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摘 要：本文首先对数学教学中的批判性思维的概念给予阐释，其次分析了在初中数学教学中培养学生的批判性思维的重要性，最后结合教学中的具体实例阐述了培养学生批判性思维的具体方法。
关键词：初中数学；批判性思维；培养
一、数学批判性思维的概念
批判性思维是一种科学的思维模式，不少教育家都对批判性思维进行了定义，强调了它在教育中的重要性。在初中数学中的批判性思维，主要是对已有的数学结论和论证方法能提出自己的看法，而不是不加思考的盲从附和；能严密、有逻辑地利用已知条件，对结果和结论进行分析和检验，即使是在思想上已经初步认同，但是仍然敢质疑和反思，然后再进一步完善；在解决一个问题时，在题目的关键之处能及时、迅速地自我反馈，善于发现问题，并对这个问题不断反思和分析；在解决问题之后，有能力分析解题思路是否正确，评价解题方案是否合理，并且能够及时进行调整修改。
二、数学批判性思维的重要性
《初中数学课程标准》中明确指出：“为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。”这里的“创新意识”，其核心就是独立思考，学会思考。长期以来，学生普遍依赖教师直接给出已有的知识结论，很少真正去思考知识的来源，更少的是对已有知识的质疑，这样被动式的学习模式使学生缺少学习的内在动力，更加约束了学生的创新意识。新课程强调创新意识的培养要从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终，这就要求教师积极引导学生通过数学思考活动去认识数学，学习数学，让学生具备批判的精神，养成批判的习惯，提高批判的能力，从而培养学生的创新意识。因此，培养数学批判性思维，对学生学习数学的能力具有重要作用。
从社会发展的角度来说，任何一个时期，任何一门科学都不能缺乏批判性思维，国家的进步、民族的进步都离不开创新活动，而没有批判性思维就没有创新能力，那么当代所需要的创新型人才就无从谈起。在数学史上，许多重大突破都是在批判性思维的基础上建立起来的，中学生所要掌握的无理数的发现以及虚数的出现等等都离不开数学家们的批判性思维。因此，人类社会的真正进步，离不开创新，而创新和批判性思维密不可分。
三、教学中学生批判性思维的培养方法
1.通过质疑、纠错，激发学生思维
（1）鼓励学生质疑提问
在学习“中位数与众数”这部分内容时，可以设置这样一个情境问题：
小张大学毕业以后想找一份工作，于是去人才市场应聘。在浏览招聘信息的时候，发现了他一直向往的某某公司也在招聘员工，于是前往面试。
小张问公司经理：“你们公司员工收入怎么样？”
经理说：“我这里报酬不错，月平均工资有2000元。”
小张很满意，于是在这家公司入职了。结果，小张在公司工作了3个月后发现，工资没有2000元，他也问过公司的其它职员了，没有一个人的月工资超过2000元的，于是他去问经理。经理回答说：“我没有骗你呀，平均工资确实是每月2000元，你看看公司的工资报表。”
问题进行到这里，学生的心里已经有了许多疑问，这时可以给学生几分钟时间说出自己的疑问，学生可能会提出这些问题：职员们的工资都没有到2000元，但是为什么平均数是2000元呢？经理为什么说没有欺骗小张呢？经理说的到底是不是真的？平均工资真的能体现出真实的工资待遇吗？
当学生充分提问后，教师再归纳问题：
问题1：经理说平均工资有2000元是否欺骗了小张？
平均工资：
（5000 4000 1800 1700 1500 1200 1100 1000 880）÷9=2020元，经理确实没有欺骗小张。
问题2：平均工资2020元能否客观地反映公司员工的平均收入？
不能，平均数容易受到个别特别大的数据的影响，有时候，平均数并不能反映一组数据的集中趋势。
于是，接下来就能够探讨中位数和众数的概念和性质了。
在整个问题讨论过程中，教师创设了情境，学生根据情境大胆提出自己的问题，这就是质疑的过程，能够让课堂气氛活跃，学生学习兴趣浓厚并且有所收获。质疑，可以最简单最直接地激发学生的批判性思维。
（2）进行课堂纠错练习
课堂上，教师可以把学生错误的解题过程板书或投影在黑板上，然后由学生发现错误，分析原因，然后改正错误。
例1：若关于x的分式方程无解，求a的值。
学生的普遍解法：方程两边同乘（x-1）（x-2），
整理得x-2 a（x-1）=2（a 1），
化简得（a 1）x=3a 4，
解得。
因为原方程无解，
所以，
解得或a=-2。
這是分式中常见的综合题，学生错误率比较高，错误原因不是解法错误，而是忽略了最基本的一个性质：当分母不为零时，分式有意义；反之，当分母为零时，分式无意义。
因此，学生容易忽略第三个答案：a 1=0，a=-1。
这道题的正确答案为或a=-2或a=-1。
学生在改正这道题的过程中，虽然认同或a=-2这两个答案，但是还是对解答过程进行检验和分析，体会到了数学逻辑的严密性，锻炼了思维的严密性，最终对解题过程和结果进行了调整和修改，这种自我发现和自我反思，也能激发学生的批判性思维。
2.创新逆向思维，贯彻思维培养
说到逆向思维，顾名思义，就是从既有思路的相反方向去思考问题，数学中有许多数学公式是可逆的，例如幂的乘法公式，m，n为正整数），也有许多数学概念是互逆关系，例如有理数和无理数的概念，还有一些数学定理的逆命题可以论证，这些都可以帮助学生发展逆向思维能力。 例2：计算的值。
本体若想要按照常规思路计算，先乘方后乘法，肯定束手无策，但是如果逆用幂的性质：，逆用得，
那么
=
=
=
=1
这样逆用幂的性质，这道题就轻而易举地解决了。
逆向思维是创新思维的一个组成部分，教师培养学生的逆向思维能力，在某种程度上也是增强学生的创新意识，能够帮助学生克服思维定势，突破单一思维方式发展发散性思维，能提高学生思维的敏捷性，有利于学生在题目的关键之处及时、迅速地自我反馈，快速发现问题，并对这个问题不断思考和分析，从而有效贯彻批判性思维。
3.尝试一题多解，深化思维培养
例3：现有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需315元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需420元。问若购甲、乙、丙各1件共需多少元？
拿到这道题，学生普遍知道要用方程模型解决问题。
设甲、乙、丙的单价分别为x、y、z元，
则根据题意，得
这是一个三元一次方程组，但是只有两个三元一次方程，要把x、y、z的值都求出来是不可能的，因此有学生表示接下来一筹莫展，无法突破。但是应该注意到，题目需要求的是x y z的代数和，因此可以通过方程变换变形来求解。
（1）凑整法
解：
原方程可以变形为
解这个方程组得x y z=105，
答：若购甲、乙、丙各1件共需105元（后面解法中答省略）。
（2）参数法
解：设x y z=k，则
（2）-（1）得x 3y=105……（4），
（2）-（3）得3x 9y=420-k，，
由（4），（5）得k=105，
即x y z=105。
（3）主元法
解：将x、y作为主元，将z作为常数（将y、z作为主元和将x、z作为主元解法一样，这里省略），
解（1），（2）可以得到
所以，即x y z=105。
（4）待定系数法
解：设x y z=a（3x 7y z） b（4x 10y z），
则x y z=（3a 4b）x （7a 10b）y （a b）z，
两边系数对应相等，则，
解这个方程得
所以x y z=3（3x 7y z）-2（4x 10y z）=3×315-2×420=105，
即x y z=105。
回过头来看，这四种解题方法看似不同，但是本质都是把三元消成二元，都体现出解多元方程（组）的基本思想“消元”。作为数学教师，授人以鱼的同时还要授人以渔，一题多解的多种解题方法固然要介绍给学生，更要把寻找解题方法的思路告诉学生，让学生自己体会解题的突破点，才能让学生学会严密、有逻辑地利用已知条件，并有機会对解题过程和结果进行分析和反思，以充分锻炼学生的批判性思维，让学生的批判性思维发展地更深、更广。
四、思考与体会
培养学生的批判性思维是一个综合性课题，不仅需要各个学科教师教学中的共同配合，还要把培养学生的批判性思维当作一个长远的教学目标。在数学教学中，教师要始终意识到培养学生批判性思维的重要性，注重学生批判性思维的培养，在教学的各个环节中通过质疑、纠错，创新逆向思维，尝试一题多解，多元鼓励评价培养学生的批判性思维，从而优化学生的思维品质，促进学生数学思维能力的提高，有益于学生的全面素质提高和发展。
关键词：初中数学；批判性思维；培养
一、数学批判性思维的概念
批判性思维是一种科学的思维模式，不少教育家都对批判性思维进行了定义，强调了它在教育中的重要性。在初中数学中的批判性思维，主要是对已有的数学结论和论证方法能提出自己的看法，而不是不加思考的盲从附和；能严密、有逻辑地利用已知条件，对结果和结论进行分析和检验，即使是在思想上已经初步认同，但是仍然敢质疑和反思，然后再进一步完善；在解决一个问题时，在题目的关键之处能及时、迅速地自我反馈，善于发现问题，并对这个问题不断反思和分析；在解决问题之后，有能力分析解题思路是否正确，评价解题方案是否合理，并且能够及时进行调整修改。
二、数学批判性思维的重要性
《初中数学课程标准》中明确指出：“为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。”这里的“创新意识”，其核心就是独立思考，学会思考。长期以来，学生普遍依赖教师直接给出已有的知识结论，很少真正去思考知识的来源，更少的是对已有知识的质疑，这样被动式的学习模式使学生缺少学习的内在动力，更加约束了学生的创新意识。新课程强调创新意识的培养要从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终，这就要求教师积极引导学生通过数学思考活动去认识数学，学习数学，让学生具备批判的精神，养成批判的习惯，提高批判的能力，从而培养学生的创新意识。因此，培养数学批判性思维，对学生学习数学的能力具有重要作用。
从社会发展的角度来说，任何一个时期，任何一门科学都不能缺乏批判性思维，国家的进步、民族的进步都离不开创新活动，而没有批判性思维就没有创新能力，那么当代所需要的创新型人才就无从谈起。在数学史上，许多重大突破都是在批判性思维的基础上建立起来的，中学生所要掌握的无理数的发现以及虚数的出现等等都离不开数学家们的批判性思维。因此，人类社会的真正进步，离不开创新，而创新和批判性思维密不可分。
三、教学中学生批判性思维的培养方法
1.通过质疑、纠错，激发学生思维
（1）鼓励学生质疑提问
在学习“中位数与众数”这部分内容时，可以设置这样一个情境问题：
小张大学毕业以后想找一份工作，于是去人才市场应聘。在浏览招聘信息的时候，发现了他一直向往的某某公司也在招聘员工，于是前往面试。
小张问公司经理：“你们公司员工收入怎么样？”
经理说：“我这里报酬不错，月平均工资有2000元。”
小张很满意，于是在这家公司入职了。结果，小张在公司工作了3个月后发现，工资没有2000元，他也问过公司的其它职员了，没有一个人的月工资超过2000元的，于是他去问经理。经理回答说：“我没有骗你呀，平均工资确实是每月2000元，你看看公司的工资报表。”
问题进行到这里，学生的心里已经有了许多疑问，这时可以给学生几分钟时间说出自己的疑问，学生可能会提出这些问题：职员们的工资都没有到2000元，但是为什么平均数是2000元呢？经理为什么说没有欺骗小张呢？经理说的到底是不是真的？平均工资真的能体现出真实的工资待遇吗？
当学生充分提问后，教师再归纳问题：
问题1：经理说平均工资有2000元是否欺骗了小张？
平均工资：
（5000 4000 1800 1700 1500 1200 1100 1000 880）÷9=2020元，经理确实没有欺骗小张。
问题2：平均工资2020元能否客观地反映公司员工的平均收入？
不能，平均数容易受到个别特别大的数据的影响，有时候，平均数并不能反映一组数据的集中趋势。
于是，接下来就能够探讨中位数和众数的概念和性质了。
在整个问题讨论过程中，教师创设了情境，学生根据情境大胆提出自己的问题，这就是质疑的过程，能够让课堂气氛活跃，学生学习兴趣浓厚并且有所收获。质疑，可以最简单最直接地激发学生的批判性思维。
（2）进行课堂纠错练习
课堂上，教师可以把学生错误的解题过程板书或投影在黑板上，然后由学生发现错误，分析原因，然后改正错误。
例1：若关于x的分式方程无解，求a的值。
学生的普遍解法：方程两边同乘（x-1）（x-2），
整理得x-2 a（x-1）=2（a 1），
化简得（a 1）x=3a 4，
解得。
因为原方程无解，
所以，
解得或a=-2。
這是分式中常见的综合题，学生错误率比较高，错误原因不是解法错误，而是忽略了最基本的一个性质：当分母不为零时，分式有意义；反之，当分母为零时，分式无意义。
因此，学生容易忽略第三个答案：a 1=0，a=-1。
这道题的正确答案为或a=-2或a=-1。
学生在改正这道题的过程中，虽然认同或a=-2这两个答案，但是还是对解答过程进行检验和分析，体会到了数学逻辑的严密性，锻炼了思维的严密性，最终对解题过程和结果进行了调整和修改，这种自我发现和自我反思，也能激发学生的批判性思维。
2.创新逆向思维，贯彻思维培养
说到逆向思维，顾名思义，就是从既有思路的相反方向去思考问题，数学中有许多数学公式是可逆的，例如幂的乘法公式，m，n为正整数），也有许多数学概念是互逆关系，例如有理数和无理数的概念，还有一些数学定理的逆命题可以论证，这些都可以帮助学生发展逆向思维能力。 例2：计算的值。
本体若想要按照常规思路计算，先乘方后乘法，肯定束手无策，但是如果逆用幂的性质：，逆用得，
那么
=
=
=
=1
这样逆用幂的性质，这道题就轻而易举地解决了。
逆向思维是创新思维的一个组成部分，教师培养学生的逆向思维能力，在某种程度上也是增强学生的创新意识，能够帮助学生克服思维定势，突破单一思维方式发展发散性思维，能提高学生思维的敏捷性，有利于学生在题目的关键之处及时、迅速地自我反馈，快速发现问题，并对这个问题不断思考和分析，从而有效贯彻批判性思维。
3.尝试一题多解，深化思维培养
例3：现有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需315元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需420元。问若购甲、乙、丙各1件共需多少元？
拿到这道题，学生普遍知道要用方程模型解决问题。
设甲、乙、丙的单价分别为x、y、z元，
则根据题意，得
这是一个三元一次方程组，但是只有两个三元一次方程，要把x、y、z的值都求出来是不可能的，因此有学生表示接下来一筹莫展，无法突破。但是应该注意到，题目需要求的是x y z的代数和，因此可以通过方程变换变形来求解。
（1）凑整法
解：
原方程可以变形为
解这个方程组得x y z=105，
答：若购甲、乙、丙各1件共需105元（后面解法中答省略）。
（2）参数法
解：设x y z=k，则
（2）-（1）得x 3y=105……（4），
（2）-（3）得3x 9y=420-k，，
由（4），（5）得k=105，
即x y z=105。
（3）主元法
解：将x、y作为主元，将z作为常数（将y、z作为主元和将x、z作为主元解法一样，这里省略），
解（1），（2）可以得到
所以，即x y z=105。
（4）待定系数法
解：设x y z=a（3x 7y z） b（4x 10y z），
则x y z=（3a 4b）x （7a 10b）y （a b）z，
两边系数对应相等，则，
解这个方程得
所以x y z=3（3x 7y z）-2（4x 10y z）=3×315-2×420=105，
即x y z=105。
回过头来看，这四种解题方法看似不同，但是本质都是把三元消成二元，都体现出解多元方程（组）的基本思想“消元”。作为数学教师，授人以鱼的同时还要授人以渔，一题多解的多种解题方法固然要介绍给学生，更要把寻找解题方法的思路告诉学生，让学生自己体会解题的突破点，才能让学生学会严密、有逻辑地利用已知条件，并有機会对解题过程和结果进行分析和反思，以充分锻炼学生的批判性思维，让学生的批判性思维发展地更深、更广。
四、思考与体会
培养学生的批判性思维是一个综合性课题，不仅需要各个学科教师教学中的共同配合，还要把培养学生的批判性思维当作一个长远的教学目标。在数学教学中，教师要始终意识到培养学生批判性思维的重要性，注重学生批判性思维的培养，在教学的各个环节中通过质疑、纠错，创新逆向思维，尝试一题多解，多元鼓励评价培养学生的批判性思维，从而优化学生的思维品质，促进学生数学思维能力的提高，有益于学生的全面素质提高和发展。