论文部分内容阅读
同学们，大家在学习“平面直角坐标系”这一章内容时，要认真地把教科书上的习题做一做。做完以后，大家就会发现平面直角坐标系中点的坐标有什么特征了.
一、各象限内的点的坐标特征
例1（习题7.1第2题）根据点所在的位置，用“ ”“-”填写表1.
解析：略
通过填写表1，我们可以归纳出各象限内的点的坐标特征：
1.第一象限内的点的坐标的符号为（ ， ），第二象限内的点的坐标的符号为（-， ），第三象限内的点的坐标的符号为（-，-），第四象限内的点的坐标的符号为（ ，-）.
2.第一象限和第三象限内的点，其横坐标与纵坐标符号相同.
3.第二象限和第四象限内的点，其横坐标与纵坐标符号相反.
例2 已知点M（m，n）在第二象限，则点N（n 1，m-1）在（）.
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：因为点M（m，n）在第二象限，所以m<0，n>0.所以m-1<0，n 1>0.
所以点N（n 1，m-1）在第四象限.
故选D.
例3 根据点所在的位置，用“ ”“-”“0”填写表2.
解析：略.
通过填写表2，我们可以归纳出坐标轴上的点的坐标特征：
1.X轴上的点的纵坐标都为0，所以X轴上的点的坐标可表示为（X，0）.若点在X轴的正半轴上，则X>0；若点在X轴的负半轴上，则X<0；若点在原点处，则X=0.
2.y轴上的点的横坐标都为0，所以y轴上的点的坐标可表示为（0，y）.若点在y轴的正半轴上，则y>0；若点在y轴的负半轴上，则y<0；若点在原点处，则y=0.
3.原点的横坐标、纵坐标均为0.
例4 已知点A （1 m，2m-1）在X轴上，那么m=_____，点A的坐标为_____.
解析：因为点A在x轴上，所以2m-1=0.解得m=1/2.故1 m=3/2.
所以点A的坐标为（3/2，0）.
三象限的角平分线上的点的坐标特征
虽然我们在前面讨论了各象限内的点的坐标特征，但是因为各象限内有一些比较特殊的点，所以我们把这些点列出来进行讨论.
例5 （习题7.1第5题，有改动）如图1，根据要求描点，并总结规律.
（1）在所给的平面直角坐标系中描出点A（-4，-4），B（-2，-2），C（3，3），D（5，5），E（-3，-3），0（0，0）.这些点各自的横坐标、纵坐标有什么关系？这些点有什么关系？
（2）在所给的平面直角坐标系中描出点G（-4，4），H（3，-3），M（-5，5），N（2，-2）.这些点各自的横坐标、纵坐标有什么关系？这些点有什么关系？
解析：（1）如图2，这些点各自的横坐标、纵坐标相等，如果将这些点连起来，可以发现它们都在第一、三象限的角平分线上.
（2）如图3，这些点各自的横坐标、纵坐标互为相反数，如果将这些点连起来，可以发现它们都在第二、四象限的角平分线上.
通过解答例5，我们可以归纳出各象限的角平分线上的点的坐标特征：
1.第一、三象限的角平分线上的点，其横坐标、纵坐标相等.
2.第二、四象限的角平分线上的点，其横坐标、纵坐标互为相反数.
例6 已知点P（ 3n 2，7 -2n）位于象限的角平分线上，则点P的坐标为_____.
解析：当点P在第一、三象限的角平分线上时，可得3n 2=7-2n.解得n=1.
此时点P的坐标为（5，5）.
当点P在第二、四象限的角平分线上时，可得（3n 2） （7-2n）=0.解得n=-9.
此时点P的坐标为（-25，25）.
综上可知，点P的坐标为（5，5）或（-25，25）
四、平行（垂直）于坐标轴的直线上的点的坐标特征
例7 （习题7.1第8题）建立一个平面直角坐标系，描出点A（-2，4），B（3，4），画直线AB.若点C为直线AB上的任意一点，则点C的纵坐标是什么？想一想：
（1）如果一些点在平行于X轴的直线上，那么这些点的纵坐标有什么特征？
（2）如果一些点在平行于y轴的直线上，那么这些点的横坐标有什么特征？
解析：略.
通过解答例7，我们可以归纳出平行（垂直）于坐标轴的直线上的点的坐标特征：
1.平行于X轴（垂直于y轴）的直线上的点，其纵坐标都相等.
2.平行于y轴（垂直于X轴）的直线上的点，其横坐标都相等.
例8 已知点A（m，-2），B（3，m-1），且直线AB平行于X轴，则m的值为_____.
解析：因为直线AB平行于X轴，所以A、B两点的纵坐标相等，即m-1=-2.解得m=-1.糊麟鬻l
例9 （习题7.2第11题）如图4，三角形COB是由三角形AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A与点C的坐标之间的关系，三角形AOB中任意一点M的坐标为（X，y），点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是什么？
解析：经过观察可以发现，三角形COB是由三角形AOB经过对称变换后得到的图形，对称轴就是X轴.
在此基础上观察点A与点C的坐标之间的关系，可以发现它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数.
进一步探索可以发现，若三角形AOB中任意一点M的坐标为（X，y），则点M经过这种变换后得到的点Ⅳ的坐标为（X，-y）.
通过解答例9，我们可以归纳出关于坐标轴或原点对称的点的坐标特征：
1.如果两个图形关于X轴对称，那么其对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数.
2.如果两个图形关于y轴对称，那么其对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.
3.如果两个图形关于原点对称，那么其对应点的横坐标、纵坐标均互为相反数.
例10 已知点A（n，-7，m， 1），B（-3，2m-5）关于y轴对称，求m-n的值.
解析：因为点A（n-7，m 1），B（-3，2m，-5）关于y轴对称，所以其纵坐标相等，横坐标互为相反数.从而可得n-7 （-3）=0，m 1=2m-5.
解得n=10，m=6.所以m-n=-4.
一、各象限内的点的坐标特征
例1（习题7.1第2题）根据点所在的位置，用“ ”“-”填写表1.
解析：略
通过填写表1，我们可以归纳出各象限内的点的坐标特征：
1.第一象限内的点的坐标的符号为（ ， ），第二象限内的点的坐标的符号为（-， ），第三象限内的点的坐标的符号为（-，-），第四象限内的点的坐标的符号为（ ，-）.
2.第一象限和第三象限内的点，其横坐标与纵坐标符号相同.
3.第二象限和第四象限内的点，其横坐标与纵坐标符号相反.
例2 已知点M（m，n）在第二象限，则点N（n 1，m-1）在（）.
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：因为点M（m，n）在第二象限，所以m<0，n>0.所以m-1<0，n 1>0.
所以点N（n 1，m-1）在第四象限.
故选D.
例3 根据点所在的位置，用“ ”“-”“0”填写表2.
解析：略.
通过填写表2，我们可以归纳出坐标轴上的点的坐标特征：
1.X轴上的点的纵坐标都为0，所以X轴上的点的坐标可表示为（X，0）.若点在X轴的正半轴上，则X>0；若点在X轴的负半轴上，则X<0；若点在原点处，则X=0.
2.y轴上的点的横坐标都为0，所以y轴上的点的坐标可表示为（0，y）.若点在y轴的正半轴上，则y>0；若点在y轴的负半轴上，则y<0；若点在原点处，则y=0.
3.原点的横坐标、纵坐标均为0.
例4 已知点A （1 m，2m-1）在X轴上，那么m=_____，点A的坐标为_____.
解析：因为点A在x轴上，所以2m-1=0.解得m=1/2.故1 m=3/2.
所以点A的坐标为（3/2，0）.
三象限的角平分线上的点的坐标特征
虽然我们在前面讨论了各象限内的点的坐标特征，但是因为各象限内有一些比较特殊的点，所以我们把这些点列出来进行讨论.
例5 （习题7.1第5题，有改动）如图1，根据要求描点，并总结规律.
（1）在所给的平面直角坐标系中描出点A（-4，-4），B（-2，-2），C（3，3），D（5，5），E（-3，-3），0（0，0）.这些点各自的横坐标、纵坐标有什么关系？这些点有什么关系？
（2）在所给的平面直角坐标系中描出点G（-4，4），H（3，-3），M（-5，5），N（2，-2）.这些点各自的横坐标、纵坐标有什么关系？这些点有什么关系？
解析：（1）如图2，这些点各自的横坐标、纵坐标相等，如果将这些点连起来，可以发现它们都在第一、三象限的角平分线上.
（2）如图3，这些点各自的横坐标、纵坐标互为相反数，如果将这些点连起来，可以发现它们都在第二、四象限的角平分线上.
通过解答例5，我们可以归纳出各象限的角平分线上的点的坐标特征：
1.第一、三象限的角平分线上的点，其横坐标、纵坐标相等.
2.第二、四象限的角平分线上的点，其横坐标、纵坐标互为相反数.
例6 已知点P（ 3n 2，7 -2n）位于象限的角平分线上，则点P的坐标为_____.
解析：当点P在第一、三象限的角平分线上时，可得3n 2=7-2n.解得n=1.
此时点P的坐标为（5，5）.
当点P在第二、四象限的角平分线上时，可得（3n 2） （7-2n）=0.解得n=-9.
此时点P的坐标为（-25，25）.
综上可知，点P的坐标为（5，5）或（-25，25）
四、平行（垂直）于坐标轴的直线上的点的坐标特征
例7 （习题7.1第8题）建立一个平面直角坐标系，描出点A（-2，4），B（3，4），画直线AB.若点C为直线AB上的任意一点，则点C的纵坐标是什么？想一想：
（1）如果一些点在平行于X轴的直线上，那么这些点的纵坐标有什么特征？
（2）如果一些点在平行于y轴的直线上，那么这些点的横坐标有什么特征？
解析：略.
通过解答例7，我们可以归纳出平行（垂直）于坐标轴的直线上的点的坐标特征：
1.平行于X轴（垂直于y轴）的直线上的点，其纵坐标都相等.
2.平行于y轴（垂直于X轴）的直线上的点，其横坐标都相等.
例8 已知点A（m，-2），B（3，m-1），且直线AB平行于X轴，则m的值为_____.
解析：因为直线AB平行于X轴，所以A、B两点的纵坐标相等，即m-1=-2.解得m=-1.糊麟鬻l
例9 （习题7.2第11题）如图4，三角形COB是由三角形AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A与点C的坐标之间的关系，三角形AOB中任意一点M的坐标为（X，y），点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是什么？
解析：经过观察可以发现，三角形COB是由三角形AOB经过对称变换后得到的图形，对称轴就是X轴.
在此基础上观察点A与点C的坐标之间的关系，可以发现它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数.
进一步探索可以发现，若三角形AOB中任意一点M的坐标为（X，y），则点M经过这种变换后得到的点Ⅳ的坐标为（X，-y）.
通过解答例9，我们可以归纳出关于坐标轴或原点对称的点的坐标特征：
1.如果两个图形关于X轴对称，那么其对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数.
2.如果两个图形关于y轴对称，那么其对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.
3.如果两个图形关于原点对称，那么其对应点的横坐标、纵坐标均互为相反数.
例10 已知点A（n，-7，m， 1），B（-3，2m-5）关于y轴对称，求m-n的值.
解析：因为点A（n-7，m 1），B（-3，2m，-5）关于y轴对称，所以其纵坐标相等，横坐标互为相反数.从而可得n-7 （-3）=0，m 1=2m-5.
解得n=10，m=6.所以m-n=-4.