二次函数的实际应用

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  黄细把
  
  学习了二次函数的有关知识后,灵活应用这些知识,可以帮助我们解答一些生产、生活中的实际问题,现以2007年的部分中考题为例介绍,供同学们参考。
  例1 (2007年烟台市)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产76件,每件利润10元,每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少4件。
  (1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数,且1≤x≤10),求出y关于x的函数关系式;
  (2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元,求该产品的质量档次。
  析解:(1)当生产第x档次的产品时,每件利润为[10+2(x-I)]元,每天产量为[76-4(x一1)]件。
  因为每天总利润=每件利润×每天产量。
  所以y=[10+2(x-1)][76-4(x一1)]
  即有y=-8x2+128x+640
  (2)要求产品的质量档次,只要求x的值即可
  在y=-8x2+128x+640中
  因为y=1080,
  所以-8x2+128x+640=1080
  整理.得X216x+55=0
  解之,x1=5,X2=11(不合题意,舍去)
  所以当一天的总利润为1080元时,应生产第5档次的产品。
  例2 (2007年佛山市)如下图,隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为8m,宽AB为2m,以BC所在的直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,y轴是抛物线的对称轴.顶点E到坐标原点O的距离为6m.
  (1)求抛物线的解析式;
  (2)一辆货运卡车高4.5m,宽2.4m,它能通过该隧道吗?
  (3)如果该隧道内设双行道,为了安全起见,在隧道正中间设有0.4m的隔离带,则该辆货运卡车还能通过隧道吗?
  析解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,要求y关于x的解析式,应找到三组x和y的数值.
  因为点E、点A、点D的坐标分别为(0,6)、(-4,2)、(4,2),
  


  (2)要判断高为4.5m,宽2.4m的货车能否从该隧道内通过,其实质在于确定隧道的截面内,距地面高4.5m的两点之间的水平距离是否大于2.4m,若大于2.4m,就可以通过;否则,就不能通过。
  


  所以货车可以通过。
  (3)如果隧道内设双行道,且在隧道正中间没有O.4m的隔离带,那么要判断这辆货车是否可以顺利通过,只要确定隧道的截面内,距地面高4.5m的两点之间的水平距离是否大于(2.4x2+0.4)m,即是否大于5.2m,若大于,就可以通过;否则,就不能通过。
  


  所以如果隧道内设双行道,且在隧道正中间设有0.4m的隔离带.则这辆货车不能顺利通过。
  例3(2007年贵阳市)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格调查,平均每天销售90箱,价格每提高l元,平均每天少销售3箱。
  (1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式。
  (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式。
  (3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
  析解:(1)当每箱的销售价为x元时,它比每箱50元的价格提高(x-50)元,那么销售量将减少3(x-50)箱。
  所以y=90-3(x-50),
  即有y=-3x+240,
  (2)当每箱的销售价为x元时,每箱的销售利润为(x-40)元,每天的销售量为y箱,即(-3x+240)箱.
  所以w=(x-40)(-3x+240),
  即有w=-3x2+360x-9600
  (3)要问每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润,只要求出x为何值时w有最大值,为此,应把w与x的二次函数关系式进行配方变形。
  因为w=-3x2+360x-9600
  =-3(x-60)2+1200,
  又,x≤55,且x<60时,w随x的增大而增大
  所以当x=55时,w有最大值=-3x(55-60)2+1200=1125.
  所以当每箱苹果的销售价为55元时,可以获得1125元的最大利润。
  
  练习
  1.(2006年鄂尔多斯市)某产品每件成本10元,在试销阶段每件产品的日销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
  x(元)
  20 25
  30 35
  y(件)
  30 25
  20 15
  (1)在草稿纸上描点,观察点的分布,确定y与x的函数关系式.
  (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?
  答案:(1)y=-x+50;(2)每件产品的销售价应定为30元,此时每日销售利润是400元。
  2.(2007年青岛市)某公司经销一种绿茶,每千克成本为50元,市场调查发现,在一段时间内,销售量w(千克)随销售单价x(元千克)的变化而变化,具体关系式为:w=-2x+240.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元),解答下列问题:
  (1)求y与x的关系式;
  (2)当x取何值时,y 的值最大?
  (3)如果物价部门规定这种绿茶的销售价不得高于90元/千克,公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润,销售单价应定为多少元?
  答案:(1)y=-2x2+340x-1200;(2)当x=85时,y的值最大;(3)当销售单价为75元时,可获得销售利润2250元。
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