因果关系。标的股票的价格、波动性等特征并不影响对应权证的价格。因此目前普遍使用的B-S定价模型无效。对券商而言，积极探索权证定价更为合理的方法，建立适合我国市场的权证定价模型成为迫切之需。
其次，完善市场交易制度。应该看到我们的权证市场还很不成熟：涨跌幅的杠杆效应和T+0的交易制度让权证市场充满了诱惑，而更具诱惑力的是同一笔资金一个交易日可以多次进出权证市场。若说认购权证的火爆表现出一定基本面支撑的话，认沽权证的暴涨则是完全出于炒作了。如5月30日调整印花税后，在到期日不足一个月的情况下，盐湖钾肥的认沽权证一下子由5月29号的0.844元大涨到6月1号的6.07元。如果没有市场的炒作，这么剧烈的价格变化是完全不能想象的。
再次，完善市场套利和避险功能。由于我国无论是正股还是权证都不存在卖空机制，投资者无法通过卖空操作来对冲风险。开启权证市场的意义更应该在于为投资者提供套利和规避风险的金融工具。因此建立市场卖空机制，完善市场套利和避险功能，提高价格发现功能，已经成为市场的燃眉之急。
参考文献：
[1]Duan, J.-C. The GARCH option pricing model[J]. Mathematical Finance,1995, 5(1)：13-32
[2]Duan, J.-C., Zhang, H. Pricing Heng Seng index options around Asian financial crisis-a GARCH approach[J]. Journal of Banking and Finance, 2001, 25: 1989-2014
[3]Hesten, S.L., Nandi, S. A closed-form GARCH option valuation model[J].The Review of Financial Studies, 2000, 13(3): 585-625.
[4]谢远涛杨娟杜英:基于带常数项与趋势项的O-U过程的权证定价[J]. 南方经济, 2007,(2)
[5]王健李超杰何建敏:有交易成本的GARCH扩散期权定价模型[J]. 2006,36(1)
[6]房振明王春峰等:我国股票与权证市场之间的线性及非线性因果关系[J].系统工程, 2006, 24(7)
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
[关键词] GARCH-M 权证 局部风险中性定价关系
20世纪70年代早期，Black & Scholes(1973)提出了B-S模型，在期权定价理论上取得了重大的突破，他们和Merton(1973)的基础性工作促进了金融衍生产品的研究和开发，给金融工程的研究和应用带来了飞跃的发展。但随后的研究表明B-S模型在实际应用中存在着许多局限性。除了连续交易这个假定外，B-S模型的一个关键假定是对数正态。然而，对数正态假定并不能解释大量的资产收益序列的经验现象，其中最重要的是资产收益的尖峰和波动率聚类性。于是许多考虑资产收益率异方差性的期权定价模型便相继问世了。如Cox(1975)的CEV模型，Merton(1976)的跳跃扩散模型，以及Hull & White(1987)提出的随机波动率模型等。
随着计量经济学中GARCH类模型在拟合资产收益方面的巨大成功，研究者开始扩展GARCH类模型到期权定价领域。GARCH类过程是由ARCH类演变而来的，ARCH类模型首先由Engle(1982)提出，并逐渐成为研究时变波动率模型中最重要的一个。Bollerslev(1986)在ARCH类模型的基础上又提出了GARCH类模型，由于GARCH类模型能够很好地解释金融时间序列的波动率聚类和厚尾现象，得到了广泛的认同，成为金融学研究中的一个重要的理论工具。如果标的证券动态由GARCH-M过程给定，Duan(1995)给出了物理测度和风险中性测度之间的变换，并且由此建立了欧式期权定价基础。同时因为同方差资产收益过程是GARCH模型的一个特例，因此GARCH期权定价模型也把B-S模型纳入其中。随后Duan & Zhang(2001), Heston & Nandi(2000)等的实证分析也都说明了与B-S模型相比，用GARCH模型得到的期权定价结果和市场价格更吻合。然而目前的大多实证研究都以指数作为标的进行研究，但正如Duan(1995)所表明的，因为指数一般和总消费相关，因此GARCH期权定价模型更适合于个体股票期权定价。
从严格意义上来讲，国内目前还没有真正的期权产品。但伴随股改产生的权证，是目前国内市场上惟一的衍生产品，由于备兑权证在很多方面都类似于期权，因此大多用B-S公式为其定价。然而用B-S公式得到的价格和市场价格有很大差异，因此找到合理的权证定价方法就成为业界和学界都十分关心的问题。国内关于股票市场和权证市场之间关系的研究文献较多，而对定价进行研究的还不是很多，谢远涛等(2007) 给出了带常数项与趋势项的O-U过程的权证定价方法，王健等(2006)建立了有交易成本的GARCH扩散期权定价模型。本文拟在GARCH-M框架下对权证定价问题进行实证研究，并将定价结果和B-S公式得到的结果进行比较。
一、GARCH-M框架下期权定价模型
这个模型建立在一个均衡论证基础上，并且它描述了期权在离散GARCH-M背景下定价的动态。下面我们用标准离散时间描述GARCH-M期权定价模型。特别地，这里限定模型为GARCH(1,1)。
正式地，在数据生成概率测度P下资产收益的动态是：
(1)
(2)
这里r是一期无风险收益率，是单位风险溢价，ht+1是资产收益的条件方差，在信息集上是标准正态随机变量。条件方差GARCH过程，要求参数。
利用Duan(1995)的定价结果，在局部风险中性测度Q下资产收益过程可以写为：
(3)
(4)
这里在局部风险中性测度Q下是标准正态随机变量，注意风险中性系统仍然是一个GARCH-M模型。的平稳方差，在概率测度Q下是。风险中性系统是期权定价的主要部分，因为在测度Q下简单地取贴现平均，就能够得到一个欧式期权合约的价值。
虽然在引言里已经谈到B-S模型用到的同方差过程是GARCH过程的一个特例，但是在GARCH框架下B-S模型的解释却相当复杂。当实际控制过程是异方差时，在不正确的同方差假定下，为了保持模型的一致性，风险中性必须是一个全局性质。这个不正确的假定因此要求资产波动率必须关于风险中性保持不变。当标的过程遵循GARCH过程时使用B-S模型，因此应该认为在B-S公式中使用GARCH资产收益过程的平稳方差。也就是说，GARCH框架下的B-S期权定价公式应该解释为对风险中性资产收益过程利用了一个不正确的同方差假定和一个不正确的无条件标准差。
特别地，B-S看涨期权价格可以写为：
(5)
这里。粗略地讲，GARCH期权定价和它的B-S对应可以认为是利用了两个不同的资产收益波动率水平。
二、参数估计与数值定价结果
1.样本选择
选取上海证券交易所的首创股份（600008）和青岛海尔（600690），以及深圳证券交易所的华菱管线（000932）和中集集团（000039）作为标的进行GARCH-M参数估计。其中对应首创股份和青岛海尔的权证首创JTB1（认购）和海尔JTP1（认沽）存续期都是一年。而对应华菱管线和中集集团的权证华菱JTP1（认沽）和中集ZYP1（认沽）的存续期分别为24个月和18个月。由于GARCH波动率不适合预测长的期限，因此我们的数据对前两支股票截至到离权证到期日还有6个月；而对后两支股票截至到离权证到期日还有12个月。另外当用GARCH估计参数时，大样本的估计更稳健，因此数据样本从股票开始交易那天算起。
表1 GARCH参数估计
注：括号内数值为标准差，渐近统计量表明所有系数在统计意义下显著。
2.GARCH-M参数估计
由于样本属于大样本，因此可以采用最大化对数似然函数进行估计。具体地说，也就是最大化
(6)
利用 GAUSS编程计算得到如表1所示的估计结果。
3.GARCH-M框架下的权证定价结果
前面第一节中已经建立资产收益的物理测度和风险中性测度之间的转换关系，在风险中性测度Q下，资产的到期价格可以表示为：
(7)
则到期日为T，有执行价格K的欧式看涨期权在时刻t的价格可以表示为：
(8)
由看涨看跌期权之间的平价关系，可以立即得出欧式看跌期权的价格。利用20000次蒙特卡罗模拟可以得到如表2第5列所示的计算结果。
表2 GARCH-M下的权证定价结果
注1：中集ZYP1的行权比例不是通常的1：1，而是1：1.128，计算结果已按比例调整。
在表2中的第6列给出了利用GARCH平稳方差计算的B-S价格。同时为了便于比较，在表2中的第7列我们也给出了利用历史平均波动率给出的B-S期权价格，表2中的最后一列是市场价格。从表2的计算结果可以看出，由于GARCH波动率抓住了资产收益的厚尾和波动率聚类性质，因此利用GARCH波动率的定价模型和历史平均波动率得到的价格相比有较大的差异。而利用GARCH得到的权证价格更加吻合市场价格，从而表明GARCH框架下的期权定价有更好的表现。然而GARCH框架下的价格和市场价格之间仍然有一个较大的差异。
三、结论和建议
本文在GARCH框架下，对目前国内市场上的衍生权证产品进行了定价。定价结果表明GARCH框架下的权证价格比历史波动率模型有更好的定价表现。但是定价结果和实际的市场价格之间仍然存在差异。这一方面可能是由于模型的简化导致的定价误差。另一方面也可能是制度方面的原因导致价格的炒作。因此我们的研究为进一步的研究提供以下建议。
首先，对券商部门提出了建立适宜的权证定价与估值方法的要求。权证为正股的衍生产品。其价格与正股的波动密切相关。但是，房振明等(2006)]研究发现，我国股票市场对权证市场不存在线性和非线性的Granger因果关系。标的股票的价格、波动性等特征并不影响对应权证的价格。因此目前普遍使用的B-S定价模型无效。对券商而言，积极探索权证定价更为合理的方法，建立适合我国市场的权证定价模型成为迫切之需。
其次，完善市场交易制度。应该看到我们的权证市场还很不成熟：涨跌幅的杠杆效应和T+0的交易制度让权证市场充满了诱惑，而更具诱惑力的是同一笔资金一个交易日可以多次进出权证市场。若说认购权证的火爆表现出一定基本面支撑的话，认沽权证的暴涨则是完全出于炒作了。如5月30日调整印花税后，在到期日不足一个月的情况下，盐湖钾肥的认沽权证一下子由5月29号的0.844元大涨到6月1号的6.07元。如果没有市场的炒作，这么剧烈的价格变化是完全不能想象的。
再次，完善市场套利和避险功能。由于我国无论是正股还是权证都不存在卖空机制，投资者无法通过卖空操作来对冲风险。开启权证市场的意义更应该在于为投资者提供套利和规避风险的金融工具。因此建立市场卖空机制，完善市场套利和避险功能，提高价格发现功能，已经成为市场的燃眉之急。
参考文献：
[1]Duan, J.-C. The GARCH option pricing model[J]. Mathematical Finance,1995, 5(1)：13-32
[2]Duan, J.-C., Zhang, H. Pricing Heng Seng index options around Asian financial crisis-a GARCH approach[J]. Journal of Banking and Finance, 2001, 25: 1989-2014
[3]Hesten, S.L., Nandi, S. A closed-form GARCH option valuation model[J].The Review of Financial Studies, 2000, 13(3): 585-625.
[4]谢远涛杨娟杜英:基于带常数项与趋势项的O-U过程的权证定价[J]. 南方经济, 2007,(2)
[5]王健李超杰何建敏:有交易成本的GARCH扩散期权定价模型[J]. 2006,36(1)
[6]房振明王春峰等:我国股票与权证市场之间的线性及非线性因果关系[J].系统工程, 2006, 24(7)
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。