【摘要】函数的零点问题是高中数学函数部分的重要内容，它作为函数方程与图像知识的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想.教学中，教师应基于学生已有的知识水平，让他们通过实际体验探究，准确理解应用零点的概念和零点存在性定理，提高解题能力和逻辑思维能力.
　　【关键词】函数的零点;零点存在性定理;数形结合;解题教学
　　一、问题导出
　　设函数f（x）=1/2ax2-1-ln x，其中a∈R.
　　（1）若a=0，求过点（0，-1）且与曲线y=f（x）相切的直线方程;
　　（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围.本文主要研究问题（2）.
　　二、解题过程分析
　　解法1：从函数本身出发，利用导数分析函数单调性、极值、最值，结合函数有两个零点得出最值大于零或者小于零，从而求出a的取值范围.
　　f ′（x）=ax-1/x=ax2-1/x，x>0.
　　①若a≤0，则f ′（x）<0，所以函数f（x）在（0， ∞）上单调递减，从而函数f（x）在（0， ∞）上至多有1个零点，不符合题意，舍去.
　　②若a>0，由f ′（x）=0，解得x=1/a.
　　当01/a时， f ′（x）>0，函数单调递增.
　　所以f（x）min=f 1/a=1/2-ln 1/a-1=-1/2-ln 1/a.要使函数f（x）有两个零点，首先有-1/2-ln 1/a<0，解得0　　下面利用零点存在性定理验证：当0　　零点存在性定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条不间断的曲线，且f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点.若加上条件函数y=f（x）在区间[a，b]上是单调函数，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有唯一零点.
　　当01/e>1/e，
　　因为f 1/e=a/2e2>0，故 f 1/e·f 1/a<0，又函数f（x）在1/e，1/a上单调递减，且其图像在1/e，1/a上连续不间断，所以函数f（x）在区间1/e，1/a内恰有1个零点.
　　第一个零点所在区间容易找到，寻找第二个零点所在区间相对较难，此时可以考虑用放缩法来处理.因为函数f（x）中含有ln x，自然想到函数不等式ln x≤x-1，
　　所以f（x）=1/2ax2-1-ln x≥1/2ax2-x.
　　令1/2ax2-x=0，得x=2/a，所以f 2/a≥0.又因为2/a-1/a=2-a/a>0，故2/a>1/a.因为f 1/a·f 2/a≤0，且f（x）在区间1/a， ∞上单调递增，又图像连续不间断，所以f（x）在区间1/a，2/a上恰有1个零点.
　　综上，a的取值范围是（0，e）.
　　解法2：因为f（x）=1/2ax2-1-ln x有2个零点，则方程 1/2ax2-1-ln x=0有2个根，即方程a=2（1 ln x）/x2有两个根，进而可知函数y=a与y=2（1 ln x）/x2的图像有两个交点.
　　设h（x）=2（1 ln x）/x2，h′（x）=-2（1 2ln x）/x3，有h′（x）=0且x>0，解得x=1/e.
　　当00;当x>1/e时，h′（x）<0.所以h（x）max=h1/e=e.当x>1/e时，
　　h（x）>0恒成立，利用数形结合思想，作出h（x）的大致图像，根据函数y=a与y=h（x）的图像有两个交点，得0　　但上述解题过程不够严谨，下面需要验证：当0a，所以要在区间0，1/e和1/e， ∞内分别找到x1和x2，使得h（x1）　　小结：上述解题过程呈现了解决函数零点问题的两种基本方法.
　　（1）零点存在性定理：利用导数研究函数的单调性和极值，进而得出函数的大致图像，再结合零点存在性定理研究零点的个数问题.
　　（2）转化法（数形结合）：由函数y=f（x）存在零點转化为方程f（x）=0有解，进而“参变分离”转化为函数y=a与函数 y=f（x）或者函数y=g（x）与函数y=h（x）的图像交点问题.
　　在平时解决问题的过程中，选择题和填空题利用数形结合较多，且无须非常严谨地找出零点所在区间.但在解决零点问题的综合性题目时，必须严谨地找出零点所在区间，这也是解决零点问题的难点所在.所以，教师在教学过程中要循序渐进，深入浅出.
　　三、联想拓展
　　利用放缩法寻找函数零点所在区间时，需要找到合适的函数不等式.一般地，我们可以借助曲线上某点处的切线方程来构造函数不等式，达到放缩目的.比如，函数y=ex在x=0处的切线方程是y=x 1，结合图像得ex≥x 1;函数y=ex在x=1处的切线方程是y=ex，可得ex≥ex.又如，
　　函数y=ln x在x=1处的切线方程是y=x-1，结合图像得ln x≤x-1.放缩法实际上就是将ex，ln x等函数放缩成关于x的多项式.
　　教师在教学中，对学有余力的学生可以适当进行拓展，补充极限知识、洛必达法则等.例如，解法1中的第二个零点的证明可以改为f（x）=1/2ax2-1-ln x x-x=x1/2ax-1 x-1-ln x，具体过程如下：
　　因为x-1-ln x≥0且a>0，当x→ ∞时，x1/2ax-1 → ∞，所以f（x）→ ∞，
　　又因为函数f（x）在1/a， ∞上是增函数，且图像不间断，所以函数在1/a， ∞内有1个零点.
　　又如，解法2中利用极限思想可以避开寻找零点所在区间，具体过程如下：由a=2（1 ln x）/x2，令h（x）=2（1 ln x）/x2，当x→0时，1/x2→ ∞，1 ln x→-∞，所以h（x）→-∞.当x>1/e时，h（x）>0恒成立，
　　且limx→ ∞2（1 ln x）/x2=limx→ ∞1/x2=0，所以a>0，所以a的取值范围是（0，e）.
　　四、反思与升华
　　回顾与函数零点有关的各类问题，对于零点的考查主要有以下三个方面：函数零点的求解与所在区间的判断，判断零点的个数，利用函数零点求解参数的取值范围.解题方法以转化和数形结合为主.学生在处理这类问题时，一是直接利用零点存在性定理，二是将零点问题转化为两个函数图像交点的问题.
　　如何让学生理解零点存在性定理并且熟练使用，这是教学的一大难点.首先，教师要让学生理解运用定理时条件必须完备，即函数f（x）的图像在区间[a，b]上是连续不间断的曲线这个条件需要写出.其次，教师要让学生学会找出区间[a，b]，并且明白a，b的值不唯一.当然，a，b的值有时是比较难找的，需要借助函数不等式有针对性地进行放缩.教师在教学中可以循序渐进，先讲解常用放缩不等式、如何找出a，b，以及不同情况下会发生哪些变化等，进而培养学生钻研数学的刻苦精神.
　　教师在具体的教学过程中，对于不同层次的学生的要求应该有所不同.学有余力的学生可以多学习极限的思想去解决零点问题，这样可以发散思维，提高逻辑思维能力.