在学习一次函数时,不少学生感觉困难,其实,只要能正确把握数学思想,就可使解题思路开阔,问题从而迎刃而解。
　　
　　一、数形结合思想
　　
　　形象思维能力是数学思维能力的一个重要方面,加强数形的结合是一次函数学习中的重要特征。数形结合的思想方法就是把数量关系与图形结合起来进行思考分析的方法,它可以使抽象、复杂的问题变得直观、简单、明了。
　　例:如图,表示东风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系;以及摩托车厂一天的销售成本与摩托车销售量的关系。
　　(1)试写出销售收入与销售量之间的函数关系式;
　　(2)试写出销售成本与销售量之间的函数关系式;
　　(3)当一天的销售量为多少辆时,销售收入等于销售成本?
　　(4)当一天的销售超过多少辆时,工厂才能获利?
　　解:﹙1﹚y = x
　　﹙2﹚设 y = kx+b
　　∵ 直线过﹙0,2﹚、﹙4,4﹚两点,
　　∴ y=kx+2
　　又4=4k+2
　　∴k=1/2
　　∴y=1/2x+2
　　﹙3﹚由图像知,当x=4时,销售收入等于销售成本或x=1/2x+2, ∴x=4
　　﹙4﹚由图像知,当x>4时,工厂才能获利或x>1/2x+2即x>4时才能获利。
　　点评:根据图像回答问题,只要细心观察图像,答案容易找到。由函数图像解答问题的方法为“数形结合”,即在图像上由相应点(形的特征)得出对应的坐(数的表示),形成由数表示形,由形反映数,构建“数”与“形”的统一。
　　
　　二、转化思想
　　
　　巧妙的运用“转化”是“一次函数”学习中另一思想方法特征:把求函数值的问题转化为求代数式的值的问题,把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题,把实际问题转化为函数模型问题,从而利用函数的概念及性质解决实际问题。
　　例:蜡烛点燃掉的长度和点燃的时间成正比。一支蜡烛如点6分钟,剩下蜡烛的长度为12厘米;如点16分钟,剩下蜡烛的长度为7厘米;假设蜡烛点燃x分钟,剩下烛长y厘米。求出y与x之间的函数关系式,画出图像,并求这只蜡烛燃完需多少时间?
　　思路分析:蜡烛点燃掉的长度和点燃的时间成正比,可设a=kx(a为点燃掉的长度),若蜡烛长为b厘米,则y=b-a,即y=b- kx,所以y与x之间是一次函数关系,由于点燃的时间是有限的,因此,其图像是一条线段。
　　解:设蜡烛长为b厘米,x分钟燃掉kx厘米(k>0),则y=b-kx
　　由题中已知条件可知:x=6时,y=12;x=16时,y=7
　　由此可得:12=b-6k
　　7= b-16k
　　解这个方程组,得:k=1/2
　　b =15
　　所以,y与x之间的函数关系式为:y=15-1/2x
　　由x=0 时,y=15且 y=0时,x=30
　　所以,连接两点A(0,15)和B(30,0)的线段就是函数y=15-1/2 x(0≤x≤30)的图像,蜡烛燃完的时间是30分钟。
　　点评:把实际问题转化为函数模型问题,从而利用函数的概念及性质解决实际问题。